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课堂追问的目的是激发学生思维的深度和广度，对培养学生思维的深刻性、敏捷性有着不可忽视的作用。教师应把握好数学课堂追问的时机，在学生困惑时追问、在看似无疑时追问、在一题多解处追问、在出错地方追问、在意外时追问……问出智慧，问出高潮，问出精彩，问出真知，促进学生交流素养的培养。
一、典型案例与诊断
（一）交流不顺畅的教学片段举例
下面是“初中生数学交流素养培养方法”课题研讨会上研讨课《相似三角形中的分类规律》（单元复习课）的两个教学片段：
片段1 问题1：如图1，在△ABC中，∠C>∠B，D是AC上一点，在AB边上画出一点E，连接DE，使以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似。
设计意图：让学生通过作图，回顾“相似三角形”整章的主要知识点，在简单分类中明晰判断三角形相似的基本方法。
学生表现：甲生上台板演用尺规法作∠ADE，使∠ADE=∠C（可能圆规不好用，甲生用了5分钟左右才完成作图）。乙生上台作出了两种情况：一是作DE∥BC；二是画出DE2，使得∠ADE2=∠C，如图1-1（显然点E2不符合要求，正确作图应该是点E和E1）。
片段2 问题2：如图2，一次函数y=x 2的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，在第一象限内是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标。
设计意图：以线段OB作为分类标准，探讨OB分别为斜边、直角边时，点P可能在的位置；或者以点B作为分类标准，探讨点B分别为直角顶点、锐角顶点时，点P可能在的位置。先让学生充分表达想法，教师再串联学生经验。
学生表现：丙生上台板演并讲解：过O作OP⊥AB于点P，
∵ ∠BOP ∠OBP=90°，∠BOP ∠POA=90°，∠POA ∠OAP=90°，
∴ ∠BOP=∠OAP，
又∵∠BPO=∠BOA=90°，
∴ △BOP∽△BAO。
丙生讲解时采用了三个字母表示一个角的方法，并贯穿始终，其他学生听得很费劲。
丁生上台在黑板上画出BP1（点P1在x轴上，如图2-1），使∠OBP1=∠OAB。
教师看到此情况，暂停了展示交流，给学生一些时间讨论后，接着继续展示交流。
戊生上台在黑板上画出BP、BP2、BP3，如图2-1，并讲解画图思路。
戊生觉得自己做对了，但未能很有条理地讲述出作图原理，其他学生听得不太明白。
（二）交流不顺畅的原因诊断
上述两个教学片段，课前教师预设与课堂实际生成之间落差明显，说明师生、学生之间的交流有待改进。
片段1是希望学生通过画示意图回顾三角形相似的判定方法，而不是检查学生是否掌握了尺规作图技能；当甲生把研究重心放在尺规作图时，由于教师没有及时干预，全班学生被甲生牵引而偏离了学习主线，打乱了教师预设的讲课节奏。接着，乙生虽然采用了画示意图的方法给出三角形相似的两种基本类型，但教师没有及时引导学生讨论为什么点E2的位置不符合要求。
片段2是希望学生先梳理出分类方法，然后在分类方法指导下不重不漏地找出第一象限内所有符合条件的点P。由于片段1的教学活动中没有将“如何确定分类标准”这一问题交流透彻，在给出问题2时，教师又没有让学生先进行讨论，归纳如何确定分类标准、如何根据标准进行分类作图，因此出现了学生一拿到题目马上就去作图的状况。由于思考不充分，因此学生在作答时自然就会呈现出不完整或算多的情况。
由于这两个教学环节的师生交流不顺畅，导致后续内容也无法按计划进行。
（三）解决问题处方：及时干预和追问
课堂活动是动态的、生成的，师生间的交流也同样具有动态性、生成性。教师是课堂活动的设计者、组织者，在引导教学活动顺利开展的过程中，需要掌握交流研讨的常见技巧，其中，及时干预、适时追问就是有效方法。
追问，即追根究底地查问、多次地问。在课堂教学中，追问是师生对话的主要形式。为了帮助学生独立理解透彻某一问题，教师通过提问对学生思维进行及时疏导与点拨，每次追问都是对前次提问的延伸和拓展，直到学生能正确解答、深入理解为止。追问有助于激活学生的数学思维，延伸学生思维的广度和深度。
对于教学片段1中乙生的作答，教师可以采用追问方法来改进师生的交流。
追问1：第二种情况画出的点E2满足要求吗？为什么？
追问2：为什么你会想出两种情况？
学生：要分类考虑。
追问3：你的分类标准是什么？
学生：判定三角形相似所需条件是角或边，可以考虑把角或边作为分类标准。
追问4：相似三角形的判定方法中哪个最常用？为什么？
追问5：需要满足相似的两个三角形，哪对角的对应关系已经确定？
学生：△AED中的∠A与△ABC中的∠A对应。
追问6：所画的∠ADE可能与△ABC中的哪个角对应？
學生：所画的∠ADE可能与△ABC中的∠B对应或与∠C对应。
这样，通过教师追问、学生回应，自然地渗透了用分类方法完整地解决三角形相似的各种情况，学生明确了以角作为分类标准，在画∠ADE时，只需要按照∠ADE=∠B或∠ADE=∠C这两种类型来分析，问题就可以得到彻底解决。 二、课堂上要把握好追问的时机
追问让学生的学习欲望得到激发，追问让数学知识的产生过程得到还原，追问能够挖掘出问题背后隐含的知识点，追问让学生思考过程得到展现，追问可以引导学生反思答案的依据和思维的线路，追问能拓展学生思路、有序发散学生思维……教师要把握好追问时机，引导学生深入思考，积极思维，进行深层次探究，这样才能真正实现有意义的数学交流。
（一）在困惑时追问
在课堂教学过程中，当学生面临困惑、遇到困难、分析失去方向时，教师不妨适当地“明知故问”，通过由浅入深地不断追问，让学生直面问题，引导学生辨析、辩论，让学生模仿教师的角色释疑解惑，让学生在相互纠错的过程中交流、反思、总结、提炼，尽情展现思维过程。
对于教学片段2中丁生的作答，教师可以采用追问方法来改进师生的交流。
追问1：△BOA中∠BOA是直角，则△BOP中一定有一个直角，你能确定哪个是直角吗？
追问2：分几类进行讨论？分类标准是什么？
追问3：若△BOP的点O为直角顶点，则直角边OP与△BOA的哪条边对应？
（OP与OA对应，或OP与OB对应，分两类情况考虑。）
追问4：若△BOP的点O为锐角顶点，则有两类情况，请问本题一共可以分几种情况？
追问5：这几种情况都符合题意吗？为什么？
（这时点P的大概位置就水落石出了。）
（二）在看似无疑时追问
看似无疑问的地方，往往隐藏着很多疑问，教师若能在学生似通非通、似懂非懂时及时追问，引导学生查出疑问点，然后与学生共同释疑，就可收到事半功倍的效果。
问题3：下列说法中，正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 90°角所对的弦是直径
C. 等弧所对的弦相等
D. 圆的切线垂直于半径
设计意图：本题目的是让学生辨析圆中弧、弦、圆心角之间的关系、圆周角与直径的关系、切线的性质等基本概念与性质。
教学处理：当学生完成本题作答后，教师讲解时可以采用追问方式，让学生明晰圆的基本概念与性质中需要仔细辨析的地方。
学生1：我选C。
追问1：为什么选C？理由是什么？
学生1：“等弧”就说明是“同圆或等圆”，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其它量都分别相等。
追问2：等弧就是相等的弧吗？
追问3：如果把C选项改为“等弦所对的弧相等”，那么它正确吗？
追问4：你能举出反例吗？
追问5：其它选项为什么不正确？
如果学生对这类题目仅仅满足于知道正确答案就算了，那就失去了做题目的真正意义，错失了很好的思考机会，这是非常可惜的。
（三）在一题多解处追问
在数学解题中，不同的学生由于思考的起点、方法不同，可以呈现出不同的解题过程。因此，教师应通过追问，积极鼓励学生一题多解，拓宽思路。
问题4：如图3，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC//OA交OB于点C，若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于多少？
设计意图：本题目的是让学生在角平分线、平行线、等腰三角形、特殊直角三角形等众多条件中灵活选择适当的工具，求出线段长度。解题思路虽然众多，但有简易与繁琐的区分。
下面是一位学生向教师请教，教师通过追问引导学生自己理顺解题思路的一个案例。
学生：老师这道题怎么做？
教师反问：老师想听听你是怎么想的？
学生：在Rt△ODP中，可求出∠DOP=30°，则DP=OP，但OP又不知道，怎么办？
教师追问1：OP除了是△ODP的边之外，还是哪个三角形的边？
学生：还是△OCP的边。
教师追问2：你猜想这个三角形是什么特殊三角形？能证明吗？
学生：可以证明它是等腰三角形。
教师追问3：等腰三角形有哪些性质？
学生：两腰相等，等边对等角和三线合一。老师，我知道怎么做了，过C作CG⊥OP于G，先在△OCG中求出OG，再利用等腰三角形的“三线合一”的性质来解决。
教师追问4：明白了？我再问你，已知点P是∠AOB的角平分线，角平分线有什么性质？
学生：平分一个角，还有定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”。
教师追问5：由“角平分线”这个条件你会想到什么？
学生：过点P作PE⊥OB与E，即可得PD=PE，只要求出PE即可。但还是要用到刚才的方法先求出OP，再求解，麻烦了点，走了弯路。
教师追问6：要求出PE，只能在△OPE中求吗？
学生：哦，还可以在△PCE中用三角函数来求，我会做了。
教师追问7：不急，再观察一下图形和已知∠AOB=60°，OC=4，能否利用这个特殊角，构造直角三角形求解？
学生：可以过点C作CF⊥OA与F，由PC//OA得出CF=PD，直接在△OCF中求解就得了。谢谢老师！以后我也要这样去思考。
学生在解决问题的过程中，偶尔会出现思考问题不够严谨，逻辑不够清晰等现象，通过教师及时的追问，使学生及时地还原思考过程，更严谨、更清晰、更有条理地解决问题。长期坚持这种追问训练，学生的思维能力、交流素养一定会显著提高。
（四）在出错地方追问
基于建构主义理论，新课程背景下的数学教师应充分发挥自己的主导作用，在潜移默化的追问中让学生意识到自己的錯误，达成新的认知。“理想的课堂是真实的课堂。”学生在课堂中出现了一些差错是不足为奇的。这时教师不应只关注问题解决与否、答案对错与否，更要关注学生是怎么思考的，应该好好利用学生的“错题”，以巧妙的追问，让学生讲明错误解法，弄清产生错误的原因，让其他学生帮忙纠正错误。教师要善于提问：“你是怎么想的？”对于错题，要给学生一些探究讨论的时间和空间，从而让学生在交流中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识。
学生的错误是学生最朴实思想、最真实经验的具体体现，教师应该善于发现和挖掘错误背后隐藏的教育价值，让学生有更多的机会阐述自己的想法，明确错误产生的原因，掌握正确的纠错方法，使学生从错误中获得新知识，从错误中学会反思、得到提高。
（五）在发生意外时追问
课堂教学随时会有意外生成，数学教师不能对之熟视无睹，更不能束缚学生的创造性思维，禁锢他们的想象，使创新的火花熄灭。因此，教师要大胆打破预设的框架，对学生的意外回答，给予积极的回应并主动激疑，以睿智的追问激活学生思维，拓展想象空间，让教学中的“意外生成”演绎出独特的价值。适时追问，可以打开学生思维的“闸门”，使学生丰富的想象力得到淋漓尽致的发挥，使课堂呈现出“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的教学景象。
当然教师还可以在知识的延伸与拓展处追问，可以在知识的重难点处追问，在学生理解肤浅处追问，在方法提炼处追问……
课堂追问是一种技巧，更是一门艺术，在引导生成、深度对话教学过程中扮演着十分重要的角色。新课程背景下，数学教师要善于把握追问的时机，进行有效追问，促进学生数学交流素养的培养。
一、典型案例与诊断
（一）交流不顺畅的教学片段举例
下面是“初中生数学交流素养培养方法”课题研讨会上研讨课《相似三角形中的分类规律》（单元复习课）的两个教学片段：
片段1 问题1：如图1，在△ABC中，∠C>∠B，D是AC上一点，在AB边上画出一点E，连接DE，使以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似。
设计意图：让学生通过作图，回顾“相似三角形”整章的主要知识点，在简单分类中明晰判断三角形相似的基本方法。
学生表现：甲生上台板演用尺规法作∠ADE，使∠ADE=∠C（可能圆规不好用，甲生用了5分钟左右才完成作图）。乙生上台作出了两种情况：一是作DE∥BC；二是画出DE2，使得∠ADE2=∠C，如图1-1（显然点E2不符合要求，正确作图应该是点E和E1）。
片段2 问题2：如图2，一次函数y=x 2的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，在第一象限内是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标。
设计意图：以线段OB作为分类标准，探讨OB分别为斜边、直角边时，点P可能在的位置；或者以点B作为分类标准，探讨点B分别为直角顶点、锐角顶点时，点P可能在的位置。先让学生充分表达想法，教师再串联学生经验。
学生表现：丙生上台板演并讲解：过O作OP⊥AB于点P，
∵ ∠BOP ∠OBP=90°，∠BOP ∠POA=90°，∠POA ∠OAP=90°，
∴ ∠BOP=∠OAP，
又∵∠BPO=∠BOA=90°，
∴ △BOP∽△BAO。
丙生讲解时采用了三个字母表示一个角的方法，并贯穿始终，其他学生听得很费劲。
丁生上台在黑板上画出BP1（点P1在x轴上，如图2-1），使∠OBP1=∠OAB。
教师看到此情况，暂停了展示交流，给学生一些时间讨论后，接着继续展示交流。
戊生上台在黑板上画出BP、BP2、BP3，如图2-1，并讲解画图思路。
戊生觉得自己做对了，但未能很有条理地讲述出作图原理，其他学生听得不太明白。
（二）交流不顺畅的原因诊断
上述两个教学片段，课前教师预设与课堂实际生成之间落差明显，说明师生、学生之间的交流有待改进。
片段1是希望学生通过画示意图回顾三角形相似的判定方法，而不是检查学生是否掌握了尺规作图技能；当甲生把研究重心放在尺规作图时，由于教师没有及时干预，全班学生被甲生牵引而偏离了学习主线，打乱了教师预设的讲课节奏。接着，乙生虽然采用了画示意图的方法给出三角形相似的两种基本类型，但教师没有及时引导学生讨论为什么点E2的位置不符合要求。
片段2是希望学生先梳理出分类方法，然后在分类方法指导下不重不漏地找出第一象限内所有符合条件的点P。由于片段1的教学活动中没有将“如何确定分类标准”这一问题交流透彻，在给出问题2时，教师又没有让学生先进行讨论，归纳如何确定分类标准、如何根据标准进行分类作图，因此出现了学生一拿到题目马上就去作图的状况。由于思考不充分，因此学生在作答时自然就会呈现出不完整或算多的情况。
由于这两个教学环节的师生交流不顺畅，导致后续内容也无法按计划进行。
（三）解决问题处方：及时干预和追问
课堂活动是动态的、生成的，师生间的交流也同样具有动态性、生成性。教师是课堂活动的设计者、组织者，在引导教学活动顺利开展的过程中，需要掌握交流研讨的常见技巧，其中，及时干预、适时追问就是有效方法。
追问，即追根究底地查问、多次地问。在课堂教学中，追问是师生对话的主要形式。为了帮助学生独立理解透彻某一问题，教师通过提问对学生思维进行及时疏导与点拨，每次追问都是对前次提问的延伸和拓展，直到学生能正确解答、深入理解为止。追问有助于激活学生的数学思维，延伸学生思维的广度和深度。
对于教学片段1中乙生的作答，教师可以采用追问方法来改进师生的交流。
追问1：第二种情况画出的点E2满足要求吗？为什么？
追问2：为什么你会想出两种情况？
学生：要分类考虑。
追问3：你的分类标准是什么？
学生：判定三角形相似所需条件是角或边，可以考虑把角或边作为分类标准。
追问4：相似三角形的判定方法中哪个最常用？为什么？
追问5：需要满足相似的两个三角形，哪对角的对应关系已经确定？
学生：△AED中的∠A与△ABC中的∠A对应。
追问6：所画的∠ADE可能与△ABC中的哪个角对应？
學生：所画的∠ADE可能与△ABC中的∠B对应或与∠C对应。
这样，通过教师追问、学生回应，自然地渗透了用分类方法完整地解决三角形相似的各种情况，学生明确了以角作为分类标准，在画∠ADE时，只需要按照∠ADE=∠B或∠ADE=∠C这两种类型来分析，问题就可以得到彻底解决。 二、课堂上要把握好追问的时机
追问让学生的学习欲望得到激发，追问让数学知识的产生过程得到还原，追问能够挖掘出问题背后隐含的知识点，追问让学生思考过程得到展现，追问可以引导学生反思答案的依据和思维的线路，追问能拓展学生思路、有序发散学生思维……教师要把握好追问时机，引导学生深入思考，积极思维，进行深层次探究，这样才能真正实现有意义的数学交流。
（一）在困惑时追问
在课堂教学过程中，当学生面临困惑、遇到困难、分析失去方向时，教师不妨适当地“明知故问”，通过由浅入深地不断追问，让学生直面问题，引导学生辨析、辩论，让学生模仿教师的角色释疑解惑，让学生在相互纠错的过程中交流、反思、总结、提炼，尽情展现思维过程。
对于教学片段2中丁生的作答，教师可以采用追问方法来改进师生的交流。
追问1：△BOA中∠BOA是直角，则△BOP中一定有一个直角，你能确定哪个是直角吗？
追问2：分几类进行讨论？分类标准是什么？
追问3：若△BOP的点O为直角顶点，则直角边OP与△BOA的哪条边对应？
（OP与OA对应，或OP与OB对应，分两类情况考虑。）
追问4：若△BOP的点O为锐角顶点，则有两类情况，请问本题一共可以分几种情况？
追问5：这几种情况都符合题意吗？为什么？
（这时点P的大概位置就水落石出了。）
（二）在看似无疑时追问
看似无疑问的地方，往往隐藏着很多疑问，教师若能在学生似通非通、似懂非懂时及时追问，引导学生查出疑问点，然后与学生共同释疑，就可收到事半功倍的效果。
问题3：下列说法中，正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 90°角所对的弦是直径
C. 等弧所对的弦相等
D. 圆的切线垂直于半径
设计意图：本题目的是让学生辨析圆中弧、弦、圆心角之间的关系、圆周角与直径的关系、切线的性质等基本概念与性质。
教学处理：当学生完成本题作答后，教师讲解时可以采用追问方式，让学生明晰圆的基本概念与性质中需要仔细辨析的地方。
学生1：我选C。
追问1：为什么选C？理由是什么？
学生1：“等弧”就说明是“同圆或等圆”，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其它量都分别相等。
追问2：等弧就是相等的弧吗？
追问3：如果把C选项改为“等弦所对的弧相等”，那么它正确吗？
追问4：你能举出反例吗？
追问5：其它选项为什么不正确？
如果学生对这类题目仅仅满足于知道正确答案就算了，那就失去了做题目的真正意义，错失了很好的思考机会，这是非常可惜的。
（三）在一题多解处追问
在数学解题中，不同的学生由于思考的起点、方法不同，可以呈现出不同的解题过程。因此，教师应通过追问，积极鼓励学生一题多解，拓宽思路。
问题4：如图3，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC//OA交OB于点C，若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于多少？
设计意图：本题目的是让学生在角平分线、平行线、等腰三角形、特殊直角三角形等众多条件中灵活选择适当的工具，求出线段长度。解题思路虽然众多，但有简易与繁琐的区分。
下面是一位学生向教师请教，教师通过追问引导学生自己理顺解题思路的一个案例。
学生：老师这道题怎么做？
教师反问：老师想听听你是怎么想的？
学生：在Rt△ODP中，可求出∠DOP=30°，则DP=OP，但OP又不知道，怎么办？
教师追问1：OP除了是△ODP的边之外，还是哪个三角形的边？
学生：还是△OCP的边。
教师追问2：你猜想这个三角形是什么特殊三角形？能证明吗？
学生：可以证明它是等腰三角形。
教师追问3：等腰三角形有哪些性质？
学生：两腰相等，等边对等角和三线合一。老师，我知道怎么做了，过C作CG⊥OP于G，先在△OCG中求出OG，再利用等腰三角形的“三线合一”的性质来解决。
教师追问4：明白了？我再问你，已知点P是∠AOB的角平分线，角平分线有什么性质？
学生：平分一个角，还有定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”。
教师追问5：由“角平分线”这个条件你会想到什么？
学生：过点P作PE⊥OB与E，即可得PD=PE，只要求出PE即可。但还是要用到刚才的方法先求出OP，再求解，麻烦了点，走了弯路。
教师追问6：要求出PE，只能在△OPE中求吗？
学生：哦，还可以在△PCE中用三角函数来求，我会做了。
教师追问7：不急，再观察一下图形和已知∠AOB=60°，OC=4，能否利用这个特殊角，构造直角三角形求解？
学生：可以过点C作CF⊥OA与F，由PC//OA得出CF=PD，直接在△OCF中求解就得了。谢谢老师！以后我也要这样去思考。
学生在解决问题的过程中，偶尔会出现思考问题不够严谨，逻辑不够清晰等现象，通过教师及时的追问，使学生及时地还原思考过程，更严谨、更清晰、更有条理地解决问题。长期坚持这种追问训练，学生的思维能力、交流素养一定会显著提高。
（四）在出错地方追问
基于建构主义理论，新课程背景下的数学教师应充分发挥自己的主导作用，在潜移默化的追问中让学生意识到自己的錯误，达成新的认知。“理想的课堂是真实的课堂。”学生在课堂中出现了一些差错是不足为奇的。这时教师不应只关注问题解决与否、答案对错与否，更要关注学生是怎么思考的，应该好好利用学生的“错题”，以巧妙的追问，让学生讲明错误解法，弄清产生错误的原因，让其他学生帮忙纠正错误。教师要善于提问：“你是怎么想的？”对于错题，要给学生一些探究讨论的时间和空间，从而让学生在交流中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识。
学生的错误是学生最朴实思想、最真实经验的具体体现，教师应该善于发现和挖掘错误背后隐藏的教育价值，让学生有更多的机会阐述自己的想法，明确错误产生的原因，掌握正确的纠错方法，使学生从错误中获得新知识，从错误中学会反思、得到提高。
（五）在发生意外时追问
课堂教学随时会有意外生成，数学教师不能对之熟视无睹，更不能束缚学生的创造性思维，禁锢他们的想象，使创新的火花熄灭。因此，教师要大胆打破预设的框架，对学生的意外回答，给予积极的回应并主动激疑，以睿智的追问激活学生思维，拓展想象空间，让教学中的“意外生成”演绎出独特的价值。适时追问，可以打开学生思维的“闸门”，使学生丰富的想象力得到淋漓尽致的发挥，使课堂呈现出“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的教学景象。
当然教师还可以在知识的延伸与拓展处追问，可以在知识的重难点处追问，在学生理解肤浅处追问，在方法提炼处追问……
课堂追问是一种技巧，更是一门艺术，在引导生成、深度对话教学过程中扮演着十分重要的角色。新课程背景下，数学教师要善于把握追问的时机，进行有效追问，促进学生数学交流素养的培养。