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【摘要】“数的概念”教学，要紧扣形象和抽象的融合点，以直观可感的“形”为依托，以形感知，建立表象；以形促思，抽象本质；以形建模，发展数感，从而发展学生的数学核心素养。
【关键词】核心素养 抽象 表象 数感 建模
史宁中教授提出：“数学核心素养表现在小学阶段，主要是数学抽象、逻辑推理和数学模型三个方面。其中，数学抽象是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思維过程。”数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，而数是对数量抽象的结果，数的关系则来自于数量的关系，因此，数的概念教学和数学抽象是密切相关的。笔者以苏教版数学三年级下册“数的概念”教学为例，谈谈如何通过数学抽象有效培养学生的核心素养。
一、以形感知，建立表象
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，是形象思维的基础。小学生获得概念的方式离不开对具体材料的充分感知。所以，我们应该提供有效并且足够丰富的感性材料，让学生剔除非本质因素，把握数的本质属性，从而建立正确的表象。
对三年级学生而言，对小数的生活经验还远未触及小数的本质，还要进一步在已有认识基础上帮助学生形成数学认知。这时候，形的引入是极其必要的。
（1）唤起生活经验：超市购物袋0.1元就是多少钱？这时候学生在小数和整数之间形成了初步联结：0.1元就是1角。
（2）以正方形为载体，表示出0.1元：如果用1个正方形表示1元，你能画一画、涂一涂表示出0.1元吗？
这时候学生会出现各种不同的表示方式，教师及时组织学生进行辨析：有的学生说图1不能表示出0.1元，只是大约涂了一块，没有平均分，看不出0.1元和1元之间的关系。有的学生认为图2平均分的份数不对，而图3、图4都把1元平均分成了10份，表示其中的1份确实是0.1元。
根据学生零零散散的描述，进一步追问：从同学们的评价中，听出了大家的意见，要表示出0.1元，先要平均分，把1元平均分成10份。你们是怎么想到平均分成10份的？
学生思路渐渐明朗起来：因为0.1元就是1角，1元=10角，1角就是这10角中的1份，所以要表示出0.1元，得把1元平均分成10份。图3和图4虽然平均分的方式不同，但都是把1元平均分成10份，表示这样的1份，
（3）充允想象：看着涂色部分，还想到了什么？（1/10）
继而，继续用一个正方形表示1元，在正方形中表示出0.2元、0.3元，并想象0.4元、0.5元……0.9元以及相对应的分数。
在这个过程中，借助正方形，由“分”“画”“看”和“想”，充分调动多种感官，厘清了0.1元和1元之间的关系，把0.1元和1元联结起来。生活事例用数学中的形表达出来，学生获得了丰富的直观感知：零点几元就表示十分之几元，十分之几元可以写成零点几元。
认识分数同样如此，只有真正动手去“圈”“画”“分”，表示4个、6个、8个以及更多桃的二分之一、三分之一、六分之一，等等，才能把一个整体平均分的直观过程和抽象的分数对应起来，建立起清晰的表象，在具体事例和数学表象之间架起了桥梁。
二、以形促思。抽象本质
数是符号，是对数量抽象结果的表征，以“形”来进一步引发学生的数学思考，是学生在对概念形成表象的基础上进一步进行概括与提炼、抽象出本质内涵，并最终实现符号化的有效方式。
用正方形来表示1元、1角，把4个桃、6个桃平均分，这时候的形是具体可感且直观单一的，而抽象概括本身需要大量的事例，在不断的变式比较中把非本质的属性剔除开来，所以随之还需呈现变化多样的形，在不断凝练和浓缩、逐步升华中抽象出数的本质属性，
在认识整体的几分之一时，可以把4个桃、6个桃、8个桃、16个桃……100个桃，平均分成2份、3份、4份，等等，甚至可以出现一堆数也数不完的桃，让学生来想象平均分的过程，并在描述中把实物的桃子图逐步虚化抽象成下图。
进一步借助观察比较得出：不管有多少个桃，只要平均分成两份，每份就是这些桃的二分之一，平均分成三份，就是这些桃的三分之一……并追问：除了可以把一些桃平均分，还可以把什么平均分？随着学生的回答：把一些橘子、一些本子、一个班的同学、一堆黄沙等平均分时，这个虚化的正方形的内涵越来越丰厚，最终达到高度抽象：只要把一个整体平均分成几份，每份就是这个整体的几分之一。不断抽象化的图形和具体事例的逐步抽象相辅相成，最终平均分、平均分的份数、表示的份数这样一个动态的过程与分数这个高度抽象化的符号之间形成完美对接。
同样，在认识小数时，可以用一个正方形表示1元，如果把正方形压一压，就变成了长方形，再压一压……最终方方正正的图形变成了—条细细的线段。
教师进一步提问：这样一条线段能表示1元吗？能表示1角吗？还能表示什么？启迪性的问题催生着学生的思考：这条线段除了可以表示1元，还可以表示1角、1米、1分米，等等。于是在这条线段上，学生对小数的认识越来越深入：零点几米表示十分之几米，零点几分米表示十分之几分米，甚至零点几角表示十分之几角……最终得出：这条线段可以表示任何一个“1”，平均分成10份，依次都能找到0.1、0.2、0.3、0.4……0.9，这时候具体的1元、1角、1米、1分米等数量进一步被抽象成了数：任何一个一位小数都表示分母是10的分数，分母是10的分数就可以写成一位小数。一位小数的本质内涵在层层抽丝剥茧后被发掘出来，并形成0.1、0.2、0.3……0.9的符号化表达。
三、以形建模，发展数感
数感归属于数学抽象，是建立在明确的数概念和计算活动基础上的对数的感悟，良好数感的建立对学生数学学习起着极其重要的作用。小学阶段数感的培养同样离不开数与形的结合，从原生状态的形到抽象意义的形，借助“形”承载“数”的实际意义，逐步建立数的模型，数感就是在形与数之间的穿梭承接中渐渐发展起来的。
无论是认识分数还是认识小数，都需要以形建模，发展数感。当一个个桃子用一个个圆形来表示，当一堆桃子被抽象成虚化的图形直至线段：当1元用1个正方形表示，当正方形承载更多的具象并不断变化成长方形、线段，学生对分数、小数的认识也随之层层递进，外在的物理属性被层层剥离后只剩下简约的形与数一一对应时，分数、小数的模型呼之欲出了。这时候，教师不能停下脚步，而是要进一步引着学生往下走——
结合线段图提问：如果这是直线的一部分，我们把它向右延长，1右边还有2，2右边还有谁？3右边呢？……这时候你还能找到哪些分数和小数呢？
然后进一步追问：老师也找一个，1.8，它在哪儿呢？怎么找的？2.6在几和几之间？它在2.5的左边还是右边？你能找到100.1吗？在哪儿？
由线段到直线，由线段向右不断延伸，这条被赋予了方向的直线成了数学意义上的数轴。在教师的连续追问下，大大小小的分数和小数与数轴上的点一一对应起来，每两个整数之间都能找到9个一位小数（即分母是10的分数），0.1（1/10）和1的十进制关系被清楚地展现出来，并且在数数找数的过程中，学生清楚地认识到越往右数越大，小数可以很小，也可以很大。数的大小关系在数轴上呈现出来时，数的模型便也成功建立，而学生的数感也在这个过程中得到很大程度的发展。
“数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的、具有数学特征的关键能力和思维品质。”无论是本文中提到的符号意识还是数感培养，抑或是其他能力都不是一蹴而就的，正如数概念的建立不能一次完成一样，只有遵循小学生的认知特点不断建构、逐步完善，在系统化的学习中以素养的形成来展开教学活动，那么，学生终身受用的数学学习的品质和能力才会渐次形成。
【关键词】核心素养 抽象 表象 数感 建模
史宁中教授提出：“数学核心素养表现在小学阶段，主要是数学抽象、逻辑推理和数学模型三个方面。其中，数学抽象是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思維过程。”数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，而数是对数量抽象的结果，数的关系则来自于数量的关系，因此，数的概念教学和数学抽象是密切相关的。笔者以苏教版数学三年级下册“数的概念”教学为例，谈谈如何通过数学抽象有效培养学生的核心素养。
一、以形感知，建立表象
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，是形象思维的基础。小学生获得概念的方式离不开对具体材料的充分感知。所以，我们应该提供有效并且足够丰富的感性材料，让学生剔除非本质因素，把握数的本质属性，从而建立正确的表象。
对三年级学生而言，对小数的生活经验还远未触及小数的本质，还要进一步在已有认识基础上帮助学生形成数学认知。这时候，形的引入是极其必要的。
（1）唤起生活经验：超市购物袋0.1元就是多少钱？这时候学生在小数和整数之间形成了初步联结：0.1元就是1角。
（2）以正方形为载体，表示出0.1元：如果用1个正方形表示1元，你能画一画、涂一涂表示出0.1元吗？
这时候学生会出现各种不同的表示方式，教师及时组织学生进行辨析：有的学生说图1不能表示出0.1元，只是大约涂了一块，没有平均分，看不出0.1元和1元之间的关系。有的学生认为图2平均分的份数不对，而图3、图4都把1元平均分成了10份，表示其中的1份确实是0.1元。
根据学生零零散散的描述，进一步追问：从同学们的评价中，听出了大家的意见，要表示出0.1元，先要平均分，把1元平均分成10份。你们是怎么想到平均分成10份的？
学生思路渐渐明朗起来：因为0.1元就是1角，1元=10角，1角就是这10角中的1份，所以要表示出0.1元，得把1元平均分成10份。图3和图4虽然平均分的方式不同，但都是把1元平均分成10份，表示这样的1份，
（3）充允想象：看着涂色部分，还想到了什么？（1/10）
继而，继续用一个正方形表示1元，在正方形中表示出0.2元、0.3元，并想象0.4元、0.5元……0.9元以及相对应的分数。
在这个过程中，借助正方形，由“分”“画”“看”和“想”，充分调动多种感官，厘清了0.1元和1元之间的关系，把0.1元和1元联结起来。生活事例用数学中的形表达出来，学生获得了丰富的直观感知：零点几元就表示十分之几元，十分之几元可以写成零点几元。
认识分数同样如此，只有真正动手去“圈”“画”“分”，表示4个、6个、8个以及更多桃的二分之一、三分之一、六分之一，等等，才能把一个整体平均分的直观过程和抽象的分数对应起来，建立起清晰的表象，在具体事例和数学表象之间架起了桥梁。
二、以形促思。抽象本质
数是符号，是对数量抽象结果的表征，以“形”来进一步引发学生的数学思考，是学生在对概念形成表象的基础上进一步进行概括与提炼、抽象出本质内涵，并最终实现符号化的有效方式。
用正方形来表示1元、1角，把4个桃、6个桃平均分，这时候的形是具体可感且直观单一的，而抽象概括本身需要大量的事例，在不断的变式比较中把非本质的属性剔除开来，所以随之还需呈现变化多样的形，在不断凝练和浓缩、逐步升华中抽象出数的本质属性，
在认识整体的几分之一时，可以把4个桃、6个桃、8个桃、16个桃……100个桃，平均分成2份、3份、4份，等等，甚至可以出现一堆数也数不完的桃，让学生来想象平均分的过程，并在描述中把实物的桃子图逐步虚化抽象成下图。
进一步借助观察比较得出：不管有多少个桃，只要平均分成两份，每份就是这些桃的二分之一，平均分成三份，就是这些桃的三分之一……并追问：除了可以把一些桃平均分，还可以把什么平均分？随着学生的回答：把一些橘子、一些本子、一个班的同学、一堆黄沙等平均分时，这个虚化的正方形的内涵越来越丰厚，最终达到高度抽象：只要把一个整体平均分成几份，每份就是这个整体的几分之一。不断抽象化的图形和具体事例的逐步抽象相辅相成，最终平均分、平均分的份数、表示的份数这样一个动态的过程与分数这个高度抽象化的符号之间形成完美对接。
同样，在认识小数时，可以用一个正方形表示1元，如果把正方形压一压，就变成了长方形，再压一压……最终方方正正的图形变成了—条细细的线段。
教师进一步提问：这样一条线段能表示1元吗？能表示1角吗？还能表示什么？启迪性的问题催生着学生的思考：这条线段除了可以表示1元，还可以表示1角、1米、1分米，等等。于是在这条线段上，学生对小数的认识越来越深入：零点几米表示十分之几米，零点几分米表示十分之几分米，甚至零点几角表示十分之几角……最终得出：这条线段可以表示任何一个“1”，平均分成10份，依次都能找到0.1、0.2、0.3、0.4……0.9，这时候具体的1元、1角、1米、1分米等数量进一步被抽象成了数：任何一个一位小数都表示分母是10的分数，分母是10的分数就可以写成一位小数。一位小数的本质内涵在层层抽丝剥茧后被发掘出来，并形成0.1、0.2、0.3……0.9的符号化表达。
三、以形建模，发展数感
数感归属于数学抽象，是建立在明确的数概念和计算活动基础上的对数的感悟，良好数感的建立对学生数学学习起着极其重要的作用。小学阶段数感的培养同样离不开数与形的结合，从原生状态的形到抽象意义的形，借助“形”承载“数”的实际意义，逐步建立数的模型，数感就是在形与数之间的穿梭承接中渐渐发展起来的。
无论是认识分数还是认识小数，都需要以形建模，发展数感。当一个个桃子用一个个圆形来表示，当一堆桃子被抽象成虚化的图形直至线段：当1元用1个正方形表示，当正方形承载更多的具象并不断变化成长方形、线段，学生对分数、小数的认识也随之层层递进，外在的物理属性被层层剥离后只剩下简约的形与数一一对应时，分数、小数的模型呼之欲出了。这时候，教师不能停下脚步，而是要进一步引着学生往下走——
结合线段图提问：如果这是直线的一部分，我们把它向右延长，1右边还有2，2右边还有谁？3右边呢？……这时候你还能找到哪些分数和小数呢？
然后进一步追问：老师也找一个，1.8，它在哪儿呢？怎么找的？2.6在几和几之间？它在2.5的左边还是右边？你能找到100.1吗？在哪儿？
由线段到直线，由线段向右不断延伸，这条被赋予了方向的直线成了数学意义上的数轴。在教师的连续追问下，大大小小的分数和小数与数轴上的点一一对应起来，每两个整数之间都能找到9个一位小数（即分母是10的分数），0.1（1/10）和1的十进制关系被清楚地展现出来，并且在数数找数的过程中，学生清楚地认识到越往右数越大，小数可以很小，也可以很大。数的大小关系在数轴上呈现出来时，数的模型便也成功建立，而学生的数感也在这个过程中得到很大程度的发展。
“数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的、具有数学特征的关键能力和思维品质。”无论是本文中提到的符号意识还是数感培养，抑或是其他能力都不是一蹴而就的，正如数概念的建立不能一次完成一样，只有遵循小学生的认知特点不断建构、逐步完善，在系统化的学习中以素养的形成来展开教学活动，那么，学生终身受用的数学学习的品质和能力才会渐次形成。