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【摘 要】贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，公式涉及条件概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，也是概率统计教学中的一个难点。本文介绍贝叶斯公式的定义以及应用实例，以便在教学中更好地幫助学生深入地理解以及应用公式。
【关键词】贝叶斯公式；条件概率公式；全概率公式；乘法公式；概率统计教学
【中图分类号】G640 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）15-0025-01
一、引言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，它的理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个领域。最简单的投掷硬币问题、博彩中奖、平分赌金、约会问题，到导弹的命中率、航天器碰撞概率、投资风险估计问题等等，都离不开概率论与数理统计知识.法国数学家拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，绝大多数在实质上只是概率的问题”.而贝叶斯公式是概率论与数理统计课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯于17世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。公式涉及条件概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，复杂难记、与全概率公式难于区分。根据自己多年的教学经验，下面举例进行讲解。
二、贝叶斯公式的定义
先引入样本空间Ω的划分的定义：
设Ω为样本空间，A1，A2，…，An为Ω的一组事件，若满足
（1）AiAj=，i≠j，i，j=1，2，…，n
（2）∪〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗Ai=Ω
则称A1，A2，…An为样本空间Ω的一个划分。
例如：A，A〖TX-〗就是Ω的一个划分。
若A1，A2，…，An是Ω的一个划分，那么，对每次试验，事件A1，A2，…，An中必有一个且仅有一个发生。
贝叶斯（Bayes）公式：
设样本空间为Ω，B为Ω中的事件，A1，A2，…，An为Ω的一个划分，且，P（B）>0，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则有
P（Ai|B）=〖SX（〗P（B|Ai）P（Ai）〖〗∑〖DD（〗n〖〗j=1〖DD）〗P（B|Aj）P（Aj）〖SX）〗，i=1，2，…，n
称上式为贝叶斯（Bayes）公式，也称为逆概率公式。
三、针对普通理工科学生所举的例子
（医疗诊断）由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95.现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率。
解：设A表示“患有癌症”，A〖TX-〗表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005，P（A〖TX-〗）=0.995，P（B|A）=0.95，P（B〖TX-〗|A〖TX-〗）=0.95
由此P（B|A〖TX-〗） =1-0.95=0.05
由贝叶斯公式得P（A|B）=〖SX（〗P（A）P（B|A）〖〗P（A）P（B|A）+P（A〖TX-〗）P（B|A〖TX-〗）〖SX）〗=0.087。
根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率。而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率。此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有8.7人的确患有癌症）。由此可看出，当我们去医院检查出阳性时，不必惊慌。
四、针对电信学院的学生所举的例子
（修理计算机系统）一所大学暂时关闭计算机系统的局域网以便维修。以前的关闭是由于硬件故障，软件故障或电力故障。维护工程师确定硬件，软件和电力问题的概率分别为0.01，0.05和0.02。确定了如系统遇到硬件问题，以的机会关闭。类似地，若软件问题发生，以的机会关闭；如果电力故障发生，系统以的机会关闭。局域网的当前关闭是由于硬件故障？软件故障？电力故障的概率分别是多少？
解：用A表示“硬件故障”，B表示“软件故障”，C表示“电力故障”，D表示“系统关闭”，则由条件得P（A）=0.01，P（B）=0.05，P（C）=0.02，
P（D|A）=0.73，P（D|B）=0.12，P（D|C）=0.88。
P（D）〖ZK（〗=P（AD）+P（BD）+P（CD）
=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.0309〖ZK）〗
由贝叶斯公式得
P（A|D）=〖SX（〗P（A）P（D|A）〖〗P（D）〖SX）〗=0.2362，P（B|D）=〖SX（〗P（B）P（D|B）〖〗P（D）〖SX）〗=0.19417，
P（C|D）=〖SX（〗P（C）P（D|C）〖〗P（D）〖SX）〗=0.569579
当系统关闭时，应该先检查电力，然后再检查硬件，最后检查软件。
五、针对建筑工程学院的学生所举的例子
（估计任务成本中的错误） 一个建筑公司雇佣了三个销售工程师，记为（E1，E2，E3），分别估计所有投标任务成本的0.3，0.2和0.5。用D表示工程师们在估计成本时犯严重错误，且有P（D|E1）=0.01，P（D|E2）=0.03，P（D|E3）=0.02。求在估计成本时，如某个投标出现错误，错误由工程师E1，E2，E3造成的概率分别是多少？哪个工程师最有可能为重大错误负责？ 解：由条件得P（E1）=0.3，P（E2）=0.2，P（E3）=0.5。
P（D）〖ZK（〗=P（E1D）+P（E2D）+P（E3D）
=P（E1）P（D|E1）+P（E2）P（D|E2）+P（E3）P（D|E3）=0.019〖ZK）〗
由贝叶斯公式得
P（E1|D）=〖SX（〗P（E1）P（D|E1）〖〗P（D）〖SX）〗=0.158，P（E2|D）=〖SX（〗P（E2）P（D|E2）〖〗P（D）〖SX）〗=0.316，
P（E3|D）=〖SX（〗P（E3）P（D|E3）〖〗P（D）〖SX）〗=0.526。
由此可见工程师E3最有可能为重大错误负责。
六、小结
在贝叶斯公式的教学中，为了让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用。教学是一种传知的高级心智活动 ，这种活动有着自己的规律性。一个数学教师应该有创造性工作的体验 ，针对不同专业的学生采用不同的教学方法，在教学实践中去细心体察与探索 。使同学们对 《概率论与数理统计》课程更加感兴趣 ，更好地学习这门课程以及应用这门课程的知识到自己所学的专业当中，服务于所学的专业及未来的生产实践生活中。
参考文献
[1]盛骤，谢式干，潘永毅.概率论与数理统计[M].北京： 高等教育出版社，2008.
[2]茆诗松.《概率论与数理统计教程》.北京：高等教育出版社，2004.
[3]王宁，孙晓玲。概率论与数理统计实验教学案例设计及实现[ J].合肥师范学院学报，2014，32（3）：69-72.
[4]刘东海，彭丹.概率统计教学中融入数学文化的探讨[ J].当代教育理论与实践，2013，5（5）：135-136.
[5]馬金凤，汤烨.将数学史及实际案例融人概率统计课程的教法研究[ J].数学教学研究，2010，29（4）：57-60.
[6]周明儒.文科高等数学教学实践与思考[J].大学数学学报，2006（10）：112-113.
[7]邓华玲，傅丽芳，孟军，等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004（1）：34-35.
[8]李国华.贝叶斯公式的应用[J].牡丹江大学学报，2011，20（7）：95-96.
[9]宇世航.贝叶斯公式的教学方法[J].高师理科学刊，2011，31（6）：87-89.
[10]王君.贝叶斯公式应用教学的一种新设计[J].新疆师范大学学报，2011，30（4）：71-74.
[11]刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010，24（2）：80-82.
个人简介：唐献秀（198412），女，广西都安，讲师，硕士。研究方向：概率论与数理统计。
【关键词】贝叶斯公式；条件概率公式；全概率公式；乘法公式；概率统计教学
【中图分类号】G640 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）15-0025-01
一、引言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，它的理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个领域。最简单的投掷硬币问题、博彩中奖、平分赌金、约会问题，到导弹的命中率、航天器碰撞概率、投资风险估计问题等等，都离不开概率论与数理统计知识.法国数学家拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，绝大多数在实质上只是概率的问题”.而贝叶斯公式是概率论与数理统计课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯于17世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。公式涉及条件概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，复杂难记、与全概率公式难于区分。根据自己多年的教学经验，下面举例进行讲解。
二、贝叶斯公式的定义
先引入样本空间Ω的划分的定义：
设Ω为样本空间，A1，A2，…，An为Ω的一组事件，若满足
（1）AiAj=，i≠j，i，j=1，2，…，n
（2）∪〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗Ai=Ω
则称A1，A2，…An为样本空间Ω的一个划分。
例如：A，A〖TX-〗就是Ω的一个划分。
若A1，A2，…，An是Ω的一个划分，那么，对每次试验，事件A1，A2，…，An中必有一个且仅有一个发生。
贝叶斯（Bayes）公式：
设样本空间为Ω，B为Ω中的事件，A1，A2，…，An为Ω的一个划分，且，P（B）>0，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则有
P（Ai|B）=〖SX（〗P（B|Ai）P（Ai）〖〗∑〖DD（〗n〖〗j=1〖DD）〗P（B|Aj）P（Aj）〖SX）〗，i=1，2，…，n
称上式为贝叶斯（Bayes）公式，也称为逆概率公式。
三、针对普通理工科学生所举的例子
（医疗诊断）由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95.现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率。
解：设A表示“患有癌症”，A〖TX-〗表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005，P（A〖TX-〗）=0.995，P（B|A）=0.95，P（B〖TX-〗|A〖TX-〗）=0.95
由此P（B|A〖TX-〗） =1-0.95=0.05
由贝叶斯公式得P（A|B）=〖SX（〗P（A）P（B|A）〖〗P（A）P（B|A）+P（A〖TX-〗）P（B|A〖TX-〗）〖SX）〗=0.087。
根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率。而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率。此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有8.7人的确患有癌症）。由此可看出，当我们去医院检查出阳性时，不必惊慌。
四、针对电信学院的学生所举的例子
（修理计算机系统）一所大学暂时关闭计算机系统的局域网以便维修。以前的关闭是由于硬件故障，软件故障或电力故障。维护工程师确定硬件，软件和电力问题的概率分别为0.01，0.05和0.02。确定了如系统遇到硬件问题，以的机会关闭。类似地，若软件问题发生，以的机会关闭；如果电力故障发生，系统以的机会关闭。局域网的当前关闭是由于硬件故障？软件故障？电力故障的概率分别是多少？
解：用A表示“硬件故障”，B表示“软件故障”，C表示“电力故障”，D表示“系统关闭”，则由条件得P（A）=0.01，P（B）=0.05，P（C）=0.02，
P（D|A）=0.73，P（D|B）=0.12，P（D|C）=0.88。
P（D）〖ZK（〗=P（AD）+P（BD）+P（CD）
=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.0309〖ZK）〗
由贝叶斯公式得
P（A|D）=〖SX（〗P（A）P（D|A）〖〗P（D）〖SX）〗=0.2362，P（B|D）=〖SX（〗P（B）P（D|B）〖〗P（D）〖SX）〗=0.19417，
P（C|D）=〖SX（〗P（C）P（D|C）〖〗P（D）〖SX）〗=0.569579
当系统关闭时，应该先检查电力，然后再检查硬件，最后检查软件。
五、针对建筑工程学院的学生所举的例子
（估计任务成本中的错误） 一个建筑公司雇佣了三个销售工程师，记为（E1，E2，E3），分别估计所有投标任务成本的0.3，0.2和0.5。用D表示工程师们在估计成本时犯严重错误，且有P（D|E1）=0.01，P（D|E2）=0.03，P（D|E3）=0.02。求在估计成本时，如某个投标出现错误，错误由工程师E1，E2，E3造成的概率分别是多少？哪个工程师最有可能为重大错误负责？ 解：由条件得P（E1）=0.3，P（E2）=0.2，P（E3）=0.5。
P（D）〖ZK（〗=P（E1D）+P（E2D）+P（E3D）
=P（E1）P（D|E1）+P（E2）P（D|E2）+P（E3）P（D|E3）=0.019〖ZK）〗
由贝叶斯公式得
P（E1|D）=〖SX（〗P（E1）P（D|E1）〖〗P（D）〖SX）〗=0.158，P（E2|D）=〖SX（〗P（E2）P（D|E2）〖〗P（D）〖SX）〗=0.316，
P（E3|D）=〖SX（〗P（E3）P（D|E3）〖〗P（D）〖SX）〗=0.526。
由此可见工程师E3最有可能为重大错误负责。
六、小结
在贝叶斯公式的教学中，为了让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用。教学是一种传知的高级心智活动 ，这种活动有着自己的规律性。一个数学教师应该有创造性工作的体验 ，针对不同专业的学生采用不同的教学方法，在教学实践中去细心体察与探索 。使同学们对 《概率论与数理统计》课程更加感兴趣 ，更好地学习这门课程以及应用这门课程的知识到自己所学的专业当中，服务于所学的专业及未来的生产实践生活中。
参考文献
[1]盛骤，谢式干，潘永毅.概率论与数理统计[M].北京： 高等教育出版社，2008.
[2]茆诗松.《概率论与数理统计教程》.北京：高等教育出版社，2004.
[3]王宁，孙晓玲。概率论与数理统计实验教学案例设计及实现[ J].合肥师范学院学报，2014，32（3）：69-72.
[4]刘东海，彭丹.概率统计教学中融入数学文化的探讨[ J].当代教育理论与实践，2013，5（5）：135-136.
[5]馬金凤，汤烨.将数学史及实际案例融人概率统计课程的教法研究[ J].数学教学研究，2010，29（4）：57-60.
[6]周明儒.文科高等数学教学实践与思考[J].大学数学学报，2006（10）：112-113.
[7]邓华玲，傅丽芳，孟军，等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004（1）：34-35.
[8]李国华.贝叶斯公式的应用[J].牡丹江大学学报，2011，20（7）：95-96.
[9]宇世航.贝叶斯公式的教学方法[J].高师理科学刊，2011，31（6）：87-89.
[10]王君.贝叶斯公式应用教学的一种新设计[J].新疆师范大学学报，2011，30（4）：71-74.
[11]刘罗华，汤琼.工科院校大学数学的案例式教学探讨[J].湖南工业大学学报，2010，24（2）：80-82.
个人简介：唐献秀（198412），女，广西都安，讲师，硕士。研究方向：概率论与数理统计。