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摘 要 文章介绍了灰色预测模型（GM（1,1）模型）的建模过程，并以高校在校生数代表高等教育规模，运用GM（1,1）模型对我国高等教育规模进行预测，通过残差检验和后验差检验这两种方法证明了GM（1,1）模型的有效性，最后利用GM（1,1）模型预测了我国2011-2015年的高等教育规模。结果显示，我国高等教育规模在未来几年将呈现逐年上升的趋势。
关键词 高等教育规模 预测 灰色预测模型
0 引言
高等教育规模预测是教育规划制定、教学资源合理配置过程中的重要环节，同时它也为政府部门制定教育规划与政策提供必要的决策依据和支持。高等教育发展规模不仅受经济发展水平及产业结构的影响，还要受到人口总数及居民生活水平等的影响。此外文化环境及国家的高等教育决策也会对高等教育规模产生一定影响。这些因素有些是确定性的，有些是不确定性的，并且实际中可利用的数据量较少，这给高等教育规模预测带来较大的困难。由邓聚龙提出的灰色系统理论根据过去及现在已知或不完全确定的信息，建立一个从过去到将来的灰色预测模型，从而确定系统在未来发展的趋势。灰色预测模型所需数据较少，通常只要4个以上数据即可建模，而且预测精度较高，计算简单，能够较好地反映系统的实际状况，因此，灰色预测模型适用于高等教育规模的预测。
1 灰色预测模型
灰色预测模型是灰色系统理论的主要模型之一，其基本思想是通过对原始数据序列进行适当的处理，掌握数据序列的发展规律性，建立微分方程（灰色模型）对数据序列的未来状态做出科学的定量预测。最常用的灰色预测模型是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成，称之为GM（1,1）模型，其建模过程如下：
设原始非负数据序列为 = {,,…,}，通过一次累加处理生成的新序列为 = {,,…,}，其中 = ,（ = 1,2,…,），由新序列拟合微分方程：
/ + = （1）
其中，参数，可利用最小二乘法估计求出：
，
其中和分别为如下矩阵：
求解微分方程（1），即可得到GM（1,1）模型的时间响应函数：
（2）
由上式对新序列进行预测，并通过一次累减生成得到原始数据序列的预测值：
（3）
2 实例应用
2.1 资料来源
利用上述所建的GM（1,1）模型对我国高等教育规模进行预测。衡量高等教育规模的指标较多，如高等教育毛入学率、高校在校生数等。高等教育毛入学率反映了适龄青年的难易程度，无法反映一国的高等教育规模；高校在校生数能够间接地反映高等学校容纳学生的生活用和教学用建筑设施以及其它固定资产的规模，此外还能反映高校按一定生师比配备的教师队伍的规模等。因此，本文以2005-2010年的高校在校生数为研究对象，对我国高等教育规模进行实例分析，所需数据来源于《中国统计年鉴2011》。
2.2 分析过程及结果
（1）数据处理。将高校在校生数设为原始序列
= {1561.8,1738.8,1884.9.2021.0,2144.7,2231.8}
将原始序列一次累加成新序列
= {1561.8,3300.6,5185.5,7206.5,9351.2,11583.0}
（2）估计参数。由最小二乘法估计参数、的值：
= -0.0617， = 1614.2814
（3）建立预测模型。GM（1,1）预测模型为
（4）求解预测值。将 = 0,1,2,…,7代入上式中，即可得到数据的一次累加预测值，再对其进行一次累减处理，得到原始序列的预测值。
（5）模型精度检验。残差检验，即利用绝对误差和相对误差进行检验。结果见表1。GM（1,1）模型的绝对误差和相对误差均较小，最大、最小相对误差仅为1.47%和-0.44%，表明模型的预测精度较高。
后验差检验，即利用后验差比和小误差概率进行检验。设为原始序列的标准差，为绝对误差的标准差，则后验差比 = / = 22.3870/25.8326 = 0.0885；设为绝对误差，为绝对误差均值，则小误差概率 = {∣∣＜0.6475} = 1。值越大、值越小，GM（1,1）模型的预测精度越高。由表2的预测精度等级标准可知，GM（1,1）模型的精度达到一级好的标准，说明预测结果的可靠性较高。
表2 灰色预测的精度等级标准
（6）外推预测。利用所建立的GM（1,1）模型预测我国2011-2015年的高等教育规模，结果见表3。我国高等教育规模在未来几年中呈现出逐年增加的趋势，2015年普通高校在校生数将达到约3073.7万人。
表3 2011-2015年高等教育规模预测值
3 结论
将GM（1,1）模型应用于我国高等教育规模预测中，以残差检验和后验差检验验证模型的有效性，并外推预测了我国未来几年的高等教育规模。结果表明，GM（1,1）模型在我国高等教育规模预测中取得了良好的效果，预测精度达到一级好的标准。从外推预测结果看，我国高等教育规模在未来几年将保持上升趋势。
€L茏手钅浚汉颖笔∩缁峥蒲Х⒄寡芯靠翁饷裆餮凶ㄏ羁翁猓ū嗪牛?01201290）；石家庄铁道大学“十二五”教育科学研究规划课题 （编号：110418）
关键词 高等教育规模 预测 灰色预测模型
0 引言
高等教育规模预测是教育规划制定、教学资源合理配置过程中的重要环节，同时它也为政府部门制定教育规划与政策提供必要的决策依据和支持。高等教育发展规模不仅受经济发展水平及产业结构的影响，还要受到人口总数及居民生活水平等的影响。此外文化环境及国家的高等教育决策也会对高等教育规模产生一定影响。这些因素有些是确定性的，有些是不确定性的，并且实际中可利用的数据量较少，这给高等教育规模预测带来较大的困难。由邓聚龙提出的灰色系统理论根据过去及现在已知或不完全确定的信息，建立一个从过去到将来的灰色预测模型，从而确定系统在未来发展的趋势。灰色预测模型所需数据较少，通常只要4个以上数据即可建模，而且预测精度较高，计算简单，能够较好地反映系统的实际状况，因此，灰色预测模型适用于高等教育规模的预测。
1 灰色预测模型
灰色预测模型是灰色系统理论的主要模型之一，其基本思想是通过对原始数据序列进行适当的处理，掌握数据序列的发展规律性，建立微分方程（灰色模型）对数据序列的未来状态做出科学的定量预测。最常用的灰色预测模型是由一个只包含单变量的一阶微分方程构成，称之为GM（1,1）模型，其建模过程如下：
设原始非负数据序列为 = {,,…,}，通过一次累加处理生成的新序列为 = {,,…,}，其中 = ,（ = 1,2,…,），由新序列拟合微分方程：
/ + = （1）
其中，参数，可利用最小二乘法估计求出：
，
其中和分别为如下矩阵：
求解微分方程（1），即可得到GM（1,1）模型的时间响应函数：
（2）
由上式对新序列进行预测，并通过一次累减生成得到原始数据序列的预测值：
（3）
2 实例应用
2.1 资料来源
利用上述所建的GM（1,1）模型对我国高等教育规模进行预测。衡量高等教育规模的指标较多，如高等教育毛入学率、高校在校生数等。高等教育毛入学率反映了适龄青年的难易程度，无法反映一国的高等教育规模；高校在校生数能够间接地反映高等学校容纳学生的生活用和教学用建筑设施以及其它固定资产的规模，此外还能反映高校按一定生师比配备的教师队伍的规模等。因此，本文以2005-2010年的高校在校生数为研究对象，对我国高等教育规模进行实例分析，所需数据来源于《中国统计年鉴2011》。
2.2 分析过程及结果
（1）数据处理。将高校在校生数设为原始序列
= {1561.8,1738.8,1884.9.2021.0,2144.7,2231.8}
将原始序列一次累加成新序列
= {1561.8,3300.6,5185.5,7206.5,9351.2,11583.0}
（2）估计参数。由最小二乘法估计参数、的值：
= -0.0617， = 1614.2814
（3）建立预测模型。GM（1,1）预测模型为
（4）求解预测值。将 = 0,1,2,…,7代入上式中，即可得到数据的一次累加预测值，再对其进行一次累减处理，得到原始序列的预测值。
（5）模型精度检验。残差检验，即利用绝对误差和相对误差进行检验。结果见表1。GM（1,1）模型的绝对误差和相对误差均较小，最大、最小相对误差仅为1.47%和-0.44%，表明模型的预测精度较高。
后验差检验，即利用后验差比和小误差概率进行检验。设为原始序列的标准差，为绝对误差的标准差，则后验差比 = / = 22.3870/25.8326 = 0.0885；设为绝对误差，为绝对误差均值，则小误差概率 = {∣∣＜0.6475} = 1。值越大、值越小，GM（1,1）模型的预测精度越高。由表2的预测精度等级标准可知，GM（1,1）模型的精度达到一级好的标准，说明预测结果的可靠性较高。
表2 灰色预测的精度等级标准
（6）外推预测。利用所建立的GM（1,1）模型预测我国2011-2015年的高等教育规模，结果见表3。我国高等教育规模在未来几年中呈现出逐年增加的趋势，2015年普通高校在校生数将达到约3073.7万人。
表3 2011-2015年高等教育规模预测值
3 结论
将GM（1,1）模型应用于我国高等教育规模预测中，以残差检验和后验差检验验证模型的有效性，并外推预测了我国未来几年的高等教育规模。结果表明，GM（1,1）模型在我国高等教育规模预测中取得了良好的效果，预测精度达到一级好的标准。从外推预测结果看，我国高等教育规模在未来几年将保持上升趋势。
€L茏手钅浚汉颖笔∩缁峥蒲Х⒄寡芯靠翁饷裆餮凶ㄏ羁翁猓ū嗪牛?01201290）；石家庄铁道大学“十二五”教育科学研究规划课题 （编号：110418）