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初学勾股定理及其逆定理的同学,由于知识、方法不熟练, 常常出现一些不必要的错误,失分率较高. 下面针對同学们具体失误的原因, 配合相关习题进行分析,希望同学们能借助这股“洪荒之力”走出误区.
一、思维定势错判断
【例1】 在△ABC中各边长均为整数,a=3,b=4,c是最长边,求c.
【错解】由勾股定理,得c=[a2 b2]=[42 32]=5.
【错因分析】这个解法是受思维定势“勾三股四弦五”的影响, 将△ABC当成了直角三角形, 出现了知识的“负迁移”.实际上, 题中并没有给出直角三角形这个前提条件.
【正解】由三角形三边关系,得b 二、概念不清引争议
【例2】下列各组数能构成勾股数的是:
①0.07, 0.24, 0.25; ② 6, 8, 10; ③7, 8, 10;④ [35],[45],1.
【错解】①②④.
【错因分析】首先, 勾股数必须是一组正整数;其次,勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 选择①④的同学主要是对勾股数概念不理解, 出现概念错误.
【正解】②.
三、不知分类导错误
1.不分勾、股、弦.
【例3】在Rt△ABC中,a=3,b=4,求c.
【错解】由勾股定理,得c=[a2 b2]=[42 32]=5.
【错因分析】这里默认了∠C为直角.其实,题目中没有明确哪个角为直角,当b>a时,∠B可以为直角,故本题解答遗漏了这种情况.
【正解】因为直角三角形中,斜边最长,所以a不能为斜边,即∠A不能为直角.当∠C为直角时,c=[42 32]=5;当∠B为直角时,c=[42-32]=[7].
2.不分高在形内和形外.
【例4】在△ABC中,若AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求△ABC的周长.
【错解】如图,AB、AC在高AD的两侧,由勾股定理,得BD=[AB2-AD2]=[132-122]=5,CD=[AC2-AD2]=[152-122]=9 ,所以BC=5 9=14,最后△ABC的周长为AB BC AC=15 14 13=42.
【错因分析】本题需要同学们先分析题意画出符合要求的图形再解答. 在作图时,没有考虑三角形的形状,出现漏解情况.
【正解】情况1:AB、AC在高AD的两侧,由勾股定理,可得:BD=5,CD=9,BC=14,三角形ABC的周长为42.情况2:如下图,AB、AC在AD的同侧,前面已得BD=5,CD=9,所以BC=9-5=4,最后△ABC的周长为AB BC AC=15 4 13=32.
四、直觉经验漏条件
【例5】如图,在△ABC中,AB=15,AC=8,AD是中线且AD=8.5,求BC的长.
【错解】由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得:BC=2AD=17.
【错因分析】解题时看到熟悉的图形,很多同学往往粗略审题,忽略了题目的条件与熟悉的图形的细微差别,把未知的结论当已知条件直接使用,导致错解.这里的∠BAC=90°并不容易证明.
【正解】如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,易证△ADC≌△EDB.∴BE=AC=8,∠CAD=∠E.∴AC∥BE.又∵BE2 AB2=82 152=289,AE2=172=289.∴BE2 AB2=AE2 .∴∠ABE=90°.∵AC∥BE.∴∠BAC=180°-90°=90°.∴BC=[82 152]=17 .
五、错用特殊替一般
【例6】已知在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n,b=[n24]-1,c=[n2 44](n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.
【错解】 ∵n是大于2的偶数,∴取n=4,这时a=4,b=3,c=5.∵a2 b2=42 32=25=52=c2,∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).
【错因分析】同学们在解决此题时,往往会有这样的疑惑:我的答案是正确的,为什么不得分呢?大多数同学错误地把特殊情况当成了一般规律,我们可以用这样的办法解决填空题和选择题,但不能用来解决证明题,证明要有严密的逻辑展示.
【正解】 ∵a2 b2=n2 ([n24]-1)2=n2 [n416]-[n22] 1=[n416] [n22] 1,c2=([n2 44])2=([n24] 1)2=[n416] [n22] 1,∴a2 b2=c2.∴由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形.
(作者单位:江苏省常州市武进区礼嘉中学)
一、思维定势错判断
【例1】 在△ABC中各边长均为整数,a=3,b=4,c是最长边,求c.
【错解】由勾股定理,得c=[a2 b2]=[42 32]=5.
【错因分析】这个解法是受思维定势“勾三股四弦五”的影响, 将△ABC当成了直角三角形, 出现了知识的“负迁移”.实际上, 题中并没有给出直角三角形这个前提条件.
【正解】由三角形三边关系,得b
【例2】下列各组数能构成勾股数的是:
①0.07, 0.24, 0.25; ② 6, 8, 10; ③7, 8, 10;④ [35],[45],1.
【错解】①②④.
【错因分析】首先, 勾股数必须是一组正整数;其次,勾股数要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 选择①④的同学主要是对勾股数概念不理解, 出现概念错误.
【正解】②.
三、不知分类导错误
1.不分勾、股、弦.
【例3】在Rt△ABC中,a=3,b=4,求c.
【错解】由勾股定理,得c=[a2 b2]=[42 32]=5.
【错因分析】这里默认了∠C为直角.其实,题目中没有明确哪个角为直角,当b>a时,∠B可以为直角,故本题解答遗漏了这种情况.
【正解】因为直角三角形中,斜边最长,所以a不能为斜边,即∠A不能为直角.当∠C为直角时,c=[42 32]=5;当∠B为直角时,c=[42-32]=[7].
2.不分高在形内和形外.
【例4】在△ABC中,若AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求△ABC的周长.
【错解】如图,AB、AC在高AD的两侧,由勾股定理,得BD=[AB2-AD2]=[132-122]=5,CD=[AC2-AD2]=[152-122]=9 ,所以BC=5 9=14,最后△ABC的周长为AB BC AC=15 14 13=42.
【错因分析】本题需要同学们先分析题意画出符合要求的图形再解答. 在作图时,没有考虑三角形的形状,出现漏解情况.
【正解】情况1:AB、AC在高AD的两侧,由勾股定理,可得:BD=5,CD=9,BC=14,三角形ABC的周长为42.情况2:如下图,AB、AC在AD的同侧,前面已得BD=5,CD=9,所以BC=9-5=4,最后△ABC的周长为AB BC AC=15 4 13=32.
四、直觉经验漏条件
【例5】如图,在△ABC中,AB=15,AC=8,AD是中线且AD=8.5,求BC的长.
【错解】由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得:BC=2AD=17.
【错因分析】解题时看到熟悉的图形,很多同学往往粗略审题,忽略了题目的条件与熟悉的图形的细微差别,把未知的结论当已知条件直接使用,导致错解.这里的∠BAC=90°并不容易证明.
【正解】如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,易证△ADC≌△EDB.∴BE=AC=8,∠CAD=∠E.∴AC∥BE.又∵BE2 AB2=82 152=289,AE2=172=289.∴BE2 AB2=AE2 .∴∠ABE=90°.∵AC∥BE.∴∠BAC=180°-90°=90°.∴BC=[82 152]=17 .
五、错用特殊替一般
【例6】已知在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n,b=[n24]-1,c=[n2 44](n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.
【错解】 ∵n是大于2的偶数,∴取n=4,这时a=4,b=3,c=5.∵a2 b2=42 32=25=52=c2,∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).
【错因分析】同学们在解决此题时,往往会有这样的疑惑:我的答案是正确的,为什么不得分呢?大多数同学错误地把特殊情况当成了一般规律,我们可以用这样的办法解决填空题和选择题,但不能用来解决证明题,证明要有严密的逻辑展示.
【正解】 ∵a2 b2=n2 ([n24]-1)2=n2 [n416]-[n22] 1=[n416] [n22] 1,c2=([n2 44])2=([n24] 1)2=[n416] [n22] 1,∴a2 b2=c2.∴由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形.
(作者单位:江苏省常州市武进区礼嘉中学)