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摘 要 小学数学的深度学习，重要的是强调素养的立意，然后是在此基础上提供载体培养学生深度思维，凸显创造力的提升以及建构自己独特的认知结构的过程。同时，在学习的过程中，也离不开真实情境以及活动的关照，最终促进高阶思维能力的发展以及人格素养的积淀。当然，这也是未来课堂的必然选择。
关键词 小学数学 深度学习 素养立意 工具支持
活动关照
近年来，深度学习逐渐成为教学的热词。深度学习强调追求本质，即追寻知识的核心要义，并形成与之相匹配的框架结构。随着社会的进步与发展，单纯的、碎片化的知识填鸭已经不能顺应时代要求，深度学习中学习的意义已经超越了单纯的知识习得，更是旨在发展学生广泛的技能、态度（能力），培育作为学习者的人格（人性）的成长[1]。我们可以从三个维度阐释小学数学深度学习的学科表达：指向学生主体本身，需要素养的立意;亟需有效支撑，凸显工具的支持;指向问题解决，要有活动的关照。
一、素养的立意
我们都知道，核心素养主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。这样的学习一定不会是因循守旧的亦步亦趋，而是可以持续的学习、发现与创造的过程。
1.问题——好问题超越最完美的答案
缘于真问题的学习就是培养学生提出问题的能力，好的问题一定比完美的答案更加重要。从这个层面来说，素养立意下的数学学习不是教学生学习，而是让学生自己学会学习，在学习的过程中不断地发现问题并为之寻找最佳的解决问题方案。
“平年和闰年”这个知识点一直为我们所熟知，学生对它们的判断方法也是成竹在胸。可是，我们有没有反问一下自己，除了教材所告知的我们还需要掌握哪些知识呢？教材的弊端究竟在哪里？学生不能仅仅是知其然，更重要的是要知其所以然。比如，既然是闰年，那么何为“闰”？这里的“闰”究竟表示何意？《辞海》查阅一下，“闰，余数”。既然“闰”指向余数，那么在历法中出现的“闰月”“闰日”以及“闰秒”是什么意思，也就迎刃而解了。在英文里“闰”还有跳跃的、插入其中的意思，这里实际指向了闰年的呈现规律或者是排列特征……所有这些问题，真是让人脑洞大开。
2.批判——高观点视野下的立体思维
何为高观点？高观点的要义之一就是让学生在数学学习中体会到数学并不是孤立的一门学问，而是一个有机整体[2]。面向未来的数学学习实际上应该是一个立体的学习，理应以较高阶段的数学知识统领较低阶段的数学教学，从而使数学教学呈现系统性、连续性和结构性[3]。在这里高观点强调从感性走向理性，从单一学科走向学科融合的辩证过程。这样的思维是单向度思维的有效突破，也是指向“批判—创新”的过程。
认识了“角”之后，学生都知道按照大小给角分类，可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角，但是这些角之间究竟有何联系？它们之间又有何特征？我们不得而知。当学生将这些角用数轴表示出来之后（图1），应该有更多的问题需要提出来思考：首先，从图中不难看出：直角、平角和周角实际上就是数轴上的一个点，而锐角以及钝角表示的是不同的区间，那么180°到360°之间的区间有没有特定的角来表示？又该如何表示？比0°大的角可以统一叫做什么角？反之，在0°左边的这些角又该如何表示……
3.共同——在合作中达成的双向共赢
未來的社会一定是共享的社会，这样的共享在学习中指向的是共同学习。在这样的数学学习中，所有的人围绕一个核心问题展开研讨，以此问题为研究点向四面八方拓展。
“有趣的面积”的学习中，基于共同学习，学生在接受任务后，从最为普适性的数格子方法到用更小的物体（比如小红豆）来进行密铺，每一个人都感觉到这样的方法更简单、更精确。更令人欣慰的是，他们在研究的过程中还发现，这里的小红豆实际上就相当于数格子中的格子，就是把一个大的面积单位转化成若干个更小的面积单位。以此类推，“豆子”越小算出来的结果越接近真实准确的结果，也更加接近面积的本质含义。
二、工具的支撑
数学发展的过程中从来都没有离开过工具，从最原始的结绳计数到传统学习工具，再到现在的多种信息工具……作为工具支撑下的数学学习，不只是指向选择工具的过程，还应该包括工具的研创过程。在选择的过程中会发现已有工具的弊端，找出已有工具存在的不足或者是缺失，根据自己的思考，独立研创出打上自己烙印的工具，这也是深度学习过程中的必然的产物。
1.翻译——基于工具的文本解读
数学深度学习强调在复杂的信息采集中，完成对信息的深度加工，从而促进知识最为本源的深度解读。由于数学本身的抽象以及复杂性，在理解的过程中难免会出现困惑甚至偏差，借助工具深度解读文本、并且做出最为合理的阐述就显得尤其重要。在这个过程中，选择恰当工具的过程即加深理解的过程，也是将知识逐步进行消化与吸收的过程。因此，这个过程中要透过表层，挖掘出知识背后所表达的本真意蕴，也就是突出知识意义的翻译与二次转化，它也是选择工具的要义之所在，更是取得事半功倍的关键。
体积和容积是小学阶段学生比较难掌握，并且经常会产生混淆的两个概念。何为体积？谁又是容积呢？课堂上怎样才能将概念讲透，让学生听明白。这的确是困扰很多教师的一个难题。俞正强老师以俄罗斯套娃为工具，大娃里面有二娃，二娃里面有三娃……无需更多的语言来描述，从不起眼的六个套娃中，学生对抽象的容积与体积概念一目了然，同时，还深刻领悟了体积与容积之间的联系与区别，实在是高明[4]。
2.研创——基于数学理解的深度呈现
这里的研创包括两个层次的意思：创生与进阶。创生，指向创造出新的工具;进阶，突出的是原有工具功能的不断更新。正如前面所述，工具有一个很重要的特征就是其时间的折叠，其时间折叠背后的原理以及数学思想则需要我们深度挖掘。只有在这方面深刻理解，才能够凸显出作为工具的创生与进阶的价值。实际上这里并不只是强调研创，更强调研创背后的数学深度理解，从另一个角度来讲，这应该是数学理解的一个重要标志。 我们都知道，初学“角的度量”时，如何正确读出量角器上面的刻度，一直是很多学生过不去的坎。问题究竟在哪里？实际上“角的度量”的原理无非两点：其一是重合的过程，即被测量的角与量角器上面的角完全重合;其二就是读数的过程，这样的读数与旋转角的意义不谋而合。学生在测量的过程中做到第一点，也就是角的重合不是难题，他们始终不明白的是量角器上的读数原理，出错的根源正是上面的两圈刻度，也就是读数之前首先要确认角的始边，即“零刻度线”，之后才能依据对应的终边位置读出角的度数，它实际上与小学生的知识点之间存在很大的断层。于是不断经历失败、反复比较，对照后进行创造性的加工，尝试将量角器的其中一圈刻度用修正液涂掉，只留下一圈刻度，这时只剩下一个“零刻度线”，角的方向问题迎刃而解，后面正确读数则是水到渠成了。看似一个不起眼的操作，背后的数学理解值得我们每个人反思。
3.结构——基于数学知识体系的完备
数学学习应该是双线结构：一条是明线，指教材中各个显性的知识点，这些知识点零散地存在于教材中;还有一条就是隐线，即知识背后的数学思维与思想方法，这条隐线将各个显性的知识点有效地勾连起来，点成线、线成面、面成体，织成一张数学知识的网络。
基于工具的结构实际上就是结构化的思维工具。这样结构化的工具，不只是在教学中我们每一位老师心中有数，更应该让每一位学生掌握这样的本领。一个单元结束之后可以让学生自主整理单元的知识结构，一个阶段（一个学期甚至更长时间）后，更应该引导他们分门别类整理，依据数学的知识版块将已经学习过的知识进行系统梳理。
比如学生学习完进位加法以后，如果帮助学生及时整理成下面的结构（图2），那么学生从小就对知识的体系了然于心，自然能够将这样的方法运用于接下来的学习中。这样的过程才是真正学习数学的过程，是学习过程中每一位学生所彰显出来的最佳状态。
三、活动的关照
数学学习的过程也是活动的过程。从活动的实践特点分析，数学学习活动必然具有真实性、完整性，以及不因循守旧所带来的超越性。
1.真实性——学科视角下的人文渗透
在真实的生活中解决实际问题才是数学学习最根本的目的。如何在教学中提供最为真实的学习活动支持，是数学学习中一个不可或缺的问题。
在苏教版数学四年级教材中，我们学习了“怎样滚得远”，学生通过练习知道了斜面成45°时，物体滚得最远。静下心来好好想一想，既然滚得远实际上就是滚得速度快，那么实际生活中有没有“怎样滚得近”？也就是让滚动的速度越慢越好？通过调查发现，在城市商场、银行、公园等公共场所有越来越多的残疾人通道，这样的通道斜坡角度如何设置？为何要设置为1：12，这个比值代表的度数是多少？在这些残疾人通道中更多地强调怎样滚得近，怎样使速度更慢，这里所彰显出的人文关怀是习题练习所不能比拟的。
2.完整性——学程视角下的问题解决
完整性指的是基于学科视角下的活动，是比较完整、具備一定创新性的最佳实践，对学科活动有着充分的设计，以及多角度的考量。主要体现在以下三个方面：纵向结构的贯通，实现与已有知识的链接点，同时也是下一个知识的生长点，主要是同一知识点在年段上的连贯一体;横向结构的打通，以此知识点为圆心，向四面八方拓展，主要是向学科、生活方面的联结;指向学习方式的多种并存，这样的完整性绝不会是一种方法一路走到底的。
“用字母表示数”这节课，并不是首先通过几个图形的拼搭，然后是公式、运算律的应用练习，最后用一个童谣“数青蛙”结课那么简单。基于完整，教学活动中至少要思考下图呈现出来的四个维度的问题（图3）。
3.超越性——主体视角下的认识实践
超越性可以从两个不同的维度阐述。首先，由于学习的不断深入、探究的逐步推进，活动中学生的理解程度达到对教材知识结构的超越;其次，挑战性的话题能够让每位学生的认识产生出质的飞跃，从一开始的混沌、模糊到最后的不断明晰乃至升华，这是对学习者本身的超越。超越体现在对学习素材的广度不断拓展，对学习深度不断加强，以及学习参与度不断融合的过程。
苏教版数学教材六年级上册“树叶中的比”，是一节常规的综合实践活动课，由于教师的精心设计，让整个教学活动凸显出两种不同的超越。
尤其是“实践2”中的“活动内容6”和“活动内容7”这两个环节的设计，这样的活动既需要反思和猜想又需要通过细致的观察、类比、推理来加以验证。在这一过程中，学生不仅主动内化了比的概念、完善了比的知识结构，而且亲历了规律揭示的全过程。
小学数学的深度学习，是仁者见仁、智者见智的过程。但是，不管怎样，面向学习型社会的21世纪，学习的重心一定是支持学生利用工具主动获取信息，批判理解，从而建立自己独有的知识体系的过程、解决真实问题的过程。这样呈现出来的学习才是小学数学应该有的模样。
参考文献
[1] 钟启泉.深度学习，课堂转型的标识[J].全球教育展望，2021（01）：15.
[2][3] 彭亮，徐文彬.“高观点”下小学数学教学的实践偏向、策略及其核心旨向[J].南京晓庄学院学报，2021（04）：37，38.
[4] 胡存宏.学材，聆听儿童的声音[J].教育科学论坛.2019（10）：49.
[责任编辑：陈国庆]
关键词 小学数学 深度学习 素养立意 工具支持
活动关照
近年来，深度学习逐渐成为教学的热词。深度学习强调追求本质，即追寻知识的核心要义，并形成与之相匹配的框架结构。随着社会的进步与发展，单纯的、碎片化的知识填鸭已经不能顺应时代要求，深度学习中学习的意义已经超越了单纯的知识习得，更是旨在发展学生广泛的技能、态度（能力），培育作为学习者的人格（人性）的成长[1]。我们可以从三个维度阐释小学数学深度学习的学科表达：指向学生主体本身，需要素养的立意;亟需有效支撑，凸显工具的支持;指向问题解决，要有活动的关照。
一、素养的立意
我们都知道，核心素养主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。这样的学习一定不会是因循守旧的亦步亦趋，而是可以持续的学习、发现与创造的过程。
1.问题——好问题超越最完美的答案
缘于真问题的学习就是培养学生提出问题的能力，好的问题一定比完美的答案更加重要。从这个层面来说，素养立意下的数学学习不是教学生学习，而是让学生自己学会学习，在学习的过程中不断地发现问题并为之寻找最佳的解决问题方案。
“平年和闰年”这个知识点一直为我们所熟知，学生对它们的判断方法也是成竹在胸。可是，我们有没有反问一下自己，除了教材所告知的我们还需要掌握哪些知识呢？教材的弊端究竟在哪里？学生不能仅仅是知其然，更重要的是要知其所以然。比如，既然是闰年，那么何为“闰”？这里的“闰”究竟表示何意？《辞海》查阅一下，“闰，余数”。既然“闰”指向余数，那么在历法中出现的“闰月”“闰日”以及“闰秒”是什么意思，也就迎刃而解了。在英文里“闰”还有跳跃的、插入其中的意思，这里实际指向了闰年的呈现规律或者是排列特征……所有这些问题，真是让人脑洞大开。
2.批判——高观点视野下的立体思维
何为高观点？高观点的要义之一就是让学生在数学学习中体会到数学并不是孤立的一门学问，而是一个有机整体[2]。面向未来的数学学习实际上应该是一个立体的学习，理应以较高阶段的数学知识统领较低阶段的数学教学，从而使数学教学呈现系统性、连续性和结构性[3]。在这里高观点强调从感性走向理性，从单一学科走向学科融合的辩证过程。这样的思维是单向度思维的有效突破，也是指向“批判—创新”的过程。
认识了“角”之后，学生都知道按照大小给角分类，可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角，但是这些角之间究竟有何联系？它们之间又有何特征？我们不得而知。当学生将这些角用数轴表示出来之后（图1），应该有更多的问题需要提出来思考：首先，从图中不难看出：直角、平角和周角实际上就是数轴上的一个点，而锐角以及钝角表示的是不同的区间，那么180°到360°之间的区间有没有特定的角来表示？又该如何表示？比0°大的角可以统一叫做什么角？反之，在0°左边的这些角又该如何表示……
3.共同——在合作中达成的双向共赢
未來的社会一定是共享的社会，这样的共享在学习中指向的是共同学习。在这样的数学学习中，所有的人围绕一个核心问题展开研讨，以此问题为研究点向四面八方拓展。
“有趣的面积”的学习中，基于共同学习，学生在接受任务后，从最为普适性的数格子方法到用更小的物体（比如小红豆）来进行密铺，每一个人都感觉到这样的方法更简单、更精确。更令人欣慰的是，他们在研究的过程中还发现，这里的小红豆实际上就相当于数格子中的格子，就是把一个大的面积单位转化成若干个更小的面积单位。以此类推，“豆子”越小算出来的结果越接近真实准确的结果，也更加接近面积的本质含义。
二、工具的支撑
数学发展的过程中从来都没有离开过工具，从最原始的结绳计数到传统学习工具，再到现在的多种信息工具……作为工具支撑下的数学学习，不只是指向选择工具的过程，还应该包括工具的研创过程。在选择的过程中会发现已有工具的弊端，找出已有工具存在的不足或者是缺失，根据自己的思考，独立研创出打上自己烙印的工具，这也是深度学习过程中的必然的产物。
1.翻译——基于工具的文本解读
数学深度学习强调在复杂的信息采集中，完成对信息的深度加工，从而促进知识最为本源的深度解读。由于数学本身的抽象以及复杂性，在理解的过程中难免会出现困惑甚至偏差，借助工具深度解读文本、并且做出最为合理的阐述就显得尤其重要。在这个过程中，选择恰当工具的过程即加深理解的过程，也是将知识逐步进行消化与吸收的过程。因此，这个过程中要透过表层，挖掘出知识背后所表达的本真意蕴，也就是突出知识意义的翻译与二次转化，它也是选择工具的要义之所在，更是取得事半功倍的关键。
体积和容积是小学阶段学生比较难掌握，并且经常会产生混淆的两个概念。何为体积？谁又是容积呢？课堂上怎样才能将概念讲透，让学生听明白。这的确是困扰很多教师的一个难题。俞正强老师以俄罗斯套娃为工具，大娃里面有二娃，二娃里面有三娃……无需更多的语言来描述，从不起眼的六个套娃中，学生对抽象的容积与体积概念一目了然，同时，还深刻领悟了体积与容积之间的联系与区别，实在是高明[4]。
2.研创——基于数学理解的深度呈现
这里的研创包括两个层次的意思：创生与进阶。创生，指向创造出新的工具;进阶，突出的是原有工具功能的不断更新。正如前面所述，工具有一个很重要的特征就是其时间的折叠，其时间折叠背后的原理以及数学思想则需要我们深度挖掘。只有在这方面深刻理解，才能够凸显出作为工具的创生与进阶的价值。实际上这里并不只是强调研创，更强调研创背后的数学深度理解，从另一个角度来讲，这应该是数学理解的一个重要标志。 我们都知道，初学“角的度量”时，如何正确读出量角器上面的刻度，一直是很多学生过不去的坎。问题究竟在哪里？实际上“角的度量”的原理无非两点：其一是重合的过程，即被测量的角与量角器上面的角完全重合;其二就是读数的过程，这样的读数与旋转角的意义不谋而合。学生在测量的过程中做到第一点，也就是角的重合不是难题，他们始终不明白的是量角器上的读数原理，出错的根源正是上面的两圈刻度，也就是读数之前首先要确认角的始边，即“零刻度线”，之后才能依据对应的终边位置读出角的度数，它实际上与小学生的知识点之间存在很大的断层。于是不断经历失败、反复比较，对照后进行创造性的加工，尝试将量角器的其中一圈刻度用修正液涂掉，只留下一圈刻度，这时只剩下一个“零刻度线”，角的方向问题迎刃而解，后面正确读数则是水到渠成了。看似一个不起眼的操作，背后的数学理解值得我们每个人反思。
3.结构——基于数学知识体系的完备
数学学习应该是双线结构：一条是明线，指教材中各个显性的知识点，这些知识点零散地存在于教材中;还有一条就是隐线，即知识背后的数学思维与思想方法，这条隐线将各个显性的知识点有效地勾连起来，点成线、线成面、面成体，织成一张数学知识的网络。
基于工具的结构实际上就是结构化的思维工具。这样结构化的工具，不只是在教学中我们每一位老师心中有数，更应该让每一位学生掌握这样的本领。一个单元结束之后可以让学生自主整理单元的知识结构，一个阶段（一个学期甚至更长时间）后，更应该引导他们分门别类整理，依据数学的知识版块将已经学习过的知识进行系统梳理。
比如学生学习完进位加法以后，如果帮助学生及时整理成下面的结构（图2），那么学生从小就对知识的体系了然于心，自然能够将这样的方法运用于接下来的学习中。这样的过程才是真正学习数学的过程，是学习过程中每一位学生所彰显出来的最佳状态。
三、活动的关照
数学学习的过程也是活动的过程。从活动的实践特点分析，数学学习活动必然具有真实性、完整性，以及不因循守旧所带来的超越性。
1.真实性——学科视角下的人文渗透
在真实的生活中解决实际问题才是数学学习最根本的目的。如何在教学中提供最为真实的学习活动支持，是数学学习中一个不可或缺的问题。
在苏教版数学四年级教材中，我们学习了“怎样滚得远”，学生通过练习知道了斜面成45°时，物体滚得最远。静下心来好好想一想，既然滚得远实际上就是滚得速度快，那么实际生活中有没有“怎样滚得近”？也就是让滚动的速度越慢越好？通过调查发现，在城市商场、银行、公园等公共场所有越来越多的残疾人通道，这样的通道斜坡角度如何设置？为何要设置为1：12，这个比值代表的度数是多少？在这些残疾人通道中更多地强调怎样滚得近，怎样使速度更慢，这里所彰显出的人文关怀是习题练习所不能比拟的。
2.完整性——学程视角下的问题解决
完整性指的是基于学科视角下的活动，是比较完整、具備一定创新性的最佳实践，对学科活动有着充分的设计，以及多角度的考量。主要体现在以下三个方面：纵向结构的贯通，实现与已有知识的链接点，同时也是下一个知识的生长点，主要是同一知识点在年段上的连贯一体;横向结构的打通，以此知识点为圆心，向四面八方拓展，主要是向学科、生活方面的联结;指向学习方式的多种并存，这样的完整性绝不会是一种方法一路走到底的。
“用字母表示数”这节课，并不是首先通过几个图形的拼搭，然后是公式、运算律的应用练习，最后用一个童谣“数青蛙”结课那么简单。基于完整，教学活动中至少要思考下图呈现出来的四个维度的问题（图3）。
3.超越性——主体视角下的认识实践
超越性可以从两个不同的维度阐述。首先，由于学习的不断深入、探究的逐步推进，活动中学生的理解程度达到对教材知识结构的超越;其次，挑战性的话题能够让每位学生的认识产生出质的飞跃，从一开始的混沌、模糊到最后的不断明晰乃至升华，这是对学习者本身的超越。超越体现在对学习素材的广度不断拓展，对学习深度不断加强，以及学习参与度不断融合的过程。
苏教版数学教材六年级上册“树叶中的比”，是一节常规的综合实践活动课，由于教师的精心设计，让整个教学活动凸显出两种不同的超越。
尤其是“实践2”中的“活动内容6”和“活动内容7”这两个环节的设计，这样的活动既需要反思和猜想又需要通过细致的观察、类比、推理来加以验证。在这一过程中，学生不仅主动内化了比的概念、完善了比的知识结构，而且亲历了规律揭示的全过程。
小学数学的深度学习，是仁者见仁、智者见智的过程。但是，不管怎样，面向学习型社会的21世纪，学习的重心一定是支持学生利用工具主动获取信息，批判理解，从而建立自己独有的知识体系的过程、解决真实问题的过程。这样呈现出来的学习才是小学数学应该有的模样。
参考文献
[1] 钟启泉.深度学习，课堂转型的标识[J].全球教育展望，2021（01）：15.
[2][3] 彭亮，徐文彬.“高观点”下小学数学教学的实践偏向、策略及其核心旨向[J].南京晓庄学院学报，2021（04）：37，38.
[4] 胡存宏.学材，聆听儿童的声音[J].教育科学论坛.2019（10）：49.
[责任编辑：陈国庆]