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摘 要：在课堂教学中，常常会出现学生解题由于思维受阻，一时难以下手的情况，这时需要教师用简练、恰当的语言启迪学生的思维，促使学生产生“顿悟”，也即“点拨”. 巧妙、恰当的点拨，是课堂教学中重要的一环，教师要努力做到“点”在思维的临界点，“拨”在问题的关键处，使教学具有艺术性.
关键词：课堂教学；思维；知识；点拨；反思
《高中数学新课程标准》指出：教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件，其主旨强调了教师的作用和地位，即在学生迫切需要的时候给予指引、帮助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰当的点拨，精妙的点拨是课堂教学中重要的一环，教师要努力做到“点”在思维的临界点，“拨”在问题的关键处. 例如，高一数学《三角函数》部分三角恒等变换的教与学具有变化形式多、公式变形灵活等特点，是考查逻辑思维能力、反映思维品质的良好载体，这些决定了学好这一部分不仅需要足量的练习以加强知识技能培养，而且注重教师的引导、点拨，帮助学生揭示解题的思维和认知过程，让学生自己以模仿、探究、掌握、体验等方式不断富有创新地完成学习. 以下是笔者的一个相关教学实例和反思.
■突破思维的临界点，产生“茅塞顿开”之感
在一堂数学课的教学中，从学生思维走向的情况来看，学生感知教材或具体题目后，开始进入思维状态，此时学生经常会出现思维由活跃到受阻、停滞的过程，我们不妨把这种胶着状态称之为学生思维的临界点，此时教师应当把准临界点，及时点拨，让学生突破思维的临界状态，完成思维质的突破，带学生进入“柳暗花明又一村”的佳境.
例题1 已知cosα+cosβ=■，sinα-sinβ=■，求cos（α+β）.
教师让学生思考，并观察学生的反应，有的学生一筹莫展.
教师可点拨：请学生回顾公式Cα+β和cos2α+sin2α=1与本题的联系.
学生A：将已知条件中两式平方后构造出cosαcosβ与sinαsinβ，求和并用cos2α+sin2α=1后，逆用公式Cα+β得2cos（α+β）=-■，即cos（α+β）=-■.
笔者对学生A的回答表示赞许，并请他板演过程（略），同时巡视其他学生的完成情况.
反思：课堂上摆出这个问题后，笔者给予了学生充分的时间思考，在巡视学生的完成过程中，发现部分学生感到疑惑，“僵局”在此出现，也就是在学生思维的迷茫之际（即思维的临界点）进行了点拨. 此次点拨，点在了学生思维的断裂之处，有利于学生思维的开通、开窍与延伸，完成思维上的质的突破.“教师之教，不在于全盘讲授，而在于相机诱导”（叶圣陶），所谓“相机诱导”，也就是适时点拨，使学生的思维在临界点发生质的飞跃，取得良好的教学效果.
■建构知识的生长点，产生“思路接通”的效应
我们常常埋怨学生经启发后仍然无动于衷，其实是由于在我们的教学过程中，学生的思维尚未进入“愤”、“悱”状态，教师启发的“机”与“时”把握得不准而造成的. 如果点拨的时机过早，学生缺乏一定的思维主动，不能建构新旧知识的生长和联系，达不到思路的接通效应，思维过程则是由教师直接强加的，我们称之为“被思维”或者“伪思维”.如果学生经过自己的思考，完成了思维的全过程，得到了正确的结论，那么，教师就不必讲授，这就节约了时间，提高了教学效率.
例题1中应用了cos2α+sin2α=1和公式Cα+β，依此例请学生们练习一题，增加对上述一类公式的理性认识：已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）=■，求8cosα+5sinβ. （练习1）
经过几分钟思考，有些学生举手想发表其见解.
学生C：我由例题受到启发，发现8sinα+5cosβ=6 （1）的左边与所求当中sinαcosα和cosβsinβ的系数相同，故设8cosα+5sinβ=k （3），（1）2+（3）2此过程中利用公式cos2α+sin2α=1，Sα+β和sin（α+β）=■ （2）式，进而求出k. （10或-10）.
大多数学生表示赞同，于是教师让学生C板演，同时给出例题2.
例题2 已知cos（α+β）=■，cos（α-β）=-■，且■π<α+β<2π，■<α－β<π，求sin2α和sin2β.
笔者给出时间让学生思考和互相讨论后，发现已有不少学生似乎有了什么发现，想表达.
学生D：联系到已知式，将sin2α和sin2β分别用倍角公式展开……
学生E：按D的思路做题势必烦琐.
学生B：我发现已知角α+β和α-β与所求sin2α，sin2β中的2α，2β有关系：2α=（α+β）+（α-β）；2β=（α+β）-（α-β），再用公式Sα+β，Sα-β解决.
教师：思路正确，请你（学生E）板演过程.
学生E：因为cos（α+β）=■，■π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-■= －■. 同理，sin（α-β）=■，所以sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=■，sin2β=［（α+β）-（α-β）］=0.
反思：上述过程中，我们不难发现，如果教师总是一点一滴地“点拨”学生． “看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？”这种“引君入瓮”般点拨的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，因而不能在新旧知识上建构知识生长点，学生缺失建立思路的可能性，更谈不上接通思路了；显然，这样的教学是不利于学生发展的. 在学生思维的临界点处点拨或给予鼓励的语言，也能帮助学生掌握新的知识，形成新的经验，提升他们学习的主观能动性.
■激活思维的兴奋点，产生“得寸进尺”的欲望
教学过程是师生相互交流的过程，学生苦思冥想，解决不了问题时，我们的点拨就会像及时雨那样浇灌学生的心灵，激活学生思维的兴奋点，让学生产生“得寸进尺”的欲望. 当然，如果我们一味地调动学生的胃口，不能及时点拨，也会给学生造成心理的障碍，使学生害怕解决数学问题，导致失去兴趣. 练习2：已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β的值.
思考一段时间后，有几位学生发表自己的见解.
学生F：由以上三题的启示，此题将sinα+sinβ=1？摇（1），cosα+cosβ=0？摇（2）平方后求和得2+2cos（α-β）=1，即cos（α-β）= -■；将（1）（2）式平方后求差得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=-1 （3），cos2α+cos2β=cos［（α+β）+（α-β）］+cos［（α+β）-（α-β）］=…=2cos（α+β）cos（α-β），可见求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）无法由（3）直接求出，此时我想到未知cos（α+β）是因为（3）中有cos2α+ cos2β，而它不正是我们所要求的吗？于是设cos2α+cos2β=k，则（3）式即k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1.
教师启发点拨：除了学生F的思路，有无更好的处理方式？
学生E：将（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，从而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式由（1）可得sinα=1-sinβ. 由（2）可得cosα=-cosβ，于是根据sin2α+cos2α=1，有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ，推出sinβ=■，sinα=■，cosα=±■，cosβ=±■；注意到（2）式中cosα，cosβ互为相反数，所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-■－■= －1，所以cos2α+cos2β=1.
教师继续点拨：我们若总沿着习惯的道路前行，只能走向平庸，有没有捷径？
学生G：前两种思路太繁，刚学过倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，可先求出sinα，sinβ（学生E已求出），则有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β=2-2■2+■2=1.
其他学生有的惊呼“上当”，有的则赞许学生G，感到获益良多.
教师：用倍角公式解决此题，简洁、明了，克服了前几题产生的思维定式.
反思：首先让学生独立思考问题，当学生达到“愤”与“悱”的状态时，我们可以进行点拨. 两种思路对比后，学生发现原来如此，此时学生心情非常愉悦，思维也达到了兴奋的状态. 这时笔者继续点拨，情境发生了变化，然而解决问题时如果能利用化归思想、转化的方法，往往可以更好、更快捷地解决类似的问题，学生此处的收获就会很大，效率更高，超越了一个题目自身的解决价值，让学生有“得寸进尺”的解题欲望，而非惧怕数学的心理.
■总 结
中学数学教育的根本宗旨是“教会学生思考”，“教师对学生的帮助要不多不少”，应当“不显眼地帮助学生”，“应该顺其自然”（《怎样解题》——数学家波利亚）. 学生在解题过程中出现思维受阻，难以下手的情况，就需要教师用简练、精当的语言点拨启迪学生，促使学生“顿悟”. 首先，教师要有良好的教学机智，敏锐地捕捉到学生思维的信息并进行迅速、深入地加工、提炼，面对学生思维活动中的停滞、定式、中断等问题，能迅速判断，及时点拨，以促使学生思维品质得到不断提升. 其次，数学课堂教学不但要突出思维过程和认知环节，培养学生的探究能力，同时要关注每一位学生的情感和学习态度，尊重他们的学习成果，并作出及时评价、鼓励，而不应把解决当前的问题当成教学的唯一目标，急于“推销”自己的想法，把学生的思维纳入自己预先设计的轨道，其结果容易让学生以套路和程式生搬，产生思维定式的负效应. 点拨是让学生走出解题迷宫的有效方法，点拨是否恰当到位，是反映一个教师的教学智慧是否已走向成熟，教学是否具有艺术性的重要标准之一. 随着新课程改革的深入，课堂教学中以生为本，充分体现学生的主体地位，并在学生最为需要时给予思路的指引、方法的点拨，是提高课堂教学有效性的重要环节和艺术！
关键词：课堂教学；思维；知识；点拨；反思
《高中数学新课程标准》指出：教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件，其主旨强调了教师的作用和地位，即在学生迫切需要的时候给予指引、帮助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰当的点拨，精妙的点拨是课堂教学中重要的一环，教师要努力做到“点”在思维的临界点，“拨”在问题的关键处. 例如，高一数学《三角函数》部分三角恒等变换的教与学具有变化形式多、公式变形灵活等特点，是考查逻辑思维能力、反映思维品质的良好载体，这些决定了学好这一部分不仅需要足量的练习以加强知识技能培养，而且注重教师的引导、点拨，帮助学生揭示解题的思维和认知过程，让学生自己以模仿、探究、掌握、体验等方式不断富有创新地完成学习. 以下是笔者的一个相关教学实例和反思.
■突破思维的临界点，产生“茅塞顿开”之感
在一堂数学课的教学中，从学生思维走向的情况来看，学生感知教材或具体题目后，开始进入思维状态，此时学生经常会出现思维由活跃到受阻、停滞的过程，我们不妨把这种胶着状态称之为学生思维的临界点，此时教师应当把准临界点，及时点拨，让学生突破思维的临界状态，完成思维质的突破，带学生进入“柳暗花明又一村”的佳境.
例题1 已知cosα+cosβ=■，sinα-sinβ=■，求cos（α+β）.
教师让学生思考，并观察学生的反应，有的学生一筹莫展.
教师可点拨：请学生回顾公式Cα+β和cos2α+sin2α=1与本题的联系.
学生A：将已知条件中两式平方后构造出cosαcosβ与sinαsinβ，求和并用cos2α+sin2α=1后，逆用公式Cα+β得2cos（α+β）=-■，即cos（α+β）=-■.
笔者对学生A的回答表示赞许，并请他板演过程（略），同时巡视其他学生的完成情况.
反思：课堂上摆出这个问题后，笔者给予了学生充分的时间思考，在巡视学生的完成过程中，发现部分学生感到疑惑，“僵局”在此出现，也就是在学生思维的迷茫之际（即思维的临界点）进行了点拨. 此次点拨，点在了学生思维的断裂之处，有利于学生思维的开通、开窍与延伸，完成思维上的质的突破.“教师之教，不在于全盘讲授，而在于相机诱导”（叶圣陶），所谓“相机诱导”，也就是适时点拨，使学生的思维在临界点发生质的飞跃，取得良好的教学效果.
■建构知识的生长点，产生“思路接通”的效应
我们常常埋怨学生经启发后仍然无动于衷，其实是由于在我们的教学过程中，学生的思维尚未进入“愤”、“悱”状态，教师启发的“机”与“时”把握得不准而造成的. 如果点拨的时机过早，学生缺乏一定的思维主动，不能建构新旧知识的生长和联系，达不到思路的接通效应，思维过程则是由教师直接强加的，我们称之为“被思维”或者“伪思维”.如果学生经过自己的思考，完成了思维的全过程，得到了正确的结论，那么，教师就不必讲授，这就节约了时间，提高了教学效率.
例题1中应用了cos2α+sin2α=1和公式Cα+β，依此例请学生们练习一题，增加对上述一类公式的理性认识：已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）=■，求8cosα+5sinβ. （练习1）
经过几分钟思考，有些学生举手想发表其见解.
学生C：我由例题受到启发，发现8sinα+5cosβ=6 （1）的左边与所求当中sinαcosα和cosβsinβ的系数相同，故设8cosα+5sinβ=k （3），（1）2+（3）2此过程中利用公式cos2α+sin2α=1，Sα+β和sin（α+β）=■ （2）式，进而求出k. （10或-10）.
大多数学生表示赞同，于是教师让学生C板演，同时给出例题2.
例题2 已知cos（α+β）=■，cos（α-β）=-■，且■π<α+β<2π，■<α－β<π，求sin2α和sin2β.
笔者给出时间让学生思考和互相讨论后，发现已有不少学生似乎有了什么发现，想表达.
学生D：联系到已知式，将sin2α和sin2β分别用倍角公式展开……
学生E：按D的思路做题势必烦琐.
学生B：我发现已知角α+β和α-β与所求sin2α，sin2β中的2α，2β有关系：2α=（α+β）+（α-β）；2β=（α+β）-（α-β），再用公式Sα+β，Sα-β解决.
教师：思路正确，请你（学生E）板演过程.
学生E：因为cos（α+β）=■，■π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-■= －■. 同理，sin（α-β）=■，所以sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=■，sin2β=［（α+β）-（α-β）］=0.
反思：上述过程中，我们不难发现，如果教师总是一点一滴地“点拨”学生． “看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？”这种“引君入瓮”般点拨的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，因而不能在新旧知识上建构知识生长点，学生缺失建立思路的可能性，更谈不上接通思路了；显然，这样的教学是不利于学生发展的. 在学生思维的临界点处点拨或给予鼓励的语言，也能帮助学生掌握新的知识，形成新的经验，提升他们学习的主观能动性.
■激活思维的兴奋点，产生“得寸进尺”的欲望
教学过程是师生相互交流的过程，学生苦思冥想，解决不了问题时，我们的点拨就会像及时雨那样浇灌学生的心灵，激活学生思维的兴奋点，让学生产生“得寸进尺”的欲望. 当然，如果我们一味地调动学生的胃口，不能及时点拨，也会给学生造成心理的障碍，使学生害怕解决数学问题，导致失去兴趣. 练习2：已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β的值.
思考一段时间后，有几位学生发表自己的见解.
学生F：由以上三题的启示，此题将sinα+sinβ=1？摇（1），cosα+cosβ=0？摇（2）平方后求和得2+2cos（α-β）=1，即cos（α-β）= -■；将（1）（2）式平方后求差得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=-1 （3），cos2α+cos2β=cos［（α+β）+（α-β）］+cos［（α+β）-（α-β）］=…=2cos（α+β）cos（α-β），可见求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）无法由（3）直接求出，此时我想到未知cos（α+β）是因为（3）中有cos2α+ cos2β，而它不正是我们所要求的吗？于是设cos2α+cos2β=k，则（3）式即k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1.
教师启发点拨：除了学生F的思路，有无更好的处理方式？
学生E：将（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，从而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式由（1）可得sinα=1-sinβ. 由（2）可得cosα=-cosβ，于是根据sin2α+cos2α=1，有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ，推出sinβ=■，sinα=■，cosα=±■，cosβ=±■；注意到（2）式中cosα，cosβ互为相反数，所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-■－■= －1，所以cos2α+cos2β=1.
教师继续点拨：我们若总沿着习惯的道路前行，只能走向平庸，有没有捷径？
学生G：前两种思路太繁，刚学过倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，可先求出sinα，sinβ（学生E已求出），则有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β=2-2■2+■2=1.
其他学生有的惊呼“上当”，有的则赞许学生G，感到获益良多.
教师：用倍角公式解决此题，简洁、明了，克服了前几题产生的思维定式.
反思：首先让学生独立思考问题，当学生达到“愤”与“悱”的状态时，我们可以进行点拨. 两种思路对比后，学生发现原来如此，此时学生心情非常愉悦，思维也达到了兴奋的状态. 这时笔者继续点拨，情境发生了变化，然而解决问题时如果能利用化归思想、转化的方法，往往可以更好、更快捷地解决类似的问题，学生此处的收获就会很大，效率更高，超越了一个题目自身的解决价值，让学生有“得寸进尺”的解题欲望，而非惧怕数学的心理.
■总 结
中学数学教育的根本宗旨是“教会学生思考”，“教师对学生的帮助要不多不少”，应当“不显眼地帮助学生”，“应该顺其自然”（《怎样解题》——数学家波利亚）. 学生在解题过程中出现思维受阻，难以下手的情况，就需要教师用简练、精当的语言点拨启迪学生，促使学生“顿悟”. 首先，教师要有良好的教学机智，敏锐地捕捉到学生思维的信息并进行迅速、深入地加工、提炼，面对学生思维活动中的停滞、定式、中断等问题，能迅速判断，及时点拨，以促使学生思维品质得到不断提升. 其次，数学课堂教学不但要突出思维过程和认知环节，培养学生的探究能力，同时要关注每一位学生的情感和学习态度，尊重他们的学习成果，并作出及时评价、鼓励，而不应把解决当前的问题当成教学的唯一目标，急于“推销”自己的想法，把学生的思维纳入自己预先设计的轨道，其结果容易让学生以套路和程式生搬，产生思维定式的负效应. 点拨是让学生走出解题迷宫的有效方法，点拨是否恰当到位，是反映一个教师的教学智慧是否已走向成熟，教学是否具有艺术性的重要标准之一. 随着新课程改革的深入，课堂教学中以生为本，充分体现学生的主体地位，并在学生最为需要时给予思路的指引、方法的点拨，是提高课堂教学有效性的重要环节和艺术！