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顾亚龙 中学高级教师
上海市徐汇区教师进修学院 小学数学教研员
全国课堂教学评比一等奖获得者
上海市徐汇区学科带头人 数学学科基地主持人
研究方向：小学数学文化
个人专著：《以文“化”人——小学数学文化的育人视界》
秉持“为学生智慧的成长而教”的教育理念，先后到20多个省、市展示观摩课，形成了“简约而厚重”的个人教学风格。先后在中文核心期刊上发表文章20多篇。
一、知识就是力量
“知识就是力量。”400多年前，英国思想家培根的这句名言激励着人们不断向科学进军。此后的几个世纪，自然科学技术突飞猛进，各种新技术、新发明、新创造层出不穷。现代人正在享受着的移动通讯、互联网、电子商务、3D打印、大数据……将培根的这句话诠释得淋漓尽致。科技的发展不仅解放了人的双手，更解放了人的大脑；科技让人类在自然面前更加自信、更加从容，也更加有力量。
当斯宾塞在《教育论》中专门探讨“什么知识最有价值”时，人们一致的答案是——科学知识。确实，在一个功利和世俗的知识社会里，实用的知识便是实际的命运，谁掌握了实用的知识，谁便掌握了实际的命运。
于是，现代教育将自己的全部身心都投入到了知识世界的怀抱里：教科书上写的是知识，课堂上讲的是知识，作业练的是知识，试卷考的是知识，对学生的评价也主要是知识。在学校教育中，知识成为至高无上的“君主”，人反倒成了无足轻重的“陪臣”。
利奥塔在考察后现代时期知识的本质时指出：后现代时期，知识的本质不再是以往主张的信念或真理性的东西。如果可以用一个词来描述知识的本质的话，那这个词就是“信息”。知识不再以其自身为最高目的，“教授时代”的丧钟已经敲响了。
那么，现代教育与现代知识之间的高度同质性和一致性是教育之“应然”还是教育之“不幸”？在这个资讯发达、信息冗余的时代，现代人距离知识有多远？
只有一根网线的长度，“百度一下，你就知道”。
因此，如果知识的习得止于“知”，仅停留在信息层面，没有转化为个人的“识”，即没有转化为个人的认识、感悟与见解，那么，知识的习得就只是某种信息的堆积，而非智慧的启蒙、素养的浸润和能力的提升，这样的知识之于学生便是时间和精神上的双重牵累。
某矿泉水有句经典的广告词：我们不生产水，我们只是大自然的搬运工。
那么，应试教育的广告词则是：我们不生产知识，我们只是知识的搬运工。
现代教育，如果只是充当“知识的搬运工”，知识的习得不能与人的精神相契合，不能与学习者的精神同构共生，引发共振、共鸣，不能引导人的智慧的成长。那么，教育将逐渐丧失其“人之思”的品质，而退化为一种“物之术”的技巧。这样培养出来的就未必是知识分子，而是“知道分子”。
正是基于对知识本质的深刻领悟，方柏林先生与时俱进地提出了一个突破性的观点：知识不是力量。
确实，知识具有力量并不是无条件的，这对于正深陷在知识教育重围中的学校教育具有深刻的启迪意义。
二、智慧才是力量
基于“教书、育人”的双重使命，教育有着双重性格，即教育的知识性格与智慧性格。因此，知识教育只是教育世界的一半。然而，随着科学知识在现实生活中实用价值的急剧攀升，随着知识对教育的不断僭越，当下的教育逐渐失落了它的另一半——智慧。
诚然，教育离不开知识，知识是所有教育实践活动的载体。但知识只关乎事物，智慧却关乎人生；知识是理念的外化，智慧是人生的反观；知识只能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子，智慧却能在一块石头里看到风景，在一粒沙子中发现灵魂。从人的全面和自由发展的意义上讲，知识的地位和作用是基础性和工具性的，而智慧一方面涵盖了知识，另一方面又超越了知识，直达人的自由与自觉，直达人的有意义的生活，因而智慧的地位和作用是本体性的。
我们正置身其中的这个大数据时代，满腹经纶不足恃，学富五车不足恃，能统御万物、引领人生的并非知识，而是智慧。因此，教育不能止于知识的传承，而是要通过知识引导人的智慧的成长，即教育要“为学生智慧的成长而教”。
这是历经三次课程改革几十年的探索与实践后，人们对学科育人价值在认识上的回归。
第一次课改是以“改结构”为典型特征的，即通过调整课堂结构、改进课堂教学手段和方式为切入点，实现课堂从低效到有效的跨越；第二次课改是以“改关系”为典型特征的，即在“改结构”的基础上，通过改变“教与学”“师与生”的关系，实现课堂从“教中心”到“学中心”、从“师中心”到“生中心”的跨越；第三次课改则是以“改意义”为典型特征的，即在“改结构”和“改关系”的基础上升华教学的意义，摆脱知识对教育的束缚，打破课堂边界，实现课堂从关注知识和能力到关注智慧和生命的跨越。
黎巴嫩诗人纪伯伦说：我们已经走得太远，以至于我们忘记了为什么而出发！
深陷在应试教育重围中的我们，执着于研究“教什么”和“怎样教”，是否也忘了我们到底是“为什么而教”？
三、如何为学生智慧成长而教
在学校教育中，个体的数学认知活动是人类数学发展进程的某种再现和再创造。对每一个个体而言，这种再创造的教育意义是无可比拟的。因为，数学再创造的过程中所展现的数学研究者的天赋异禀与后学精勤，他们敏锐独特的数学眼光，理性至上的批判精神、深刻睿智的数学见解，对于学生智慧的成长是一种很好的启蒙、熏陶与感染。因此，引导学生“回溯数学之源，叩问数学之真，建构数学之模，触摸数学之魂”，能让学生智慧的成长变得既可意会，又可把握。
1.回溯数学之源
荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”因此，数学教师的任务在于返璞归真，将数学问题真实地呈现给儿童，引导学生将数学学习的过程变成数学再创造的过程，变成一次次智慧探险的过程。这种探究过程是对数学家精神的还原，这里是数学之源，也是智慧之源。 如在《角的度量》这节课中，量角器——作为前人发明创造的具体成果，当它以“产品”的形式呈现在学生面前时，当初人们在创造过程中的曲折原委、设计每一个细节时的心路历程、创造者的思维品质都已经被丢在一边，呈现出来的只是数学工具冰冷的美丽，火热的思考被淹没在形式化的海洋里。
因此，回溯到人们当初发明量角器的历史起点——比较两个角大小的现实需要，由此引导学生循着前人发明量角器的历史轨迹，浓缩地经历其再创造的过程。在此过程中，起初度量精度不高的矛盾让二次等分每一个小角成为必然；度量过程中数刻度的麻烦便逻辑地产生标出刻度的需要；角的开口方向的不同又进一步催生出量角器上的内圈刻度和外圈刻度……从而将学习度量角的过程变成引导学生一步步地将量角器创造出来的过程。
为了学生智慧的成长，数学教学不能简单地“去头掐尾烧中段”，要回溯到知识的原点，不要让知识的“原点”变成我们教学的“盲点”。
2.叩问数学之真
数学以其严谨、严密、客观、理性让人们对其怀有一种普遍的敬畏和信任，因为求“真”是数学学科的秉性。数学求真精神不仅能够激发人们追求和坚持真理的勇气与自信，养成独立发现问题、思考问题和解决问题的习惯，养成不轻信经验、不迷信权威、不随波逐流的品质，而数学求真的过程，正是对学生智慧的成长一次次启迪与砥砺的过程。
如“对顶角相等”定理本身非常直观，无人质疑。如果就事论事地解说一番，或者让学生量一量、拼一拼，也许学生能理解，但学生却不能获得对数学之“真”的欣赏。关键在于：这样明显的命题为什么要证明？
事实上，中国古代数学就没有“对顶角相等”的证明，也许因为它不怎么重要，或者因为结论太明显，没有人怀疑它的正确性，何需证明？但是，古希腊数学家却不这样认为。在《几何原本》中作为命题15正式提出，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。
从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，两相对照，才知道自己思考的浅薄和古希腊理性精神的伟大。这也是中国古代数学为何最终没能走上几何证明道路的原因之一，这种指导思想上的分水岭，可以说震撼了许多人的灵魂。让学生感受到这一思想上的飞跃，对学生智慧的成长具有多重启迪。
因此，为了学生智慧的成长，面对熟视无睹的教学内容，我们不能就着知识教知识，围绕考点“炒”知识，而应该引导学生不断地追问：是什么？为什么？一定是这样吗？还可能怎么样？我怎么就没有想到？……充满思考与叩问的课堂才是启迪学生智慧成长的温床。
3.建构数学之模
获取数学教材中的结论并不能必然使学生生成智慧，关于知识背后之根据及获取知识的睿智的方式方能启迪人的智慧。因此，在数学课堂教学中，我们要将抽象的文本知识激活，将静态的数学知识动态化，抽象的数学知识具体化，结论性的数学知识过程化，通过数学建模，抽象出一个个简约的数学模型。这样的过程给学生再现了一种“微型的科研过程”，它丰富了学生在具体情境中的感受与体验，催生出学生独特的活动经验，于细节处体现出智慧的灵动。
如在《行程问题》的练习课上，学生已经掌握了“相遇问题”的关系式：（V1 V2）t=S。如果我们将“甲、乙两车相向而行4小时”替换成“师、徒二人合作加工4小时零件”，或者替换成“学校购买4套桌椅”……引导学生发现，从表面上看，虽然这几道题所讲的具体事情与“行程问题”风马牛不相及，但在解题方法和数量关系上却有着内在的联系，都可以用更上位的数学模型（a b）c=d来表征时，学生会有一种醍醐灌顶的顿悟与通透感。
透过纷繁复杂的数学现象，将研究对象表征为简约的数学模型，不仅能让学生养成格式化的思维方式，产生“求真、尚简”的情感体验，更能让学生在对人的本质力量的自我观照中产生创造的自由与自觉。
知识自由了，成为学问；学习自由了，成为学术。当学生拥有数学建模的自由与自觉，养成数学建模的意识与眼光，获得了数学建模的能力与方法时，便拥有了一把开启智慧之门的“金钥匙”。
4.触摸数学之魂
数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱动人类的思维得以运用到最完善的程度。也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解自然；尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的内涵。
理性精神是数学的灵魂。数学教育不能止于学生对数学知识与技能的掌握，更要通过数学知识的学习引导学生去触摸数学的灵魂，让学生在解决数学问题的过程中受到数学理性精神的熏陶，逐步形成敏锐的问题意识、执着的批判精神；凡事养成实事求是、言必有据、服膺真理、一丝不苟、严谨认真、崇尚科学的理性精神；从中悟出做事、做人的智慧。
为学生智慧的成长而教，并不仅仅是技术问题，首先是个理念问题。只有秉持“为学生智慧的成长而教”的教育理念，我们才能超越知识，用知识去开启学生的心智，用智慧去启迪智慧，用人格去感召人格，才能用智慧课堂为学生未来的幸福人生奠基。
学校教育应该拥有如此高远敞亮的教育视界和以人为本的教育情怀，这是教育的德性。
上海市徐汇区教师进修学院 小学数学教研员
全国课堂教学评比一等奖获得者
上海市徐汇区学科带头人 数学学科基地主持人
研究方向：小学数学文化
个人专著：《以文“化”人——小学数学文化的育人视界》
秉持“为学生智慧的成长而教”的教育理念，先后到20多个省、市展示观摩课，形成了“简约而厚重”的个人教学风格。先后在中文核心期刊上发表文章20多篇。
一、知识就是力量
“知识就是力量。”400多年前，英国思想家培根的这句名言激励着人们不断向科学进军。此后的几个世纪，自然科学技术突飞猛进，各种新技术、新发明、新创造层出不穷。现代人正在享受着的移动通讯、互联网、电子商务、3D打印、大数据……将培根的这句话诠释得淋漓尽致。科技的发展不仅解放了人的双手，更解放了人的大脑；科技让人类在自然面前更加自信、更加从容，也更加有力量。
当斯宾塞在《教育论》中专门探讨“什么知识最有价值”时，人们一致的答案是——科学知识。确实，在一个功利和世俗的知识社会里，实用的知识便是实际的命运，谁掌握了实用的知识，谁便掌握了实际的命运。
于是，现代教育将自己的全部身心都投入到了知识世界的怀抱里：教科书上写的是知识，课堂上讲的是知识，作业练的是知识，试卷考的是知识，对学生的评价也主要是知识。在学校教育中，知识成为至高无上的“君主”，人反倒成了无足轻重的“陪臣”。
利奥塔在考察后现代时期知识的本质时指出：后现代时期，知识的本质不再是以往主张的信念或真理性的东西。如果可以用一个词来描述知识的本质的话，那这个词就是“信息”。知识不再以其自身为最高目的，“教授时代”的丧钟已经敲响了。
那么，现代教育与现代知识之间的高度同质性和一致性是教育之“应然”还是教育之“不幸”？在这个资讯发达、信息冗余的时代，现代人距离知识有多远？
只有一根网线的长度，“百度一下，你就知道”。
因此，如果知识的习得止于“知”，仅停留在信息层面，没有转化为个人的“识”，即没有转化为个人的认识、感悟与见解，那么，知识的习得就只是某种信息的堆积，而非智慧的启蒙、素养的浸润和能力的提升，这样的知识之于学生便是时间和精神上的双重牵累。
某矿泉水有句经典的广告词：我们不生产水，我们只是大自然的搬运工。
那么，应试教育的广告词则是：我们不生产知识，我们只是知识的搬运工。
现代教育，如果只是充当“知识的搬运工”，知识的习得不能与人的精神相契合，不能与学习者的精神同构共生，引发共振、共鸣，不能引导人的智慧的成长。那么，教育将逐渐丧失其“人之思”的品质，而退化为一种“物之术”的技巧。这样培养出来的就未必是知识分子，而是“知道分子”。
正是基于对知识本质的深刻领悟，方柏林先生与时俱进地提出了一个突破性的观点：知识不是力量。
确实，知识具有力量并不是无条件的，这对于正深陷在知识教育重围中的学校教育具有深刻的启迪意义。
二、智慧才是力量
基于“教书、育人”的双重使命，教育有着双重性格，即教育的知识性格与智慧性格。因此，知识教育只是教育世界的一半。然而，随着科学知识在现实生活中实用价值的急剧攀升，随着知识对教育的不断僭越，当下的教育逐渐失落了它的另一半——智慧。
诚然，教育离不开知识，知识是所有教育实践活动的载体。但知识只关乎事物，智慧却关乎人生；知识是理念的外化，智慧是人生的反观；知识只能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子，智慧却能在一块石头里看到风景，在一粒沙子中发现灵魂。从人的全面和自由发展的意义上讲，知识的地位和作用是基础性和工具性的，而智慧一方面涵盖了知识，另一方面又超越了知识，直达人的自由与自觉，直达人的有意义的生活，因而智慧的地位和作用是本体性的。
我们正置身其中的这个大数据时代，满腹经纶不足恃，学富五车不足恃，能统御万物、引领人生的并非知识，而是智慧。因此，教育不能止于知识的传承，而是要通过知识引导人的智慧的成长，即教育要“为学生智慧的成长而教”。
这是历经三次课程改革几十年的探索与实践后，人们对学科育人价值在认识上的回归。
第一次课改是以“改结构”为典型特征的，即通过调整课堂结构、改进课堂教学手段和方式为切入点，实现课堂从低效到有效的跨越；第二次课改是以“改关系”为典型特征的，即在“改结构”的基础上，通过改变“教与学”“师与生”的关系，实现课堂从“教中心”到“学中心”、从“师中心”到“生中心”的跨越；第三次课改则是以“改意义”为典型特征的，即在“改结构”和“改关系”的基础上升华教学的意义，摆脱知识对教育的束缚，打破课堂边界，实现课堂从关注知识和能力到关注智慧和生命的跨越。
黎巴嫩诗人纪伯伦说：我们已经走得太远，以至于我们忘记了为什么而出发！
深陷在应试教育重围中的我们，执着于研究“教什么”和“怎样教”，是否也忘了我们到底是“为什么而教”？
三、如何为学生智慧成长而教
在学校教育中，个体的数学认知活动是人类数学发展进程的某种再现和再创造。对每一个个体而言，这种再创造的教育意义是无可比拟的。因为，数学再创造的过程中所展现的数学研究者的天赋异禀与后学精勤，他们敏锐独特的数学眼光，理性至上的批判精神、深刻睿智的数学见解，对于学生智慧的成长是一种很好的启蒙、熏陶与感染。因此，引导学生“回溯数学之源，叩问数学之真，建构数学之模，触摸数学之魂”，能让学生智慧的成长变得既可意会，又可把握。
1.回溯数学之源
荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”因此，数学教师的任务在于返璞归真，将数学问题真实地呈现给儿童，引导学生将数学学习的过程变成数学再创造的过程，变成一次次智慧探险的过程。这种探究过程是对数学家精神的还原，这里是数学之源，也是智慧之源。 如在《角的度量》这节课中，量角器——作为前人发明创造的具体成果，当它以“产品”的形式呈现在学生面前时，当初人们在创造过程中的曲折原委、设计每一个细节时的心路历程、创造者的思维品质都已经被丢在一边，呈现出来的只是数学工具冰冷的美丽，火热的思考被淹没在形式化的海洋里。
因此，回溯到人们当初发明量角器的历史起点——比较两个角大小的现实需要，由此引导学生循着前人发明量角器的历史轨迹，浓缩地经历其再创造的过程。在此过程中，起初度量精度不高的矛盾让二次等分每一个小角成为必然；度量过程中数刻度的麻烦便逻辑地产生标出刻度的需要；角的开口方向的不同又进一步催生出量角器上的内圈刻度和外圈刻度……从而将学习度量角的过程变成引导学生一步步地将量角器创造出来的过程。
为了学生智慧的成长，数学教学不能简单地“去头掐尾烧中段”，要回溯到知识的原点，不要让知识的“原点”变成我们教学的“盲点”。
2.叩问数学之真
数学以其严谨、严密、客观、理性让人们对其怀有一种普遍的敬畏和信任，因为求“真”是数学学科的秉性。数学求真精神不仅能够激发人们追求和坚持真理的勇气与自信，养成独立发现问题、思考问题和解决问题的习惯，养成不轻信经验、不迷信权威、不随波逐流的品质，而数学求真的过程，正是对学生智慧的成长一次次启迪与砥砺的过程。
如“对顶角相等”定理本身非常直观，无人质疑。如果就事论事地解说一番，或者让学生量一量、拼一拼，也许学生能理解，但学生却不能获得对数学之“真”的欣赏。关键在于：这样明显的命题为什么要证明？
事实上，中国古代数学就没有“对顶角相等”的证明，也许因为它不怎么重要，或者因为结论太明显，没有人怀疑它的正确性，何需证明？但是，古希腊数学家却不这样认为。在《几何原本》中作为命题15正式提出，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。
从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，两相对照，才知道自己思考的浅薄和古希腊理性精神的伟大。这也是中国古代数学为何最终没能走上几何证明道路的原因之一，这种指导思想上的分水岭，可以说震撼了许多人的灵魂。让学生感受到这一思想上的飞跃，对学生智慧的成长具有多重启迪。
因此，为了学生智慧的成长，面对熟视无睹的教学内容，我们不能就着知识教知识，围绕考点“炒”知识，而应该引导学生不断地追问：是什么？为什么？一定是这样吗？还可能怎么样？我怎么就没有想到？……充满思考与叩问的课堂才是启迪学生智慧成长的温床。
3.建构数学之模
获取数学教材中的结论并不能必然使学生生成智慧，关于知识背后之根据及获取知识的睿智的方式方能启迪人的智慧。因此，在数学课堂教学中，我们要将抽象的文本知识激活，将静态的数学知识动态化，抽象的数学知识具体化，结论性的数学知识过程化，通过数学建模，抽象出一个个简约的数学模型。这样的过程给学生再现了一种“微型的科研过程”，它丰富了学生在具体情境中的感受与体验，催生出学生独特的活动经验，于细节处体现出智慧的灵动。
如在《行程问题》的练习课上，学生已经掌握了“相遇问题”的关系式：（V1 V2）t=S。如果我们将“甲、乙两车相向而行4小时”替换成“师、徒二人合作加工4小时零件”，或者替换成“学校购买4套桌椅”……引导学生发现，从表面上看，虽然这几道题所讲的具体事情与“行程问题”风马牛不相及，但在解题方法和数量关系上却有着内在的联系，都可以用更上位的数学模型（a b）c=d来表征时，学生会有一种醍醐灌顶的顿悟与通透感。
透过纷繁复杂的数学现象，将研究对象表征为简约的数学模型，不仅能让学生养成格式化的思维方式，产生“求真、尚简”的情感体验，更能让学生在对人的本质力量的自我观照中产生创造的自由与自觉。
知识自由了，成为学问；学习自由了，成为学术。当学生拥有数学建模的自由与自觉，养成数学建模的意识与眼光，获得了数学建模的能力与方法时，便拥有了一把开启智慧之门的“金钥匙”。
4.触摸数学之魂
数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱动人类的思维得以运用到最完善的程度。也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解自然；尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的内涵。
理性精神是数学的灵魂。数学教育不能止于学生对数学知识与技能的掌握，更要通过数学知识的学习引导学生去触摸数学的灵魂，让学生在解决数学问题的过程中受到数学理性精神的熏陶，逐步形成敏锐的问题意识、执着的批判精神；凡事养成实事求是、言必有据、服膺真理、一丝不苟、严谨认真、崇尚科学的理性精神；从中悟出做事、做人的智慧。
为学生智慧的成长而教，并不仅仅是技术问题，首先是个理念问题。只有秉持“为学生智慧的成长而教”的教育理念，我们才能超越知识，用知识去开启学生的心智，用智慧去启迪智慧，用人格去感召人格，才能用智慧课堂为学生未来的幸福人生奠基。
学校教育应该拥有如此高远敞亮的教育视界和以人为本的教育情怀，这是教育的德性。