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中圖分类号： TP242 文献标识码：A
摘要：本文主要介绍了采用状态反馈极点配置法对自平衡机器人进行控制方法设计的主要过程，利用Matlab软件对自平衡机器人系统进行了多种情况下的极点配置，并对各种极点配置情况下系统的阶跃响应进行了分析对比，经过反复测试及实验最终确定了最佳的控制方法，为自平衡机器人控制方法的研究提供了一条新的途径。
关键词：极点配置；自平衡机器人；Matlab
1 引言
自平衡机器人是以经典控制理论中倒立摆模型为基础发展而来的一种新型智能型机器人。该机器人采用两轮式结构，独立驱动，其核心就在于通过控制方法的设计来实现机器人的自平衡，即机器人在各种运动状态下，所设计的控制系统都能及时判断实时的运动状态并做出相应的响应从而反馈到机器人本身以保持其平衡的运动状态。由于其理论模型（倒立摆）本身具有多变量﹑非线性﹑本质不稳定﹑非最小相位系统等诸多特点[1]，因此机器人控制算法的设计就会非常具有挑战性，这一课题也成为了诸多科学家及机器人爱好者的重点研究对象。
2 状态反馈极点配置
在经典控制理论中，系统模型通过传递函数进行表达，可以通过传递函数分析和设计单输入单输出系统，但这种方法只能反映出系统的输出变量与输入变量之间的关系，而无法了解到系统内部的变化情况[2]。在现代控制理论中，系统模型则通过状态空间模型来表达，并可设计和分析多输入多输出系统，为多变量系统的分析和研究提供了强有力的工具。而在系统设计和分析过程中，状态反馈可以全面的反映系统的内部特性，是一种完全的系统信息反馈，通过状态反馈可以由状态输入来完全确定系统的未来行为。状态反馈的基本实现方法就是将系统的状态变量乘以相应的系统反馈系数之后再反馈到系统输入端并与参考输入相加，二者之和作为受控系统的输入对系统进行进一步的控制[3]。在这一过程中，确定系统反馈系数就成为整个设计的关键，极点配置就是为解决这一问题应运而生的。极点配置是通过设计系统的反馈增益矩阵，使得系统的各个极点处于s平面上所期望的位置，进而获得所期望的系统控制特性。
3 自平衡机器人系统极点配置
在设计系统控制方法之前，必须建立系统准确的数学模型，并确定系统的状态空间表达式。本设计在确定系统模型的过程中忽略机器人与外界之间的摩擦，并经过一定程度的线性化处理得到的机器人系统模型如下[4]：
1-1
其中： 为系统输入状态变量， 为系统输出状态变量， 为系统位移， 为系统速度， 为系统加速度， 为系统角位移， 为系统角速度， 为系统角加速度， 为车轮转矩。
从系统的状态空间表达式中可以看出，自平衡机器人的状态变量共有四个，因此其反馈增益矩阵为1×4的矩阵，因此选取极点时必须选择4个所期望的极点，这些极点可以是实数也可以是共轭复数对，而且所选极点均应处于s平面的左半平面，这样机器人才会达到满意的控制效果[5]，设计中首先选取两组极点进行初步试验，分别为：
第一组： ； 第二组：
利用Matlab中的极点配置函数place（）对上述两组极点进行配置，程序如下：
>> A1=[0，1，0，0；0，0，-23.5768，0；0，0，0，1；0，0，115.3862，0]；
>> A2=[0；9.9465；0；-25.8267]；
>> A3=[0，0，1，0；1，0，0，0]；
>> A4=[0；0]；
>> p=[-1+2j，-1-2j，-2+3j，-2-3j]；
>> k=place（A1，A2，p）
上述两组极点配置后，所得的增益矩阵分别为：
[-0.1206 -0.0854 -5.5209 -0.2652]与[-0.6032 -0.4714 -8.0299 -0.7236]
将所得的反馈增益矩阵代入状态空间表达式并绘制两组极点配置的阶跃响应曲线分别如图1.1与1.2所示：
图1.1 第一组 图1.2 第二组
4 结果讨论
从图1.1及1.2可以看出，两组极点均可以使机器人达到自平衡的控制效果，但在响应时间，最大超调量等各项指标中均有很大的差别，经过多次反复试验并进行多次现场实测，最终确定的极点配置为：-16+9j，-16-9j，-11+0.1j，-11-0.1j，在这种情况下，系統阶跃响应曲线如图1.3所示：
图1.3 系统最终阶跃响应曲线
参考文献：
[1] 张东军，丛爽.倒立摆控制系统研究综述[J].控制工程，2003，7（10）：9-12.
[2] 胡寿松.自动控制原理[M].5版.科学出版社，2007年.
[3] 孔祥宣.自主式双轮动态平衡移动机器人的控制系统研究[D].上海：上海交通大学，2007.
[4] Thomas Braunl， Jie Pan. Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot[J]. The University of Western Australia School of Mechanical Engineering Final Year Thesis， 2003，5（2）：23-43.
[5] 李威.两轮自平衡机器人控制系统研制[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2005年6月.
Application of Pole-Placement Method in Self-balancing Robot
Abstract： This paper briefly introduces the designing process of control method by using pole-placement in the self-balancing robot. The matlab has processed the pole-placement in the different circumstance and made a comparison by plotting the step response. At last the best control method has been confirmed after many experiments. And this paper will provide a new control method for the Self-balancing Robot.
Key word： pole-placement； Self-balancing Robot； Matlab
摘要：本文主要介绍了采用状态反馈极点配置法对自平衡机器人进行控制方法设计的主要过程，利用Matlab软件对自平衡机器人系统进行了多种情况下的极点配置，并对各种极点配置情况下系统的阶跃响应进行了分析对比，经过反复测试及实验最终确定了最佳的控制方法，为自平衡机器人控制方法的研究提供了一条新的途径。
关键词：极点配置；自平衡机器人；Matlab
1 引言
自平衡机器人是以经典控制理论中倒立摆模型为基础发展而来的一种新型智能型机器人。该机器人采用两轮式结构，独立驱动，其核心就在于通过控制方法的设计来实现机器人的自平衡，即机器人在各种运动状态下，所设计的控制系统都能及时判断实时的运动状态并做出相应的响应从而反馈到机器人本身以保持其平衡的运动状态。由于其理论模型（倒立摆）本身具有多变量﹑非线性﹑本质不稳定﹑非最小相位系统等诸多特点[1]，因此机器人控制算法的设计就会非常具有挑战性，这一课题也成为了诸多科学家及机器人爱好者的重点研究对象。
2 状态反馈极点配置
在经典控制理论中，系统模型通过传递函数进行表达，可以通过传递函数分析和设计单输入单输出系统，但这种方法只能反映出系统的输出变量与输入变量之间的关系，而无法了解到系统内部的变化情况[2]。在现代控制理论中，系统模型则通过状态空间模型来表达，并可设计和分析多输入多输出系统，为多变量系统的分析和研究提供了强有力的工具。而在系统设计和分析过程中，状态反馈可以全面的反映系统的内部特性，是一种完全的系统信息反馈，通过状态反馈可以由状态输入来完全确定系统的未来行为。状态反馈的基本实现方法就是将系统的状态变量乘以相应的系统反馈系数之后再反馈到系统输入端并与参考输入相加，二者之和作为受控系统的输入对系统进行进一步的控制[3]。在这一过程中，确定系统反馈系数就成为整个设计的关键，极点配置就是为解决这一问题应运而生的。极点配置是通过设计系统的反馈增益矩阵，使得系统的各个极点处于s平面上所期望的位置，进而获得所期望的系统控制特性。
3 自平衡机器人系统极点配置
在设计系统控制方法之前，必须建立系统准确的数学模型，并确定系统的状态空间表达式。本设计在确定系统模型的过程中忽略机器人与外界之间的摩擦，并经过一定程度的线性化处理得到的机器人系统模型如下[4]：
1-1
其中： 为系统输入状态变量， 为系统输出状态变量， 为系统位移， 为系统速度， 为系统加速度， 为系统角位移， 为系统角速度， 为系统角加速度， 为车轮转矩。
从系统的状态空间表达式中可以看出，自平衡机器人的状态变量共有四个，因此其反馈增益矩阵为1×4的矩阵，因此选取极点时必须选择4个所期望的极点，这些极点可以是实数也可以是共轭复数对，而且所选极点均应处于s平面的左半平面，这样机器人才会达到满意的控制效果[5]，设计中首先选取两组极点进行初步试验，分别为：
第一组： ； 第二组：
利用Matlab中的极点配置函数place（）对上述两组极点进行配置，程序如下：
>> A1=[0，1，0，0；0，0，-23.5768，0；0，0，0，1；0，0，115.3862，0]；
>> A2=[0；9.9465；0；-25.8267]；
>> A3=[0，0，1，0；1，0，0，0]；
>> A4=[0；0]；
>> p=[-1+2j，-1-2j，-2+3j，-2-3j]；
>> k=place（A1，A2，p）
上述两组极点配置后，所得的增益矩阵分别为：
[-0.1206 -0.0854 -5.5209 -0.2652]与[-0.6032 -0.4714 -8.0299 -0.7236]
将所得的反馈增益矩阵代入状态空间表达式并绘制两组极点配置的阶跃响应曲线分别如图1.1与1.2所示：
图1.1 第一组 图1.2 第二组
4 结果讨论
从图1.1及1.2可以看出，两组极点均可以使机器人达到自平衡的控制效果，但在响应时间，最大超调量等各项指标中均有很大的差别，经过多次反复试验并进行多次现场实测，最终确定的极点配置为：-16+9j，-16-9j，-11+0.1j，-11-0.1j，在这种情况下，系統阶跃响应曲线如图1.3所示：
图1.3 系统最终阶跃响应曲线
参考文献：
[1] 张东军，丛爽.倒立摆控制系统研究综述[J].控制工程，2003，7（10）：9-12.
[2] 胡寿松.自动控制原理[M].5版.科学出版社，2007年.
[3] 孔祥宣.自主式双轮动态平衡移动机器人的控制系统研究[D].上海：上海交通大学，2007.
[4] Thomas Braunl， Jie Pan. Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot[J]. The University of Western Australia School of Mechanical Engineering Final Year Thesis， 2003，5（2）：23-43.
[5] 李威.两轮自平衡机器人控制系统研制[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2005年6月.
Application of Pole-Placement Method in Self-balancing Robot
Abstract： This paper briefly introduces the designing process of control method by using pole-placement in the self-balancing robot. The matlab has processed the pole-placement in the different circumstance and made a comparison by plotting the step response. At last the best control method has been confirmed after many experiments. And this paper will provide a new control method for the Self-balancing Robot.
Key word： pole-placement； Self-balancing Robot； Matlab