论文部分内容阅读
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查。这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略。
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行；（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。
题型1.考查数学概念及定义的分类。
例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为3∶2或3∶4。
练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长。
解析：（1）点C在线段AB上；（2）点C在线段AB的延长线上。
例2.下列说法正确的是（ ）。
A.两条线段相交有且只有一个交点。
B.如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C两条射线不平行就相交。
D.不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
例题1.如图1边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）。
（1）当t取何值时，S=3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与t的函数图像。
点拔：设l与正方形ABCD的交点为M，N，易知△DMN是等腰Rt△，只有当MD= 2时，S△MDN=1，那么S=S□ABCD-S□MDN=3，此时求得t=4- 2，第（2）问中，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像。
解：（1）设l与正方形ABCD的交点为M，N，
∵l的解析式y=x+t，在x轴，y轴上所截线段相等。
∴△DMN为等腰Rt△DMN
∵S=3，∴S△DMN=SABCD-S=2×2-3=1
又∵S△DMN= MD·ND= ND2
∴MD=ND= 2，∴ON=OD-DM=4- 2，
即D点的坐标为（0，4- 2）
∴t=4- 2，即当t=4- 2时，S=3。
（2）∵直线l与y轴的交点M的坐标为（0，t）
∴当0≤t<2时，S= BM·BN= t2
当2≤t<4时，S=SABCD-S△DMN=- （t-4）2+4
当t≥4时，S=4 。
根据以上解析式，作图如图（2）。
变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD。
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动，过Q作直线QN，使QN//PM。设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2。
①求S关于t的函数关系式。
②（附加题）求S的最大值。
易误：讨论变量t的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析。
题型3：与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性引发讨论。
例3.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）
练习：已知∠AOB=60°，过O作一条射线OC，射线OE平分∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小。
（1）射线OC在∠AOB内；（2）射线OC在∠AOB外。
这两种情况下，都有∠DOE= = =30°。
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然∠AOC的大小不确定，但是所求的∠DOE与∠AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行；（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。
题型1.考查数学概念及定义的分类。
例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为3∶2或3∶4。
练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长。
解析：（1）点C在线段AB上；（2）点C在线段AB的延长线上。
例2.下列说法正确的是（ ）。
A.两条线段相交有且只有一个交点。
B.如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C两条射线不平行就相交。
D.不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
例题1.如图1边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）。
（1）当t取何值时，S=3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与t的函数图像。
点拔：设l与正方形ABCD的交点为M，N，易知△DMN是等腰Rt△，只有当MD= 2时，S△MDN=1，那么S=S□ABCD-S□MDN=3，此时求得t=4- 2，第（2）问中，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像。
解：（1）设l与正方形ABCD的交点为M，N，
∵l的解析式y=x+t，在x轴，y轴上所截线段相等。
∴△DMN为等腰Rt△DMN
∵S=3，∴S△DMN=SABCD-S=2×2-3=1
又∵S△DMN= MD·ND= ND2
∴MD=ND= 2，∴ON=OD-DM=4- 2，
即D点的坐标为（0，4- 2）
∴t=4- 2，即当t=4- 2时，S=3。
（2）∵直线l与y轴的交点M的坐标为（0，t）
∴当0≤t<2时，S= BM·BN= t2
当2≤t<4时，S=SABCD-S△DMN=- （t-4）2+4
当t≥4时，S=4 。
根据以上解析式，作图如图（2）。
变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD。
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动，过Q作直线QN，使QN//PM。设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2。
①求S关于t的函数关系式。
②（附加题）求S的最大值。
易误：讨论变量t的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析。
题型3：与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性引发讨论。
例3.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）
练习：已知∠AOB=60°，过O作一条射线OC，射线OE平分∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠DOE的大小。
（1）射线OC在∠AOB内；（2）射线OC在∠AOB外。
这两种情况下，都有∠DOE= = =30°。
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然∠AOC的大小不确定，但是所求的∠DOE与∠AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。