论文部分内容阅读
沾益县第四中学云南曲靖655300 前几日,我们聆听了一位老师进行函数y=Asin(ωx+φ)的图像的公开课,又一次深切感受了“教学是一门艺术”、“教无定法”等教学哲理,教学中,教师所采用的方法、手段,那是因人而宜的,往往是由各种现实条件所决定,但达成教学目标、课堂高效、学生积极主动参与、每一位学生都能有所发展却是我们教师对每一节课的追求目标,因此,教师应该尽可能地设计和优化课堂结构,采用最优的教学方案,充分发挥自身的优势,扬长避短,创造姓地进行教学设计并实施教学现将该节课实录如下,并作简单评析。
1教学目标
从简单的正弦曲线与特殊的三角函数之间的关系出发,考察三个函数参数A、ω、φ .对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响。揭示函数y=Asin(ωx+φ)图像与正弦曲线的变换关系,掌握由数到形、由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想。
2教学过程
问题情景:三角函数y=sinx的图像与y= sin(x+φ)图像之间存在什么关系?
三角函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系?
三角函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系?
简评:温故知新,夯实基础,为新教学内容作好铺垫。
猜想1:函数y=sinx与y= sin(x+φ)图像之间的关系?
学生互动:学生由“五点法”画出y= sin(x+π52)和 y= sin(x-π52)两种图像,对比函数y=sinx的图像,观察得出猜想:当φ>0时,图像y=sinx向左移|φ|个单位,当φ<0时,图像y=sinx 向右平移|φ|个单位 就得到函数y= sin(x+φ)图像。
教师: 大家的猜想是否下正确呢?老师演示课件,如下图示:
将y=sinx黑色正弦曲线整体向左平移|π53个单位,就变换成y= sin(x+π53)图像红色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线整体向右平移|π54|个单位就变换成y= sin(x-π54)图像蓝色曲线,从而验证猜想正确。师生在教学活动的基础上得出结论:函数y= sin(x+φ)的图像是由y=sinx 的图像上所有点向左或向右平移|φ|个单位得到,反之亦然,即左加右减的方法进行平移。
巩固练习一、填空:
1要得到函数y= sin(x+π)的图像与函数y= sin(x-2π)图像,只需将y=sinx的图像 分别向()平移π个单位、向右平移( )个单位就可得到。
2若将函数y= sin(x+3π)的图像向( )平移3π个单位可得到函数y=sinx的图像。
猜想2: 函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系?
学生互动:学生由“五点法”画出y= sin2x和 y= sin(152)x两种图像,对比函数y=sinx的图像,观察得出猜想:函数y=sinωx的图像是由函数y=sinx的图像横向伸缩变换得到。如图示:
将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin2x图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,就变换成y= sin(152)x图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以,当ω>1时,函数y=sinx图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的15ω倍;当0<ω<1时,函数y=sinx图象纵坐标不变,横坐标伸长为原来的15ω倍。即可得到函数y=sinωx的图像。
猜想3:函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系?
同样通过学生互动得出猜想:函数y=Asinx的图像是由函数y=sinx的图像纵向伸缩变换得到。如图示:
将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin(152)x的图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,就变换成y= sin2x的图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以:当A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍. 当0 简评:采用各种方法,创设情景,形象生动,激发学生兴趣,充分调动学生的主动参与的积极性,每一位学生都能投入到课堂学习中,学习情绪高涨,课堂气氛十分活跃。
巩固练习二、填空:
1要得到函数y=sin3x的图像,只需将函数y=sinx 的图像纵坐标(),横坐标()即可;
2要得到函数y=5sinx的图像,只需将函数y=sinx 的图像纵坐标(),横坐标()就可得到。
3要得到函数y=5sin3x的图像,只需将函数y=sinx的图像先变换成y=()图像或y=( )图像,再变换成函数y=5sin3x的图像。
简评:让知识转化为能力,举一反三,寻求解题规律,强化解题技巧、方法。
猜想4:函数y=sinx的图像与函数y=Asin(ωx+φ)图像之间的关系?
简评:水到渠成,本节重点知识由此突破。
例题教学:例已知函数y=2sin(4x+3π), 你能设计出几种画出该函数简图的方法?
教师引导学生分析,解答本题可利用“五点法”画出;也可利用函数y=sinx 的图像平移伸缩变换得到。可有三种方法解答此题:
方法一:教师利用几何画板展示“五点法”画出函数y=2sin(4x+3π)的图像;
方法二:先平移,再伸缩。
由y=sinx向左平移3π单位得到y=sin(x+3π),然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1/4得到函数y=sin(4x+3π),最后横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin(4x+3π)的图像;
方法三:先伸缩,后平移。
由y=sinx横坐标缩短为原来的1/4,纵坐标不变得出y=sin4x,再将其图像向左平移3π/4个单位长度后便可得到y=sin(4x+3π),然后横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin(4x+3π)的图像。
师生共同归纳总结得出结论:函数y=Asin(ωx+φ)图像可由函数y=sinx的图像经过先平移后伸缩或先伸缩后平移两种变换得到,其中A影响纵向的伸缩变换,ω影响横向的伸缩变换,φ影响左、右平移变换。
其变换方法:(1)把函数y=sinx的图像向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位得出y= sin(x+φ)图像,再横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍得到y=sin(ωx+φ)图像,然后横坐标不变,纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 (2)把函数y=sinx的图像的横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍,纵坐标不变便得到函数y=sinωx的图像,再向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ5ω|个单位得到函数y= sin(ωx+φ)图像,然后横坐标不变,纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 简评:突出课堂核心要点,归纳总结方法技巧,形成能力。
练习拓展:(1)函数y=sinx的图像经过怎样变换可得到函数y=152sin(x+π)图像?
(2)函数y=2sin(2x-3π)图像是由函数y=sin x的图像经过怎样变换可得到?
(3)函数y=3sin(152x+π/6)图像经过怎样变换可得到函数y=sin x的图像?
(4)函数y=2 sin(x+π54)的图像是怎样由y=2 cosx+1的图变换得到的?
简评:巩固新知,深入理解,寻找规律,力求创新,检测学习效果,让不同的学生都学有所获。
1教学目标
从简单的正弦曲线与特殊的三角函数之间的关系出发,考察三个函数参数A、ω、φ .对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响。揭示函数y=Asin(ωx+φ)图像与正弦曲线的变换关系,掌握由数到形、由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想。
2教学过程
问题情景:三角函数y=sinx的图像与y= sin(x+φ)图像之间存在什么关系?
三角函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系?
三角函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系?
简评:温故知新,夯实基础,为新教学内容作好铺垫。
猜想1:函数y=sinx与y= sin(x+φ)图像之间的关系?
学生互动:学生由“五点法”画出y= sin(x+π52)和 y= sin(x-π52)两种图像,对比函数y=sinx的图像,观察得出猜想:当φ>0时,图像y=sinx向左移|φ|个单位,当φ<0时,图像y=sinx 向右平移|φ|个单位 就得到函数y= sin(x+φ)图像。
教师: 大家的猜想是否下正确呢?老师演示课件,如下图示:
将y=sinx黑色正弦曲线整体向左平移|π53个单位,就变换成y= sin(x+π53)图像红色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线整体向右平移|π54|个单位就变换成y= sin(x-π54)图像蓝色曲线,从而验证猜想正确。师生在教学活动的基础上得出结论:函数y= sin(x+φ)的图像是由y=sinx 的图像上所有点向左或向右平移|φ|个单位得到,反之亦然,即左加右减的方法进行平移。
巩固练习一、填空:
1要得到函数y= sin(x+π)的图像与函数y= sin(x-2π)图像,只需将y=sinx的图像 分别向()平移π个单位、向右平移( )个单位就可得到。
2若将函数y= sin(x+3π)的图像向( )平移3π个单位可得到函数y=sinx的图像。
猜想2: 函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系?
学生互动:学生由“五点法”画出y= sin2x和 y= sin(152)x两种图像,对比函数y=sinx的图像,观察得出猜想:函数y=sinωx的图像是由函数y=sinx的图像横向伸缩变换得到。如图示:
将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin2x图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,就变换成y= sin(152)x图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以,当ω>1时,函数y=sinx图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的15ω倍;当0<ω<1时,函数y=sinx图象纵坐标不变,横坐标伸长为原来的15ω倍。即可得到函数y=sinωx的图像。
猜想3:函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系?
同样通过学生互动得出猜想:函数y=Asinx的图像是由函数y=sinx的图像纵向伸缩变换得到。如图示:
将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin(152)x的图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,就变换成y= sin2x的图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以:当A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍. 当0 简评:采用各种方法,创设情景,形象生动,激发学生兴趣,充分调动学生的主动参与的积极性,每一位学生都能投入到课堂学习中,学习情绪高涨,课堂气氛十分活跃。
巩固练习二、填空:
1要得到函数y=sin3x的图像,只需将函数y=sinx 的图像纵坐标(),横坐标()即可;
2要得到函数y=5sinx的图像,只需将函数y=sinx 的图像纵坐标(),横坐标()就可得到。
3要得到函数y=5sin3x的图像,只需将函数y=sinx的图像先变换成y=()图像或y=( )图像,再变换成函数y=5sin3x的图像。
简评:让知识转化为能力,举一反三,寻求解题规律,强化解题技巧、方法。
猜想4:函数y=sinx的图像与函数y=Asin(ωx+φ)图像之间的关系?
简评:水到渠成,本节重点知识由此突破。
例题教学:例已知函数y=2sin(4x+3π), 你能设计出几种画出该函数简图的方法?
教师引导学生分析,解答本题可利用“五点法”画出;也可利用函数y=sinx 的图像平移伸缩变换得到。可有三种方法解答此题:
方法一:教师利用几何画板展示“五点法”画出函数y=2sin(4x+3π)的图像;
方法二:先平移,再伸缩。
由y=sinx向左平移3π单位得到y=sin(x+3π),然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1/4得到函数y=sin(4x+3π),最后横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin(4x+3π)的图像;
方法三:先伸缩,后平移。
由y=sinx横坐标缩短为原来的1/4,纵坐标不变得出y=sin4x,再将其图像向左平移3π/4个单位长度后便可得到y=sin(4x+3π),然后横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin(4x+3π)的图像。
师生共同归纳总结得出结论:函数y=Asin(ωx+φ)图像可由函数y=sinx的图像经过先平移后伸缩或先伸缩后平移两种变换得到,其中A影响纵向的伸缩变换,ω影响横向的伸缩变换,φ影响左、右平移变换。
其变换方法:(1)把函数y=sinx的图像向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位得出y= sin(x+φ)图像,再横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍得到y=sin(ωx+φ)图像,然后横坐标不变,纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 (2)把函数y=sinx的图像的横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍,纵坐标不变便得到函数y=sinωx的图像,再向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ5ω|个单位得到函数y= sin(ωx+φ)图像,然后横坐标不变,纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 简评:突出课堂核心要点,归纳总结方法技巧,形成能力。
练习拓展:(1)函数y=sinx的图像经过怎样变换可得到函数y=152sin(x+π)图像?
(2)函数y=2sin(2x-3π)图像是由函数y=sin x的图像经过怎样变换可得到?
(3)函数y=3sin(152x+π/6)图像经过怎样变换可得到函数y=sin x的图像?
(4)函数y=2 sin(x+π54)的图像是怎样由y=2 cosx+1的图变换得到的?
简评:巩固新知,深入理解,寻找规律,力求创新,检测学习效果,让不同的学生都学有所获。