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一、用随机变量描述随机现象
例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明所取值的实际意义．
（1）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3个球，记所取球的最大号码为[X].
（2）连续投掷一枚骰子两次，所得点数之和为[Y].
解析 （1）[X]可能取的值为3，4，5．
[X=3]表示最大号码为3，即取出的球为1，2，3号；
[X=4]表示最大号码为4，即4号球被取出，1，2，3号球中恰好取出两个；
[X=5]表示最大号码为5，即5号球被取出，1，2，3，4号球中恰好取出两个．
（2）[Y]可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．
[Y=2]表示掷出的点数为（1，1）；
[Y=3]表示掷出的点数为（1，2），（2，1）；
[Y=4]表示掷出的点数为（1，3），（2，2），（3，1）；
[Y=5]表示掷出的点数为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
[Y=6]表示掷出的点数为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）；
同理，[Y=7]有6个不同的结果，[Y=8]有5个不同的结果，[Y=9]有4个不同的结果，[Y=10]有3个不同的结果，[Y=11]有2个不同的结果，[Y=12]有1个结果．
点评 学会用随机变量描述试验结果非常重要，它是下一步学习分布列的重要基础．
二、离散型随机变量的分布列
例2 设[S]是不等式[x2-x-6≤0]的解集，整数[m,n∈S].
（1）记“使得[m+n=0]成立的有序数组[(m,n)]”为事件[A]，试列举[A]包含的基本事件；
（2）设[ξ=m2]，求[ξ]的分布列．
解析 （1）由已知，可求得[S={x|-2≤x≤3}]，故[m,n∈{-2,][-1,0,1,2,3}]，则[A]包含的基本事件为（-2，2），（-1，1），（0，0），（1，-1），（2，-2）.
（2）变量[m]的分布列为
则[ξ]的分布列为
点评 1. 求分布列一般有3个步骤：第一步确定变量的所有取值，第二步求出相应的概率，第三步列表．其中最难的是第二步，它需要综合运用我们此前所学的概率知识；
2. 该题第二问涉及变量函数分布列的求法，关键是通过函数关系找到新变量的取值，新变量每个取值的概率等于原变量相应取值的概率之和．
三、分布列的性质
例3 设随机变量[X]的分布列为[P(X=k5)=ak,][k=1,2,3,4,5.]
（1）求常数[a]的值；
（2）求[P(110 解析 （1）由已知条件得变量[X]的分布列为
故[a+2a+3a+4a+5a=1]，解之，得[a]=[115].
（2）[P(110 [P(X=35)=115+215+315=25].
四、超几何分布
例4 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件.
（1）记取出的3件产品中一等品的件数为[X]，求[X]的分布列；
（2）求取出的3件产品中一等品件数多于二等品的概率．
解析 （1）[X]的可能取值为0，1，2，3．
[P(X=0)]=[C37C310]=[724]， [P(X=1)]=[C13C27C310]=[2140]， [P(X=2)]=[C23C17C310]=[740]，[P(X=3)]=[C33C310]=[1120].
故[X]的分布列为
（2）记事件[A1]表示“一等品件数为1，二等品件数为0”，事件[A2]表示“一等品件数为2”，事件[A3]表示“一等品件数为3”．
则所求事件为[A1]+[A2]+[A3]， 故所求概率为[P(A1)+P(A2)+P(A3)]=[C13C23C310]+[740]+[1120]=[31120].
点评 1. 求超几何分布的关键在于组合数的计算，理解起来并不困难；
2. 利用分布列求概率关键是要搞清楚所求事件与随机变量之间的关系．
【练习】
1. 一个人有[n]把钥匙，其中只有一把可以打开房门．他随意地进行试开，试过的钥匙放在一旁．记打开房门时，试过的次数为随机变量[X]，则[P(X=k)]=（ ）
A. [kn] B. [1n]
C. [k-1n] D. [AkkAkn]
2. 若离散型随机变量[X]的分布列如下表所示，则[c=] ．
3. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2．
（1）如果从甲盒中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？
（2）如果从甲、乙两个盒子中各取出1张卡片，设取出的2张卡片上数字之和为[X]，求[X]的分布列．
4. 袋中有10个白球，[n]个红球（2≤[n]≤9），试求：
（1）当取出2个球时，白球和红球各1个的概率[Pn]及[Pn]的最大值；
（2）当[Pn]最大时，从袋中随机取出4个球，记白球与红球的个数差的绝对值为随机变量[X]，求[X]的分布列．
【参考答案】
1. B
2. [13]
3. （1）[3112]
（2）
[[X]&0&1&2&3&4&[P]&[332]&[1364]&[2164]&[1564]&[964]&]
4. （1）[Pn]=[20n(n+10)(n+9)]，当[n=9]时，[Pn]取得最大值[1019].
（2）
[[X]&0&2&4&[P]&[135323]&[160323]&[28323]&]
例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明所取值的实际意义．
（1）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3个球，记所取球的最大号码为[X].
（2）连续投掷一枚骰子两次，所得点数之和为[Y].
解析 （1）[X]可能取的值为3，4，5．
[X=3]表示最大号码为3，即取出的球为1，2，3号；
[X=4]表示最大号码为4，即4号球被取出，1，2，3号球中恰好取出两个；
[X=5]表示最大号码为5，即5号球被取出，1，2，3，4号球中恰好取出两个．
（2）[Y]可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．
[Y=2]表示掷出的点数为（1，1）；
[Y=3]表示掷出的点数为（1，2），（2，1）；
[Y=4]表示掷出的点数为（1，3），（2，2），（3，1）；
[Y=5]表示掷出的点数为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；
[Y=6]表示掷出的点数为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）；
同理，[Y=7]有6个不同的结果，[Y=8]有5个不同的结果，[Y=9]有4个不同的结果，[Y=10]有3个不同的结果，[Y=11]有2个不同的结果，[Y=12]有1个结果．
点评 学会用随机变量描述试验结果非常重要，它是下一步学习分布列的重要基础．
二、离散型随机变量的分布列
例2 设[S]是不等式[x2-x-6≤0]的解集，整数[m,n∈S].
（1）记“使得[m+n=0]成立的有序数组[(m,n)]”为事件[A]，试列举[A]包含的基本事件；
（2）设[ξ=m2]，求[ξ]的分布列．
解析 （1）由已知，可求得[S={x|-2≤x≤3}]，故[m,n∈{-2,][-1,0,1,2,3}]，则[A]包含的基本事件为（-2，2），（-1，1），（0，0），（1，-1），（2，-2）.
（2）变量[m]的分布列为
则[ξ]的分布列为
点评 1. 求分布列一般有3个步骤：第一步确定变量的所有取值，第二步求出相应的概率，第三步列表．其中最难的是第二步，它需要综合运用我们此前所学的概率知识；
2. 该题第二问涉及变量函数分布列的求法，关键是通过函数关系找到新变量的取值，新变量每个取值的概率等于原变量相应取值的概率之和．
三、分布列的性质
例3 设随机变量[X]的分布列为[P(X=k5)=ak,][k=1,2,3,4,5.]
（1）求常数[a]的值；
（2）求[P(110
故[a+2a+3a+4a+5a=1]，解之，得[a]=[115].
（2）[P(110
四、超几何分布
例4 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件.
（1）记取出的3件产品中一等品的件数为[X]，求[X]的分布列；
（2）求取出的3件产品中一等品件数多于二等品的概率．
解析 （1）[X]的可能取值为0，1，2，3．
[P(X=0)]=[C37C310]=[724]， [P(X=1)]=[C13C27C310]=[2140]， [P(X=2)]=[C23C17C310]=[740]，[P(X=3)]=[C33C310]=[1120].
故[X]的分布列为
（2）记事件[A1]表示“一等品件数为1，二等品件数为0”，事件[A2]表示“一等品件数为2”，事件[A3]表示“一等品件数为3”．
则所求事件为[A1]+[A2]+[A3]， 故所求概率为[P(A1)+P(A2)+P(A3)]=[C13C23C310]+[740]+[1120]=[31120].
点评 1. 求超几何分布的关键在于组合数的计算，理解起来并不困难；
2. 利用分布列求概率关键是要搞清楚所求事件与随机变量之间的关系．
【练习】
1. 一个人有[n]把钥匙，其中只有一把可以打开房门．他随意地进行试开，试过的钥匙放在一旁．记打开房门时，试过的次数为随机变量[X]，则[P(X=k)]=（ ）
A. [kn] B. [1n]
C. [k-1n] D. [AkkAkn]
2. 若离散型随机变量[X]的分布列如下表所示，则[c=] ．
3. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2．
（1）如果从甲盒中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？
（2）如果从甲、乙两个盒子中各取出1张卡片，设取出的2张卡片上数字之和为[X]，求[X]的分布列．
4. 袋中有10个白球，[n]个红球（2≤[n]≤9），试求：
（1）当取出2个球时，白球和红球各1个的概率[Pn]及[Pn]的最大值；
（2）当[Pn]最大时，从袋中随机取出4个球，记白球与红球的个数差的绝对值为随机变量[X]，求[X]的分布列．
【参考答案】
1. B
2. [13]
3. （1）[3112]
（2）
[[X]&0&1&2&3&4&[P]&[332]&[1364]&[2164]&[1564]&[964]&]
4. （1）[Pn]=[20n(n+10)(n+9)]，当[n=9]时，[Pn]取得最大值[1019].
（2）
[[X]&0&2&4&[P]&[135323]&[160323]&[28323]&]