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[摘要] 排列组合是初等数学教学内容的一个重要组成部分，但由于排列组合极具抽象性，使之成为初等数学课本中“教”与“学”的难点。排列组合不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。
[关键词] 初等数学 排列组合 解题策略
排列组合是初等数学教学内容的一个重要组成部分，但由于排列组合极具抽象性，使之成为高数学课本中“教”与“学”的难点。加之，学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制，所以在解题中经常出现错误。下面，我将结合自己的教学实践，来谈谈初等数学排列组合问题的解题策略。
一、排列组合问题的易错原因分析
（一）排列与组合没有分清
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合。
例如，有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法。
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：=56排法。
（二）重复与遗漏
1.重复计算
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例如，5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选A.
错因分析：设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况。这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次。
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人，第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有种方法.由乘法原理，共有=240种方法，故选B。
例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：=1260，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了。
正解：种.
2.遗漏计算
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例如，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如下图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有种排法，共有=36个.
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数。
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有=36个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.
（三）忽视题设条件
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解。
例如，如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有=12种，由乘法原理共有：4×12=48种.
错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务。
正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2種着色方法，由乘法原理有=24种，综上共有：48+24=72种。
例如，已知ax2-b=0是关于的一元二次方程，其中a、，求解集不同的一元二次方程的个数。
误解：从集合中任意取两个元素作为a、b，方程有个，当a、b取同一个数时方程有1个，共有=13个。
错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于同解、同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有13-2=11个解集不同的一元二次方程.
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错。
例如，现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210-1=1023种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况。
正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有29×3-1=1535种。
二、排列组合问题的解题策略
（一）特殊元素和特殊位置优先策略
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A. 24个B.30个 C.40个 D.60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有12 个，2）0不排在末尾时，则有6个，3)无0的情况,有12个,由分类计数原理，共有偶数 =30个，选B。
（二）相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
例题:有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本，若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( ?)种，(结果用数值表示)
解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A(5,5)种排法；
又3本数学书有A(3,3)种排法，2本外语书有A(2,2)种排法；
根据分步计数原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(种)
（三）不相邻问题插空策略
插空法解答有关元素不相邻问题非常方便,先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
1. 数字问题
例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有A(3,3) 种排法，然后再将1，2插入四个空位共有A(4,2)种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有A(3,3)*A(4,2)=72
2. 节目单问题
例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有7 种方法；再用另一个节目去插八个空位有8 种方法；用最后一个节目去插九个空位有9 种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为:7*8*9=504种 。
3. 关灯问题
例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有C(7,3) 種方法，因此所有不同的关灯方法为C(7,3)=35 种。
4. 停车问题
例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有A(8,8)种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C(9,1 )种方法。所以共有A(8,8)*C(9,1)种方法。
5. 座位问题
例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A(3,3) 种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A(4,1 )种，所以每个人左右两边都空位的排法有A(3,3)*A(4,1)=24 种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A(4,3) 种。
（四）定序问题除法处理的策略
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总排列数去除以这几个元素的全排列数。
例1：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
解法1：1－9，组成5位数有A(9,5),假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的A(3,3)-1个顺序，都有X种排法。则X*(A(3,3)-1+1)=A(9,5),即X=A(9,5) / A(3,3)。
解法2：分步。第一步，选前两位，有A(9,2)种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C(7,3)种。即后三位有C(7,3)种可能性。则答案为 A(9,2)* C(7,3)。
例2:6个人排队,甲站乙的左边
A（6，6）是6个人排列，=720。甲乙两人是对等关系，谁在谁左边概率都一样，因此，720/2=360。
（五）小集团排列问题中先整体后局部的策略
对于小集团排列问题,可先将小集团看作一个元素与其余元素排列,最后再进行小集团内部的排列。
例、两名男歌唱家和四名女歌唱家联合举行一场音乐晚会,演出的出场顺序要求两名男歌唱家之间恰有一名女歌唱家,那么出场方案共有种。
解析:按要求出场顺序中必须有一个小集团"男—女—男",因此先在四名女歌唱家中选一名与两名男歌唱家组成一个小集团,将这个小集团视为一个元素,它与其余三名女歌唱家排列有A(4,4)种排法,所以共有
A(4,4)*C(4,1)*A(2,2)=192(种)
综上所述，排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。
参考文献：
[1]祖晶晶.探讨有效教学策略在高中数学课堂的实践[J].才智,2009, (34).
[2]陈淼.高中数学学习方法探讨[J].中国校外教育,2009,(S4).
[3]俞求是.高中数学课程标准实验问题研究[J].教育学报,2009,(06).
[关键词] 初等数学 排列组合 解题策略
排列组合是初等数学教学内容的一个重要组成部分，但由于排列组合极具抽象性，使之成为高数学课本中“教”与“学”的难点。加之，学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制，所以在解题中经常出现错误。下面，我将结合自己的教学实践，来谈谈初等数学排列组合问题的解题策略。
一、排列组合问题的易错原因分析
（一）排列与组合没有分清
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合。
例如，有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法。
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：=56排法。
（二）重复与遗漏
1.重复计算
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例如，5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选A.
错因分析：设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况。这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次。
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人，第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有种方法.由乘法原理，共有=240种方法，故选B。
例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：=1260，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了。
正解：种.
2.遗漏计算
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例如，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如下图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有种排法，共有=36个.
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数。
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有=36个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.
（三）忽视题设条件
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解。
例如，如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有=12种，由乘法原理共有：4×12=48种.
错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务。
正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2種着色方法，由乘法原理有=24种，综上共有：48+24=72种。
例如，已知ax2-b=0是关于的一元二次方程，其中a、，求解集不同的一元二次方程的个数。
误解：从集合中任意取两个元素作为a、b，方程有个，当a、b取同一个数时方程有1个，共有=13个。
错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于同解、同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有13-2=11个解集不同的一元二次方程.
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错。
例如，现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210-1=1023种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况。
正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有29×3-1=1535种。
二、排列组合问题的解题策略
（一）特殊元素和特殊位置优先策略
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A. 24个B.30个 C.40个 D.60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有12 个，2）0不排在末尾时，则有6个，3)无0的情况,有12个,由分类计数原理，共有偶数 =30个，选B。
（二）相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
例题:有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本，若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( ?)种，(结果用数值表示)
解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A(5,5)种排法；
又3本数学书有A(3,3)种排法，2本外语书有A(2,2)种排法；
根据分步计数原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(种)
（三）不相邻问题插空策略
插空法解答有关元素不相邻问题非常方便,先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
1. 数字问题
例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有A(3,3) 种排法，然后再将1，2插入四个空位共有A(4,2)种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有A(3,3)*A(4,2)=72
2. 节目单问题
例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有7 种方法；再用另一个节目去插八个空位有8 种方法；用最后一个节目去插九个空位有9 种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为:7*8*9=504种 。
3. 关灯问题
例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有C(7,3) 種方法，因此所有不同的关灯方法为C(7,3)=35 种。
4. 停车问题
例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有A(8,8)种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C(9,1 )种方法。所以共有A(8,8)*C(9,1)种方法。
5. 座位问题
例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A(3,3) 种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A(4,1 )种，所以每个人左右两边都空位的排法有A(3,3)*A(4,1)=24 种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A(4,3) 种。
（四）定序问题除法处理的策略
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总排列数去除以这几个元素的全排列数。
例1：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
解法1：1－9，组成5位数有A(9,5),假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的A(3,3)-1个顺序，都有X种排法。则X*(A(3,3)-1+1)=A(9,5),即X=A(9,5) / A(3,3)。
解法2：分步。第一步，选前两位，有A(9,2)种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C(7,3)种。即后三位有C(7,3)种可能性。则答案为 A(9,2)* C(7,3)。
例2:6个人排队,甲站乙的左边
A（6，6）是6个人排列，=720。甲乙两人是对等关系，谁在谁左边概率都一样，因此，720/2=360。
（五）小集团排列问题中先整体后局部的策略
对于小集团排列问题,可先将小集团看作一个元素与其余元素排列,最后再进行小集团内部的排列。
例、两名男歌唱家和四名女歌唱家联合举行一场音乐晚会,演出的出场顺序要求两名男歌唱家之间恰有一名女歌唱家,那么出场方案共有种。
解析:按要求出场顺序中必须有一个小集团"男—女—男",因此先在四名女歌唱家中选一名与两名男歌唱家组成一个小集团,将这个小集团视为一个元素,它与其余三名女歌唱家排列有A(4,4)种排法,所以共有
A(4,4)*C(4,1)*A(2,2)=192(种)
综上所述，排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。
参考文献：
[1]祖晶晶.探讨有效教学策略在高中数学课堂的实践[J].才智,2009, (34).
[2]陈淼.高中数学学习方法探讨[J].中国校外教育,2009,(S4).
[3]俞求是.高中数学课程标准实验问题研究[J].教育学报,2009,(06).