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初学平面几何的同学,普遍认为平面几何入门难。这主要是由于刚学平面几何时没有掌握平面几何的特点,没有发现学习平面几何的规律。其实,如果在学习平面几何的初始阶段就能过好下列“五关”,那么学好平面几何并不是件难事。
一、过好“概念关”
众所周知,学好英语的前提是要掌握大量的词汇。同样,学好几何也需要掌握大量的“几何词汇”,即几何概念。面对既抽象又众多的几何概念,许多学生常常望而生畏。可以说,几何概念就好像是一只“拦路虎”,动摇着很多学生学好几何的信心。那么,如何才能顺利地过好“概念关”呢?
首先,除了要花一定的时间对概念进行熟悉、记忆外,关键还在于理解。理解能够帮助记忆,机械的记忆是不牢固的。对于有些相近的概念,我们可以采取比较的方法加以记忆。例如:对于“直线、射线、线段”这三个概念,根据“直线没有起始点,也没有终点”“射线有一个起始点,没有终点”“线段有一个起始点,也有一个终点”这一特点,可以概括为“直线无始无终”“射线有始无终”“线段有始有终”三句话(见表1),经过一对比,抽象的概念变得生动形象了,记住它也就不难了。表1:
其次,学习概念的时候要咬文嚼字。如:“过两点有且只有一条直线”,这条公理中的“有”说明了直线的“存在”性,即意味着可能有一条直线,也可能有两条或多条直线,而“只有”则表示了直线的“唯一”性,即只存在一条直线。
第三,由于所有的几何概念都离不开几何图形,所以在学习几何概念时,一定要结合相关的图形来记忆。例如,对顶角指的是两条相交直线构成的角,而非有公共顶点的角。像图甲中的∠AOB与∠COD是一对对顶角,而图乙和图丙中的∠AOB与∠COD就都不是对顶角关系。
二、过好“识图关”
所谓“识图”,简单地说,就是指认识图形。我们来看下面的例子。
例1:如图1,线段AB上有两点C、D,指出图中共有多少条线段?
粗心的同学马上回答:有条3线段,它们是AC、CD、DB。错误的原因是没注意到线段间的重叠现象,造成了遗漏。也有同学居然找到了10多条线段,仔细地观察一下,发现里面有重复计算的线段。如果我们按从左到右的顺序去找线段,即分别以A、C、D为线段的左端点,就可以很快地找到6条线段(它们是:AC、AD、AB、CD、CB、DB),这样找出来的线段就既不会重复,也不会遗漏。
例2:请指出图2中的同位角和内错角。
有的同学一看图,懵了,这个图里明明只有三角形的内角与外角,哪有同位角和内错角?
如果说有这种想法的学生不知道同位角和内错角,那是冤枉了他们。假如让他们找图3中的同位角和内错角,肯定行。
只认得标准位置的图形,图形变化了,复杂了,就认不出来了,这是初学平几时,常有的事情。从上面的例子可以看到,加强识图的训练,是初学平几必不可少的内容。
三、过好“画图关”
“画图”是指用“图形语言”来表示“几何语句”。画图和识图一样,是必须掌握的基本技能。能否正确、快捷地识图和画图将影响到整个平面几何的学习。
例3:如图4,A、B是公路l两旁的村庄,要在公路上建一汽车站P,要使车站到A、B两村的距离和最小,请在图上标出P点。
分析:连结AB,显然,线段AB上的任一点到两端点的距离和等于线段AB的长,线段AB外的任一点到两端点的距离和均大于线段AB的长,故只要在l上找一点,它在线段AB上。而这一点就是线段AB与直线l的交点。
例4:如图5,平行四边形内有一圆,请你画一直线,同时将圆和平行四边形的周长二等分(保留画图痕迹)。
分析:圆和平行四边形都是中心对称图形,过对称中心的任一直线把中心对称图形分成全等的两部分,自然平分其周长。而圆的对称中心是圆心,平行四边形的对称中心是两条对角线的交点,因此,先作出平行四边形的对称中心,再和圆心相连,所得直线即为所求直线。
四、过好“表达关”
几何是一门逻辑性很强的学科,它具有高度的严密性。初学平几一定要在语言上下工夫,具体说来,要注意以下几个问题。
一是要会“说话”。即:会用几何语言表达某个几何事实,尤其要会灵活运用等价语言。
如图6,既可以说P是直线l上的点,也可以说直线l过点P;如图7,可叙述为P是线段MN的中点,也可以叙述为MP=NP或MP =MN。
二是要会“书写”。书写时要做到条理清楚、用语规范、文字通顺。要熟练地掌握一些常用几何术语的用法。如:“取”“作”“连结”“截取”“延长××到×点,使××=××”等等。
三是要会“翻译”。即:要熟练掌握几何文字语言、图形语言、符号语言之间互译的技能。现以表2为例,说明同一个几何问题,可用不同的语言来表述:表2
五、过好“推理关”
初学平几的同学常有这样的困惑:为什么自己已经理解且记住了大量的几何概念和定理,而拿到证明题却还经常做不出?
我认为,造成这种现象的主要原因是:学生还没有掌握证题的一般思路,还没有学会推理。推理就好像是解题的钥匙,至关重要。常见的推理包括“合情推理”和“演绎推理”。推理时要做到:因果对应,言必有据。提高推理能力的有效途径是:多训练、多比较、多思考。在解题时,要特别注意:运用概念或定理切忌生搬硬套、固执己见,要摆脱思维定势,灵活善变。下面这个例子颇能说明这一点。
例5:如图8,四边形ABCD中,AD=AB,∠B=∠D,求证:BC=CD。
分析:观察图形,考虑连结AC,欲证⊿ADC≌⊿ABC,由于已知的三个条件是“边边角”关系,故无法证得结论,解题思路受阻。现放弃证明全等的思路,考虑连结BD,由AD=AB可得∠ABD=∠ADB,又因为∠B=∠D,所以∠CBD=∠CDB,从而BC=CD。
综上所述,平面几何入门要讲究方法,要及早闯过以上“五关”;同时要培养兴趣,积极探索,持之以恒。若能这样就会逐渐发现解题的规律,就可以左右逢源,实现快捷地解题。
一、过好“概念关”
众所周知,学好英语的前提是要掌握大量的词汇。同样,学好几何也需要掌握大量的“几何词汇”,即几何概念。面对既抽象又众多的几何概念,许多学生常常望而生畏。可以说,几何概念就好像是一只“拦路虎”,动摇着很多学生学好几何的信心。那么,如何才能顺利地过好“概念关”呢?
首先,除了要花一定的时间对概念进行熟悉、记忆外,关键还在于理解。理解能够帮助记忆,机械的记忆是不牢固的。对于有些相近的概念,我们可以采取比较的方法加以记忆。例如:对于“直线、射线、线段”这三个概念,根据“直线没有起始点,也没有终点”“射线有一个起始点,没有终点”“线段有一个起始点,也有一个终点”这一特点,可以概括为“直线无始无终”“射线有始无终”“线段有始有终”三句话(见表1),经过一对比,抽象的概念变得生动形象了,记住它也就不难了。表1:
其次,学习概念的时候要咬文嚼字。如:“过两点有且只有一条直线”,这条公理中的“有”说明了直线的“存在”性,即意味着可能有一条直线,也可能有两条或多条直线,而“只有”则表示了直线的“唯一”性,即只存在一条直线。
第三,由于所有的几何概念都离不开几何图形,所以在学习几何概念时,一定要结合相关的图形来记忆。例如,对顶角指的是两条相交直线构成的角,而非有公共顶点的角。像图甲中的∠AOB与∠COD是一对对顶角,而图乙和图丙中的∠AOB与∠COD就都不是对顶角关系。
二、过好“识图关”
所谓“识图”,简单地说,就是指认识图形。我们来看下面的例子。
例1:如图1,线段AB上有两点C、D,指出图中共有多少条线段?
粗心的同学马上回答:有条3线段,它们是AC、CD、DB。错误的原因是没注意到线段间的重叠现象,造成了遗漏。也有同学居然找到了10多条线段,仔细地观察一下,发现里面有重复计算的线段。如果我们按从左到右的顺序去找线段,即分别以A、C、D为线段的左端点,就可以很快地找到6条线段(它们是:AC、AD、AB、CD、CB、DB),这样找出来的线段就既不会重复,也不会遗漏。
例2:请指出图2中的同位角和内错角。
有的同学一看图,懵了,这个图里明明只有三角形的内角与外角,哪有同位角和内错角?
如果说有这种想法的学生不知道同位角和内错角,那是冤枉了他们。假如让他们找图3中的同位角和内错角,肯定行。
只认得标准位置的图形,图形变化了,复杂了,就认不出来了,这是初学平几时,常有的事情。从上面的例子可以看到,加强识图的训练,是初学平几必不可少的内容。
三、过好“画图关”
“画图”是指用“图形语言”来表示“几何语句”。画图和识图一样,是必须掌握的基本技能。能否正确、快捷地识图和画图将影响到整个平面几何的学习。
例3:如图4,A、B是公路l两旁的村庄,要在公路上建一汽车站P,要使车站到A、B两村的距离和最小,请在图上标出P点。
分析:连结AB,显然,线段AB上的任一点到两端点的距离和等于线段AB的长,线段AB外的任一点到两端点的距离和均大于线段AB的长,故只要在l上找一点,它在线段AB上。而这一点就是线段AB与直线l的交点。
例4:如图5,平行四边形内有一圆,请你画一直线,同时将圆和平行四边形的周长二等分(保留画图痕迹)。
分析:圆和平行四边形都是中心对称图形,过对称中心的任一直线把中心对称图形分成全等的两部分,自然平分其周长。而圆的对称中心是圆心,平行四边形的对称中心是两条对角线的交点,因此,先作出平行四边形的对称中心,再和圆心相连,所得直线即为所求直线。
四、过好“表达关”
几何是一门逻辑性很强的学科,它具有高度的严密性。初学平几一定要在语言上下工夫,具体说来,要注意以下几个问题。
一是要会“说话”。即:会用几何语言表达某个几何事实,尤其要会灵活运用等价语言。
如图6,既可以说P是直线l上的点,也可以说直线l过点P;如图7,可叙述为P是线段MN的中点,也可以叙述为MP=NP或MP =MN。
二是要会“书写”。书写时要做到条理清楚、用语规范、文字通顺。要熟练地掌握一些常用几何术语的用法。如:“取”“作”“连结”“截取”“延长××到×点,使××=××”等等。
三是要会“翻译”。即:要熟练掌握几何文字语言、图形语言、符号语言之间互译的技能。现以表2为例,说明同一个几何问题,可用不同的语言来表述:表2
五、过好“推理关”
初学平几的同学常有这样的困惑:为什么自己已经理解且记住了大量的几何概念和定理,而拿到证明题却还经常做不出?
我认为,造成这种现象的主要原因是:学生还没有掌握证题的一般思路,还没有学会推理。推理就好像是解题的钥匙,至关重要。常见的推理包括“合情推理”和“演绎推理”。推理时要做到:因果对应,言必有据。提高推理能力的有效途径是:多训练、多比较、多思考。在解题时,要特别注意:运用概念或定理切忌生搬硬套、固执己见,要摆脱思维定势,灵活善变。下面这个例子颇能说明这一点。
例5:如图8,四边形ABCD中,AD=AB,∠B=∠D,求证:BC=CD。
分析:观察图形,考虑连结AC,欲证⊿ADC≌⊿ABC,由于已知的三个条件是“边边角”关系,故无法证得结论,解题思路受阻。现放弃证明全等的思路,考虑连结BD,由AD=AB可得∠ABD=∠ADB,又因为∠B=∠D,所以∠CBD=∠CDB,从而BC=CD。
综上所述,平面几何入门要讲究方法,要及早闯过以上“五关”;同时要培养兴趣,积极探索,持之以恒。若能这样就会逐渐发现解题的规律,就可以左右逢源,实现快捷地解题。