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【摘要】教师在实际教学中，掌握分数的理论基础、厘清分数的知识脉络、把握分数的建构特点，让学生在体验中感悟，在行动中思考，突出共同点、关注生长点，有助于精准建立分数概念.
【关键词】小学教育;分数教学;理论基础;建构特点;教学策略
分数知识历来是我国小学阶段重要的数学教学内容.分数无论在意义、读写方法，还是在计数单位与计算法则上，均与整数有很大的差别，加之学生在生活中接触分数较少，经验储备不足，所以分数概念的理解及应用是小学生数学学习的一大难点.教师在教学实践中，精准把握分数知识的理论基础与建构特点，是教学设计及有效实施教学的基本保障.
一、分数知识的理论基础
分数的使用历史相当久远.据现藏于大英博物馆的草纸手卷《林德数学手卷》和藏于莫斯科艺术博物馆的羊皮手卷《莫斯科数学手卷》记载，公元前1890年左右，古埃及人已经有了初步的分数观念，但仅局限于“单分数”，即分子为1的分数.关于分数较为完整、较有系统的知识记载，则首见于世界公认的我国古算名著《九章算术》，在其第一章“方田”中，分数加减乘除的筹算方法叙述得相当清楚.因此，从现有的数学发展史料可知，分数的基本理论是在我国首先建立的.
1.分数的产生
测量时，当度量单位B不能若干次恰好量尽量A时，如何表示度量的结果？ 均分中，把一整块东西等分为若干份后，如何用数字表达其中的1份？但历史证明，仅由生活中的实际需求来推动，知识的形成十分缓慢;若按逻辑系统来学习数学，情况就大不一样了.因此，从数学理论上说，分数的产生是为了解决整数运算中的“不足”，即任意两个整数的乘积仍存在于整数范围内，但是任意两个整数相除，并且无余数的商数，在整数范围内就未必存在了.而解决“不足”的方法就是扩张数的范围，产生新数.于是，人类对数的认知由整数扩展至分数.
分数符号的书写格式经历了漫长的演变过程，包含着中国元素.7世纪以后，承袭中国的筹算法，印度数学将分数表示为“写分母于分子之下”.之后，阿拉伯人表示分数时，在分子和分母之间添上一条横线.直至15世纪，随着阿拉伯算术的流行，世界各地算术里分数的表示及运算法则才日趋统一.
2.分数的理论
根据小学数学中分数的意义、分数的性质、分数的四则运算等相关内容，分数理论可以由下面6个定义和6个定理构成.
这样，我们就建立了与小学数学的“分数知识”相对应的“分数理论”，严格来说是建立了非负分数的理论，使除法从原来在非负整数集合内不能封闭，变为在非负分数集合内封闭.运算的封闭就是指运算结果唯一存在.分数除法定义中，规定“0”不能当除数.依据除法是乘法的逆运算可以证明，当除数为0，而被除数不为0时，商的存在性被破坏;当除数为0，而被除数也为0时，商的唯一性被破坏.
3.分数的定义与含义
数学具有抽象性，分数理论是一个抽象的框架.按照分数的定义与补充定义，我们把形如mn （m和n都是自然数，且n≠0）的数叫作分数.此定义形式化的表述不涉及分数的具体意义，显然不符合小学生的认知水平.我们需要挖掘分数概念及有关知识在形成过程中的实际背景，让学生经历内部建构的过程.这并非去重复前人的探索过程，关注分数在形成过程中包含的认知规律，将会为小学生学习分数知识提供适切的“脚手架”.
在测量中，不满一个单位量的量A，如何用数值表示？我们可以把度量单位B分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量A，如果量了m次恰好量尽，那么A就含有把B分成n等份后的m份，度量结果用分数mn表示.因此，分数mn在度量中的实际含义是“把单位‘1’平均分成n份，表示这样m份的数”.在均分的实际背景中，分数mn可以表示两个整数相除的结果：m÷n=mn，所以分数mn还有另一种含义，即把m个单位平均分成n份，表示这样的一份的数.《几何原本》第5章定义5.3指出，两个同类量彼此之间一种大小关系叫作比，于是，分数mn的又一实际含义为分数比率意义，可以表示两数的比值，即m∶n=mn.教师在小学数学教学实践中，必须充分发挥这些分数的实际含义在分数学习中的引领作用.
二、分数知识的建构特点
分数教学内容的选取和安排既要符合小学生的认知规律，又要遵循数学本身的逻辑顺序.为此，分数知识的教学不能与分数理论揭示的逻辑相矛盾.
1.厘清分数的知识脉络
小学阶段分数教学内容的核心知识点可分为三大模块.首先是“分数概念”的建立.基于分数在测量与均分中实际含义的引领，在理解“平均分”“单位1”“分数单位”的基础上逐步认识分数;通过结合具体情境比较分子是1、分母相同的简单分数的大小，进一步理解分数中分子与分母的含义;掌握分数的分类，认识真分数、假分数和带分数;学习百分数，理解分数的比率意义，拓展对分数概念的认识.其次是以“分数的基本性质”为核心，展开分数的大小比较和四则运算.教师在以“分数意义”为主，以“分数与除法的关系”为辅，明暗两条线索交汇揭示出分数基本性质的基础上，引入通分、约分、最简分数、倒数等概念，进行分数的大小比较、加减乘除运算法则、混合运算、运算律的教学.最后是分数的实际应用，主要体现在如下几类问题中：求一个数的几分之几是多少;求一个数是另一个数的几分之几;求一个数比另一个数多（少）几分之几;已知一个数的几分之几是多少，求这个数.
2.剖析分数的认知特点
按数系扩张理论，先要有整数，才能引进分数概念，所以分数的教学一定是放在整数的教学之后.综观多国数学课程标准中分数教学内容的认定与编排顺序，我们可以发现：（1）分数概念的建构过程是一个认识不断深化的过程，需要分段教学.（2）分数孕育于计量之中，从直观理解12和14等简单分数入手，突出对分数实际意义的认识.（3）分数教学无法一味地提前，学生要到一定的年龄才能理解分数的实际意义，较完整地认识分数均在小学中高年级.（4）把单位“1”作为生长点，分阶段建立分数概念是我国分数教学的特色.
三、分数知识的教学建议
1.凸显共同点，重视分数单位的教学
依据数系扩张理论，我们可以把整数看成特殊的分数.因此，分数同样既能表示实际事物量的绝对大小，也能表示实际事物量的相对大小，即具有“量”与“分率”的双重性.自然数的计数单位是“1”，任何自然数都是由若干个1组成的.分数把计数单位向小于1的方向扩展，且不再恒定.但同样，任何分数都是由若干个分数单位组成的.分数的大小比较与四则运算法则基于整数的计数基本原理，相同计算单位量的叠加与比较.所以，很多民族在认识分数时都是先认识“分数单位”（史料上称作“单分数”）.由此可知，分数单位在分数概念教学中具有重要地位.
2.聚焦生长点，夯实对单位“1”的理解
“单位1”是一个重要而又神秘的概念，有时具体，有时抽象，学生是否能灵活地使用它，就反映出了他们对分数的理解程度.我们在比较分数（抽象的）大小及进行分数运算时，都是在一致的单位“1”之下进行的，但从不去追究这个抽象的单位“1”到底有多大.因此，对单位“1”的理解是一个早期蕴伏、长期渗透、逐步建构的过程.
3.用好联结点，發挥各知识间的关联转换作用
认识分数是小学生对数系扩张的首次体验.探索数学各知识间的联系，串联成线，形成体系，是学习数学的本质.分数源于人类计量活动经验，既是运算的过程，又是运算的结果，是直观经验与理论构建的桥梁.抓住分数、除法、比之间的内在关联，搞清“单位1”、对应分率、对应量间的关系，重视分数与小数、整数间的转换，是掌握分数、学好数学的有效举措.
坚持和发扬我国在分数教学中的经验和优良传统，有助于提高教学质量.
【参考文献】
[1]刘京莉，王倩，李佳，张亚婷.多元表征视域下揭示数学运算本质[J].中小学教师培训，2017（7）：63-66.
[2]殷显华.理论算术 [M].南京：南京大学出版社，1990.
[3]曹一鸣.十三国数学课程标准评介（小学、初中卷）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
【关键词】小学教育;分数教学;理论基础;建构特点;教学策略
分数知识历来是我国小学阶段重要的数学教学内容.分数无论在意义、读写方法，还是在计数单位与计算法则上，均与整数有很大的差别，加之学生在生活中接触分数较少，经验储备不足，所以分数概念的理解及应用是小学生数学学习的一大难点.教师在教学实践中，精准把握分数知识的理论基础与建构特点，是教学设计及有效实施教学的基本保障.
一、分数知识的理论基础
分数的使用历史相当久远.据现藏于大英博物馆的草纸手卷《林德数学手卷》和藏于莫斯科艺术博物馆的羊皮手卷《莫斯科数学手卷》记载，公元前1890年左右，古埃及人已经有了初步的分数观念，但仅局限于“单分数”，即分子为1的分数.关于分数较为完整、较有系统的知识记载，则首见于世界公认的我国古算名著《九章算术》，在其第一章“方田”中，分数加减乘除的筹算方法叙述得相当清楚.因此，从现有的数学发展史料可知，分数的基本理论是在我国首先建立的.
1.分数的产生
测量时，当度量单位B不能若干次恰好量尽量A时，如何表示度量的结果？ 均分中，把一整块东西等分为若干份后，如何用数字表达其中的1份？但历史证明，仅由生活中的实际需求来推动，知识的形成十分缓慢;若按逻辑系统来学习数学，情况就大不一样了.因此，从数学理论上说，分数的产生是为了解决整数运算中的“不足”，即任意两个整数的乘积仍存在于整数范围内，但是任意两个整数相除，并且无余数的商数，在整数范围内就未必存在了.而解决“不足”的方法就是扩张数的范围，产生新数.于是，人类对数的认知由整数扩展至分数.
分数符号的书写格式经历了漫长的演变过程，包含着中国元素.7世纪以后，承袭中国的筹算法，印度数学将分数表示为“写分母于分子之下”.之后，阿拉伯人表示分数时，在分子和分母之间添上一条横线.直至15世纪，随着阿拉伯算术的流行，世界各地算术里分数的表示及运算法则才日趋统一.
2.分数的理论
根据小学数学中分数的意义、分数的性质、分数的四则运算等相关内容，分数理论可以由下面6个定义和6个定理构成.
这样，我们就建立了与小学数学的“分数知识”相对应的“分数理论”，严格来说是建立了非负分数的理论，使除法从原来在非负整数集合内不能封闭，变为在非负分数集合内封闭.运算的封闭就是指运算结果唯一存在.分数除法定义中，规定“0”不能当除数.依据除法是乘法的逆运算可以证明，当除数为0，而被除数不为0时，商的存在性被破坏;当除数为0，而被除数也为0时，商的唯一性被破坏.
3.分数的定义与含义
数学具有抽象性，分数理论是一个抽象的框架.按照分数的定义与补充定义，我们把形如mn （m和n都是自然数，且n≠0）的数叫作分数.此定义形式化的表述不涉及分数的具体意义，显然不符合小学生的认知水平.我们需要挖掘分数概念及有关知识在形成过程中的实际背景，让学生经历内部建构的过程.这并非去重复前人的探索过程，关注分数在形成过程中包含的认知规律，将会为小学生学习分数知识提供适切的“脚手架”.
在测量中，不满一个单位量的量A，如何用数值表示？我们可以把度量单位B分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量A，如果量了m次恰好量尽，那么A就含有把B分成n等份后的m份，度量结果用分数mn表示.因此，分数mn在度量中的实际含义是“把单位‘1’平均分成n份，表示这样m份的数”.在均分的实际背景中，分数mn可以表示两个整数相除的结果：m÷n=mn，所以分数mn还有另一种含义，即把m个单位平均分成n份，表示这样的一份的数.《几何原本》第5章定义5.3指出，两个同类量彼此之间一种大小关系叫作比，于是，分数mn的又一实际含义为分数比率意义，可以表示两数的比值，即m∶n=mn.教师在小学数学教学实践中，必须充分发挥这些分数的实际含义在分数学习中的引领作用.
二、分数知识的建构特点
分数教学内容的选取和安排既要符合小学生的认知规律，又要遵循数学本身的逻辑顺序.为此，分数知识的教学不能与分数理论揭示的逻辑相矛盾.
1.厘清分数的知识脉络
小学阶段分数教学内容的核心知识点可分为三大模块.首先是“分数概念”的建立.基于分数在测量与均分中实际含义的引领，在理解“平均分”“单位1”“分数单位”的基础上逐步认识分数;通过结合具体情境比较分子是1、分母相同的简单分数的大小，进一步理解分数中分子与分母的含义;掌握分数的分类，认识真分数、假分数和带分数;学习百分数，理解分数的比率意义，拓展对分数概念的认识.其次是以“分数的基本性质”为核心，展开分数的大小比较和四则运算.教师在以“分数意义”为主，以“分数与除法的关系”为辅，明暗两条线索交汇揭示出分数基本性质的基础上，引入通分、约分、最简分数、倒数等概念，进行分数的大小比较、加减乘除运算法则、混合运算、运算律的教学.最后是分数的实际应用，主要体现在如下几类问题中：求一个数的几分之几是多少;求一个数是另一个数的几分之几;求一个数比另一个数多（少）几分之几;已知一个数的几分之几是多少，求这个数.
2.剖析分数的认知特点
按数系扩张理论，先要有整数，才能引进分数概念，所以分数的教学一定是放在整数的教学之后.综观多国数学课程标准中分数教学内容的认定与编排顺序，我们可以发现：（1）分数概念的建构过程是一个认识不断深化的过程，需要分段教学.（2）分数孕育于计量之中，从直观理解12和14等简单分数入手，突出对分数实际意义的认识.（3）分数教学无法一味地提前，学生要到一定的年龄才能理解分数的实际意义，较完整地认识分数均在小学中高年级.（4）把单位“1”作为生长点，分阶段建立分数概念是我国分数教学的特色.
三、分数知识的教学建议
1.凸显共同点，重视分数单位的教学
依据数系扩张理论，我们可以把整数看成特殊的分数.因此，分数同样既能表示实际事物量的绝对大小，也能表示实际事物量的相对大小，即具有“量”与“分率”的双重性.自然数的计数单位是“1”，任何自然数都是由若干个1组成的.分数把计数单位向小于1的方向扩展，且不再恒定.但同样，任何分数都是由若干个分数单位组成的.分数的大小比较与四则运算法则基于整数的计数基本原理，相同计算单位量的叠加与比较.所以，很多民族在认识分数时都是先认识“分数单位”（史料上称作“单分数”）.由此可知，分数单位在分数概念教学中具有重要地位.
2.聚焦生长点，夯实对单位“1”的理解
“单位1”是一个重要而又神秘的概念，有时具体，有时抽象，学生是否能灵活地使用它，就反映出了他们对分数的理解程度.我们在比较分数（抽象的）大小及进行分数运算时，都是在一致的单位“1”之下进行的，但从不去追究这个抽象的单位“1”到底有多大.因此，对单位“1”的理解是一个早期蕴伏、长期渗透、逐步建构的过程.
3.用好联结点，發挥各知识间的关联转换作用
认识分数是小学生对数系扩张的首次体验.探索数学各知识间的联系，串联成线，形成体系，是学习数学的本质.分数源于人类计量活动经验，既是运算的过程，又是运算的结果，是直观经验与理论构建的桥梁.抓住分数、除法、比之间的内在关联，搞清“单位1”、对应分率、对应量间的关系，重视分数与小数、整数间的转换，是掌握分数、学好数学的有效举措.
坚持和发扬我国在分数教学中的经验和优良传统，有助于提高教学质量.
【参考文献】
[1]刘京莉，王倩，李佳，张亚婷.多元表征视域下揭示数学运算本质[J].中小学教师培训，2017（7）：63-66.
[2]殷显华.理论算术 [M].南京：南京大学出版社，1990.
[3]曹一鸣.十三国数学课程标准评介（小学、初中卷）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.