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笔者有幸聆听了全国著名特级教师李庾南老师的“因式分解”这节课,可以说品味了跨越时空的一次课堂盛宴,让我再次惊慕李老师的大手笔。“淡中知真味,常里识英奇”,李老师在看似平淡的课堂上,演绎了一段精彩的学习之旅,引领了新课程理念下数学课堂的价值走向。其整合之力、设计之巧、引导之妙、选题之当、爱生之深在李老师的课堂中流淌出来,宛若玉浆琼液,透着芳香。本文撷取李老师这节课的两个教学片段进行赏析,与众同仁交流。
铺设温床,孕育新知
师:现在我请同学们计算,并且进行比赛,看谁完成的速度最快?
(多媒体展示)计算:
1. (x+y+1)2-x(x+y+1)-y(x+y+1);
2.(x+1)2-2(x+1)+1;
3.(a+b+c)2-(a-b-c)2。
(生开始计算,师巡视)
师:好,现在有同学做好了,下面请这位同学说说他怎么算的?
生1:我把每一个因式里的相同因式“x+y+1”都提出来。
师(打断后追问):是每一个因式还是每一项?
生1:每一项。
师:好!他发现每一项都有一个因式“x+y+1”,所以他就把它提出来了,提出来后的另外一个因式是什么?
生1:是“x+y+1-x-y”。
师:计算的结果等于多少?
生1:x+y+1。
师:你这样做的依据是什么?
生1:乘法分配律的逆应用。
师:你把它逆过来用了。谁还记得乘法分配律怎样用式子表示?
生2:m(a+b+c)=ma+mb+mc。
师:正确,你把分配律反过来用,该怎样表示?
生2:ma+mb+mc=m(a+b+c)。
师:由于把分配律反过来用了,所以就使得运算速度变快了。
师(讲解):我看有些同学不是这么做的,他们把(x+y+1)2看成x+y+1乘x+y+1的积,有些同学先把积化成了和,再把后面的做乘法,最后做加法,可这样一来,做的速度就慢了,是不是?
由此可见,有时候计算,我不先求积,我把积化成了和,然后再来计算。有的时候,我们不先求和而是先把和化成积,这两种互逆的运用,要根据具体的情况来选用。那第2题,除了刚才那位同学,谁还做好了?
生3:它就等于x加1再减1括号的平方。
师(边重述学生的说法边板书):原式=[(x+1)-1]2,它就等于多少?
生3:x的平方。
师:那你上来讲一讲为什么这样做?
生3(上台):因为我看到这个式子,我感觉它就是完全平方公式乘出来的一个结果,我想把它逆过来用。如果逆过来用的话,那么它就等于[(x+1)-1]2。
…………
师:由于他认真地观察式子的特点,发现是一个完全平方式,他就反回来用了,就使得运算简便、迅速,很快就得到结果,那第3题呢?
…………
师:由于我们的同学巧妙地把运算法则或者公式反过来用,反过来用和正着用,观察一下有什么不同?
…………
师:我们运算时,有的时候先求积再求和比较方便,可有的时候根据算式的特点,比如说,第一题可看作是三项的和,我们不先求和,而是先把和化成积,就使得运算简单。正因此,所以我们不仅要研究积如何化成和,我们还要反过来研究特殊的和怎样化成积,把和化成积。这种变形叫因式分解。这就是我们今天要研究的课题!(板书:因式分解)
师:我们研究一个新的概念的时候,首先该研究什么?
生:定义。
…………
师(对照板书慢速讲解并强调要点):把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,或者叫分解因式。变形前是多项式,变形后是整式的积!
李老师创设的教学情景并非脱胎于实际问题,而是以3道特殊计算题为载体,烘托出看谁算得又对又快的比赛情境。通过生1、生2、生3等算得快的同学自我阐释,暴露各自思维的轨迹,揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或运算律,让学生感知计算时用简便方法能更快更好地获得答案,从而激发起好奇心、求知欲。这能让学生先初步产生“分解因式”的印象,进而感悟“因式分解”是“和化积”与“整式乘法”是“积化和”的互逆过程。而这当中的每一道题都有其不同的目的和功能,通过计算的体验和正反对比,对生成概念、提炼概念、完善概念,都起到了积极的促进作用。这种基于数学的内部发展迸发出的力量,有效地调动了学生参与的积极性,在一种自然而然中,新的知识在李老师搭建的温床上孵化出来,没有丝毫的生拖硬拽。
多维对话,以知孕情
分解因式:
1.3a3b-12ab3 ;
2.(p-q)2-2(q-p) ;
3.(a2+b2)2-4a2b2。
(师安排学生板演)
师:三个题目做好了就小组交流:每个题怎么分解因式?方法是不是只有一个?
(5分钟后,小组交流、讨论)
师:好,同学们看黑板,第1题,做到3ab(a2-4b2)这个结果的请举手。
(生大部分举手,少部分没举)
师:大部分同学是这个结果,不是这个结果的同学上台讲一讲自己怎么做的?
生:我看到a2-4b2是一个平方差,它还可以化为(a+2b)(a-2b)。
师:不同的意见很正常,大家注意了,因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式,大家一直认为,3a3b-12ab3有公因式3ab,提出后的另一因式为(a2-4b2),a2-4b2还能分解,要分解到不能再分解为止。 再看第2题(面对板演):这个同学把(p-q)2变成了(q-p)2,哪个同学做的,你说一下你为什么这样做?
生:因为(p-q)与(q-p)互为相反数,我们知道互为相反数的平方是相等的。
师:对,回答得很好,互为相反数的平方相等,因此,取(p-q)为公因式呢?还是取(q-p)为公因式?方便的方法是变化有平方的;若取(p-q)为公因式,心算一下另一个因式是什么?
生:(p-q+2)。
师:这样两个式子不就不同了吗?不过我们做的时候,应该采用简化运算。是这样做的举手。
(生大多数举手)
师:还不错,我们看第3个题目,我发现有的同学不是这么做的,谁做的这个题目?上来讲一讲。
生:第二项可以化成“2ab”的平方,这样就可逆用平方差公式,得(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab),这一个括号里是完全平方式,就可化成(a+b)2,后边也同样化成了(a-b)2。
师:这里(a+b)2是一个多项式,是不是可以继续化简了——不可以;这里的(a-b)2也不可以化简了,所以就把它叫作分解完了;可是我看了下面有不少的同学不是这样的结果,不是这个结果的同学请举手。
…………
现代教学论认为:课堂教学除了知识对流的主线外,还有一条情感对流的主线。李老师在这一环节组织了两次大型交流:
一是第三组题目解答5分钟后的小组交流,这是在学生独立思考、独立解题后的基础上展开的。这种基于学生真切体验下的交流,学生已经拥有了交流的素材,每一位同学都会有话可说,交流得更加充分、深入,变大课堂统领为小课堂的格局,为教师的指导增强了针对性。小范围的互助互学、互促互进,为学生的个性发展搭建了优质的平台,在师生、生生的平等对话中,理顺思路,优化认识,在可视化思维的碰撞中,达至心灵的默契。这种厚实的真味课堂是对“没有独立思考就合作交流”等形式化课堂的有力反击,它摆正了学生的主体地位,实现了情与知的融汇。
二是全班交流。在对话中,不时有李老师那亲切的话语:“大家注意了!”“大家听清楚了吗?”“你还有什么问题吗?”,等等,她用欣赏口吻的课堂语言及其透射出的亲和力,营造出温馨的情感场,润泽着学生的心灵,流露出对学生的尊重,能让我们真切感受到学生始终是在一种心理安全、平等交流的氛围中轻松地学习。这种尊重本身就是真切的情感孕育,我们看到,李老师设置的练习环节,不是单纯地要求学生去解题,而是以此为载体,通过追问引领,驱动学生展开丰富的思维活动,实施高级的心智交流,在交流中享受数学带来的苦思冥想和浪漫情趣。
李老师的单元教学法,是基于整体建构下对教材整合的灵活把握,在本节课充分展露。李老师通过三组题目涵盖了所有知识点,承载起对概念、方法、原理的形成过程的研究,只用了一节课把因式分解的全貌勾勒出来,是那样的顺乎自然。这种大胆的尝试,其实对李老师来说是常态的,本堂课彰显出李老师对教材的深刻理解和对课堂的调控能力,可谓是对“不是教教材,而是用教材教”的最好的诠释,是新理念的践行注脚。
本堂课,看似波澜不惊,甚至在有些人眼里实在是平淡,但就在这平淡之中,数学教学的真谛通过课堂的教学活动外化出来。不难发现,两个教学环节中有一个关键词反复出现——逆应用,这个词本身很平凡,岂知这就是本节课的内核,从逻辑关联的角度看,本节课其实没什么新的东西,无非就是把原来的法则反过来用,可就是这么一个反过来即为新知的构建、概念的建构在不经意间落成,看似随意挥洒,实则是李老师的精心策划。 (作者单位:山东省滨州市北镇中学初中部)
责任编辑 周瑜芽
E-mail:jxjyjzyyl@163.com
铺设温床,孕育新知
师:现在我请同学们计算,并且进行比赛,看谁完成的速度最快?
(多媒体展示)计算:
1. (x+y+1)2-x(x+y+1)-y(x+y+1);
2.(x+1)2-2(x+1)+1;
3.(a+b+c)2-(a-b-c)2。
(生开始计算,师巡视)
师:好,现在有同学做好了,下面请这位同学说说他怎么算的?
生1:我把每一个因式里的相同因式“x+y+1”都提出来。
师(打断后追问):是每一个因式还是每一项?
生1:每一项。
师:好!他发现每一项都有一个因式“x+y+1”,所以他就把它提出来了,提出来后的另外一个因式是什么?
生1:是“x+y+1-x-y”。
师:计算的结果等于多少?
生1:x+y+1。
师:你这样做的依据是什么?
生1:乘法分配律的逆应用。
师:你把它逆过来用了。谁还记得乘法分配律怎样用式子表示?
生2:m(a+b+c)=ma+mb+mc。
师:正确,你把分配律反过来用,该怎样表示?
生2:ma+mb+mc=m(a+b+c)。
师:由于把分配律反过来用了,所以就使得运算速度变快了。
师(讲解):我看有些同学不是这么做的,他们把(x+y+1)2看成x+y+1乘x+y+1的积,有些同学先把积化成了和,再把后面的做乘法,最后做加法,可这样一来,做的速度就慢了,是不是?
由此可见,有时候计算,我不先求积,我把积化成了和,然后再来计算。有的时候,我们不先求和而是先把和化成积,这两种互逆的运用,要根据具体的情况来选用。那第2题,除了刚才那位同学,谁还做好了?
生3:它就等于x加1再减1括号的平方。
师(边重述学生的说法边板书):原式=[(x+1)-1]2,它就等于多少?
生3:x的平方。
师:那你上来讲一讲为什么这样做?
生3(上台):因为我看到这个式子,我感觉它就是完全平方公式乘出来的一个结果,我想把它逆过来用。如果逆过来用的话,那么它就等于[(x+1)-1]2。
…………
师:由于他认真地观察式子的特点,发现是一个完全平方式,他就反回来用了,就使得运算简便、迅速,很快就得到结果,那第3题呢?
…………
师:由于我们的同学巧妙地把运算法则或者公式反过来用,反过来用和正着用,观察一下有什么不同?
…………
师:我们运算时,有的时候先求积再求和比较方便,可有的时候根据算式的特点,比如说,第一题可看作是三项的和,我们不先求和,而是先把和化成积,就使得运算简单。正因此,所以我们不仅要研究积如何化成和,我们还要反过来研究特殊的和怎样化成积,把和化成积。这种变形叫因式分解。这就是我们今天要研究的课题!(板书:因式分解)
师:我们研究一个新的概念的时候,首先该研究什么?
生:定义。
…………
师(对照板书慢速讲解并强调要点):把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,或者叫分解因式。变形前是多项式,变形后是整式的积!
李老师创设的教学情景并非脱胎于实际问题,而是以3道特殊计算题为载体,烘托出看谁算得又对又快的比赛情境。通过生1、生2、生3等算得快的同学自我阐释,暴露各自思维的轨迹,揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或运算律,让学生感知计算时用简便方法能更快更好地获得答案,从而激发起好奇心、求知欲。这能让学生先初步产生“分解因式”的印象,进而感悟“因式分解”是“和化积”与“整式乘法”是“积化和”的互逆过程。而这当中的每一道题都有其不同的目的和功能,通过计算的体验和正反对比,对生成概念、提炼概念、完善概念,都起到了积极的促进作用。这种基于数学的内部发展迸发出的力量,有效地调动了学生参与的积极性,在一种自然而然中,新的知识在李老师搭建的温床上孵化出来,没有丝毫的生拖硬拽。
多维对话,以知孕情
分解因式:
1.3a3b-12ab3 ;
2.(p-q)2-2(q-p) ;
3.(a2+b2)2-4a2b2。
(师安排学生板演)
师:三个题目做好了就小组交流:每个题怎么分解因式?方法是不是只有一个?
(5分钟后,小组交流、讨论)
师:好,同学们看黑板,第1题,做到3ab(a2-4b2)这个结果的请举手。
(生大部分举手,少部分没举)
师:大部分同学是这个结果,不是这个结果的同学上台讲一讲自己怎么做的?
生:我看到a2-4b2是一个平方差,它还可以化为(a+2b)(a-2b)。
师:不同的意见很正常,大家注意了,因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式,大家一直认为,3a3b-12ab3有公因式3ab,提出后的另一因式为(a2-4b2),a2-4b2还能分解,要分解到不能再分解为止。 再看第2题(面对板演):这个同学把(p-q)2变成了(q-p)2,哪个同学做的,你说一下你为什么这样做?
生:因为(p-q)与(q-p)互为相反数,我们知道互为相反数的平方是相等的。
师:对,回答得很好,互为相反数的平方相等,因此,取(p-q)为公因式呢?还是取(q-p)为公因式?方便的方法是变化有平方的;若取(p-q)为公因式,心算一下另一个因式是什么?
生:(p-q+2)。
师:这样两个式子不就不同了吗?不过我们做的时候,应该采用简化运算。是这样做的举手。
(生大多数举手)
师:还不错,我们看第3个题目,我发现有的同学不是这么做的,谁做的这个题目?上来讲一讲。
生:第二项可以化成“2ab”的平方,这样就可逆用平方差公式,得(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab),这一个括号里是完全平方式,就可化成(a+b)2,后边也同样化成了(a-b)2。
师:这里(a+b)2是一个多项式,是不是可以继续化简了——不可以;这里的(a-b)2也不可以化简了,所以就把它叫作分解完了;可是我看了下面有不少的同学不是这样的结果,不是这个结果的同学请举手。
…………
现代教学论认为:课堂教学除了知识对流的主线外,还有一条情感对流的主线。李老师在这一环节组织了两次大型交流:
一是第三组题目解答5分钟后的小组交流,这是在学生独立思考、独立解题后的基础上展开的。这种基于学生真切体验下的交流,学生已经拥有了交流的素材,每一位同学都会有话可说,交流得更加充分、深入,变大课堂统领为小课堂的格局,为教师的指导增强了针对性。小范围的互助互学、互促互进,为学生的个性发展搭建了优质的平台,在师生、生生的平等对话中,理顺思路,优化认识,在可视化思维的碰撞中,达至心灵的默契。这种厚实的真味课堂是对“没有独立思考就合作交流”等形式化课堂的有力反击,它摆正了学生的主体地位,实现了情与知的融汇。
二是全班交流。在对话中,不时有李老师那亲切的话语:“大家注意了!”“大家听清楚了吗?”“你还有什么问题吗?”,等等,她用欣赏口吻的课堂语言及其透射出的亲和力,营造出温馨的情感场,润泽着学生的心灵,流露出对学生的尊重,能让我们真切感受到学生始终是在一种心理安全、平等交流的氛围中轻松地学习。这种尊重本身就是真切的情感孕育,我们看到,李老师设置的练习环节,不是单纯地要求学生去解题,而是以此为载体,通过追问引领,驱动学生展开丰富的思维活动,实施高级的心智交流,在交流中享受数学带来的苦思冥想和浪漫情趣。
李老师的单元教学法,是基于整体建构下对教材整合的灵活把握,在本节课充分展露。李老师通过三组题目涵盖了所有知识点,承载起对概念、方法、原理的形成过程的研究,只用了一节课把因式分解的全貌勾勒出来,是那样的顺乎自然。这种大胆的尝试,其实对李老师来说是常态的,本堂课彰显出李老师对教材的深刻理解和对课堂的调控能力,可谓是对“不是教教材,而是用教材教”的最好的诠释,是新理念的践行注脚。
本堂课,看似波澜不惊,甚至在有些人眼里实在是平淡,但就在这平淡之中,数学教学的真谛通过课堂的教学活动外化出来。不难发现,两个教学环节中有一个关键词反复出现——逆应用,这个词本身很平凡,岂知这就是本节课的内核,从逻辑关联的角度看,本节课其实没什么新的东西,无非就是把原来的法则反过来用,可就是这么一个反过来即为新知的构建、概念的建构在不经意间落成,看似随意挥洒,实则是李老师的精心策划。 (作者单位:山东省滨州市北镇中学初中部)
责任编辑 周瑜芽
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