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摘要:本文由分数指数幂的定义出发,讨论利用根式定义正数的分数指数幂的定义的合理性,以及在此定义下运算律的相容性,并检验该定义用在负数的分数指数幂时的局限性。提出利用棣莫弗定理定义实数分数指数幂并分析其合理性,最后给出个人对必修1中相关内容教学的建议。
关键词:分数指数幂 幂函数 棣莫弗公式
引子:2011年陕西文科卷选择4:
显然,出题者认为 ,并依此画出了函数 在 上的图像。但是要注意,高中数学课本中只用根式来定义正数的分数指数幂,那么,是否能也用根式来定义负数的分数指数幂,或者说,用根式来定义负数的分数指数幂是否合理?
一、用根式定义正数的分数指數幂的合理性:
用根式来定义正数的分数指数幂,该内容在普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修1(以下简称必修1)第二章2.1.1中给出,位于教材第51页。在51页的右上角有段小字“这里,我们略去了规定合理性的说明”,对于用根式定义正数的分数指数幂的合理性,我认为主要有以下两点:
⒈用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的相关定义相容:
一个运算的定义首先不能产生歧义,对一个数按一定法则计算,必然会得到唯一确定的结果:如果一个代数式运算出来结果即可以为 又可以为 ,那么只能有 这个结论。所有的整数都能写成分数的形式,既然整数 , ,那么, 也应该等于 ,即 个 之积等于 个 之积的 次方根(或 个 的 次方根之积),由 次方根的定义易知左右相等,因此正数的分数指数幂的定义能够与整数指数幂的定义相容。
⒉用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的运算律相容:
即必修1第51页列出的三条运算律:
⑴
⑵
⑶
这三条运算律在根式的定义下也成立。对于一个分数 ,可以将它看成 ,也可以看成 ,对于作为指数的分数来说,两种不同的看法在运算律⑵的计算下得到的幂应该相等。在根式中,对于一个正数 , ,从而 ,这是很重要的一个性质,它回答了这样一个问题:“对于一个正数 ,为什么 而不是 ?——两种写法都可以,应为它们相等。”
二、用根式定义分数指数幂的局限性:
必修1课本中并无指出对于负数 , 的分数指数幂如何定义和计算。这就引出一个问题:用根式来定义负数的分数指数幂是否合理?假设对于负数 , 或 ,下面来考察该定义的合理性(由于涉及到负数开方,数域范围选择复数域):
⒈考察定义运算的唯一性:
教师用书第55页的教学分析中指出:“当指数从整数指数推广到了有理数指数后, 以及指数的运算性质中均增加了限制条件“ ”或“ , ”,”并举出了如下反例:
这说明用根式来定义负数的分数指数幂, 既可能是2也可能是 ,运算结果将不唯一。
那么,定义 是否更合理? 这样上面的反例将不适用:
在此定义下还能证明一般的结论:
设 , , ,
而
所以 。
由上面的讨论可知,从定义运算的唯一性来说, 是不合理的, 相对合理。
⒉考察 对于指数幂运算律的相容性:
⑴假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以该定义与 不相容。
⑵假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以该定义与 不相容。
⑶假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以定义与 不相容。
如果将 换成 ,通过同样的反例可以得到,该定义仍然与三个运算律不相容,因此,从运算律的相容性方面来看,定义 或 都是不合理的。
三、对必修1分数指数幂教学把握的体会:
⒈由于用根式定义负数的分数指数幂将出现种种的不合理性,必修1在指数教学部分刻意回避了负数的分数指数幂的定义,为了避免学生将根式计算套用到负数的分数指数幂中,教学中可以说明“负数的分数指数幂并不能用根式来计算,而要用到其它算法”。
⒉对于书中指数幂的运算律,教师应该知道其适用范围不仅局限于“ ”。
⒊由本文二、三部分的讨论可知,负数的分数指数幂可以用棣莫弗公式来计算。由于计算时将负数写成复数三角形式,其幅角主值为 ,这样使得负数的(既约的)分数指数幂幅角的终边无法落在 轴非负半轴上,计算得到的结果必定是一个虚数。因此在教学中要注意根式和分数指数幂的区别,避免将 与 混为一谈。
⒋对于幂函数 ,应遵循教师用书中的要求,只讨论 的情形,避免出现讨论 或 的奇偶性、图像等等的问题——负数的(既约的)分数指数幂都是虚数,因此对于 是(既约的)分数的幂函数,其图像只能位于第一象限:
。
注释: 【1】http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
关键词:分数指数幂 幂函数 棣莫弗公式
引子:2011年陕西文科卷选择4:
显然,出题者认为 ,并依此画出了函数 在 上的图像。但是要注意,高中数学课本中只用根式来定义正数的分数指数幂,那么,是否能也用根式来定义负数的分数指数幂,或者说,用根式来定义负数的分数指数幂是否合理?
一、用根式定义正数的分数指數幂的合理性:
用根式来定义正数的分数指数幂,该内容在普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修1(以下简称必修1)第二章2.1.1中给出,位于教材第51页。在51页的右上角有段小字“这里,我们略去了规定合理性的说明”,对于用根式定义正数的分数指数幂的合理性,我认为主要有以下两点:
⒈用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的相关定义相容:
一个运算的定义首先不能产生歧义,对一个数按一定法则计算,必然会得到唯一确定的结果:如果一个代数式运算出来结果即可以为 又可以为 ,那么只能有 这个结论。所有的整数都能写成分数的形式,既然整数 , ,那么, 也应该等于 ,即 个 之积等于 个 之积的 次方根(或 个 的 次方根之积),由 次方根的定义易知左右相等,因此正数的分数指数幂的定义能够与整数指数幂的定义相容。
⒉用根式定义正数的分数指数幂与整数指数幂的运算律相容:
即必修1第51页列出的三条运算律:
⑴
⑵
⑶
这三条运算律在根式的定义下也成立。对于一个分数 ,可以将它看成 ,也可以看成 ,对于作为指数的分数来说,两种不同的看法在运算律⑵的计算下得到的幂应该相等。在根式中,对于一个正数 , ,从而 ,这是很重要的一个性质,它回答了这样一个问题:“对于一个正数 ,为什么 而不是 ?——两种写法都可以,应为它们相等。”
二、用根式定义分数指数幂的局限性:
必修1课本中并无指出对于负数 , 的分数指数幂如何定义和计算。这就引出一个问题:用根式来定义负数的分数指数幂是否合理?假设对于负数 , 或 ,下面来考察该定义的合理性(由于涉及到负数开方,数域范围选择复数域):
⒈考察定义运算的唯一性:
教师用书第55页的教学分析中指出:“当指数从整数指数推广到了有理数指数后, 以及指数的运算性质中均增加了限制条件“ ”或“ , ”,”并举出了如下反例:
这说明用根式来定义负数的分数指数幂, 既可能是2也可能是 ,运算结果将不唯一。
那么,定义 是否更合理? 这样上面的反例将不适用:
在此定义下还能证明一般的结论:
设 , , ,
而
所以 。
由上面的讨论可知,从定义运算的唯一性来说, 是不合理的, 相对合理。
⒉考察 对于指数幂运算律的相容性:
⑴假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以该定义与 不相容。
⑵假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以该定义与 不相容。
⑶假设对于负数 , ,能否满足 ?
反例:
所以定义与 不相容。
如果将 换成 ,通过同样的反例可以得到,该定义仍然与三个运算律不相容,因此,从运算律的相容性方面来看,定义 或 都是不合理的。
三、对必修1分数指数幂教学把握的体会:
⒈由于用根式定义负数的分数指数幂将出现种种的不合理性,必修1在指数教学部分刻意回避了负数的分数指数幂的定义,为了避免学生将根式计算套用到负数的分数指数幂中,教学中可以说明“负数的分数指数幂并不能用根式来计算,而要用到其它算法”。
⒉对于书中指数幂的运算律,教师应该知道其适用范围不仅局限于“ ”。
⒊由本文二、三部分的讨论可知,负数的分数指数幂可以用棣莫弗公式来计算。由于计算时将负数写成复数三角形式,其幅角主值为 ,这样使得负数的(既约的)分数指数幂幅角的终边无法落在 轴非负半轴上,计算得到的结果必定是一个虚数。因此在教学中要注意根式和分数指数幂的区别,避免将 与 混为一谈。
⒋对于幂函数 ,应遵循教师用书中的要求,只讨论 的情形,避免出现讨论 或 的奇偶性、图像等等的问题——负数的(既约的)分数指数幂都是虚数,因此对于 是(既约的)分数的幂函数,其图像只能位于第一象限:
。
注释: 【1】http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation