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摘要：本文针对高中数学学习中，比较多的学生解决问题的能力不高这一现状，研究提高学生解决问题的能力的有效方法——学会转化。解决问题就是“由未知到已知，由难到易，由复杂到简单、由陌生到熟悉的转化”。实践证明，谁学会了转化，谁就拥有了解决问题的金钥匙。
关键词：化归 解决问题 能力
目前，在轰轰烈烈的新课程改革中，数学教育的发展趋势已从偏重纯知识教学转向学习方法和能力培养的研究。数学教学的目的是让学生通过数学知识的学习，了解和掌握基本的思想和方法。在新课程教学中，教师的任务不仅是教会学生记住某些知识，也不是生吞活剥地告诉学生一些例题的解法，重要的是让学生具有运用这些知识去分析、解决有关问题的能力。由知识转化为能力，并不是一个无师自通的自然的过程，而是需要教师在平时教学中经常加于点拔引导，启发学生如何思考、如何联想，让学生在教师的点拔下能够自主地寻找规律，才能把学到的有限知识转化为解决问题的一种能力。这种转化是一種学习的飞跃过程，是每一个教师都希望自己能够达到的教学目的。著名的数学家波利亚在《怎样解题》中写道：“把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，……”。转化意识是中学数学中最重要的解题意识，充分重视这种意识，可提高学生的思维素质，从本质上提高学生解决问题的能力。
转化能力往往体现在数学解题之中。数学解题的思维过程，其实质就是一个问题转化和问题如何转化的思维过程。学生解题遇到障碍的原因大多是：无法把新问题化归为自己熟悉的问题。因此，教师在教学中，要循循善诱，引导学生自觉摸索化归方法，特别是在学生的思维受阻时，教师适时介入点拨，揭示当一个新问题出现时，如何回归到旧知识的情景中谋求解决的方法和途径。
任何一个问题的解决都必须进行一系列的推理和运算，这一系列的推理和运算就是一连串转化。合理地转化，巧妙的化归是解决数学问题的主要策略。本文对几类常见的问题的化归策略作一些探究。
1.化抽象为具体
抽象的问题，往往不易被人理解、接受、操作比较困难，而具体问题相对而言，就易被人理解、接受，操作也较为方便、熟悉。因而化抽象为具体则往往能达到化难为易的作用。
例1：写出若a、b<0则a<0且b>0的否命题
分析：“若p则q”的否命题“若p则q”，它涉及了逻辑联结词的否定，这是一个对于初学简易逻辑的同学来说是比较抽象的且很容易出错的问题。对此我们从集合角度，把这个问题具体直观的在坐标系中表示出来。a<0且b>0可表示为一个点集A，用图形表示。如图，不满足“a<0且b>0”的点（a,b），在阴影的另一部分，即。它可以看作是Ｘ轴及以下部分(b≤0)和Ｙ轴及右侧部分（a≥0）部分合起来构成，即两块区域的并集， a、b满足“a≥0或b≤0”。
因而，否命题为若a、b≥0则a≥0或b≤0。
这说明：“p且q”的否定为“非p或非q”，用集合的观点来解释，并结合图形，同学更容易接受并理解。
例2、 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是900、900、600。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。
分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝900，∠BOC＝600，然后给出图形（如图），则可想象此题意即为用刀沿600二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：）。问题于是变得直观具体多了。
2.化一般为特殊
在一般情况下难发现的结论、规律，在特殊条件下比较容易暴露，而特殊情况下得出的结论、方法也往往可推广到一般场合，一般情况下成立的结论，在特殊情况下一定成立。因此，化一般为特殊往往能起化繁为简的作用。
例3：求原点到直线L：（3m+1）x+（2m+1）y-（17m+7）=0 (m∈R)的距离的最大值和这时m的值。
分析：直接利用点到直线的距离公式，将面临求关于m的分式函数的最值问题。若观察直线方程的特点，一般中孕育着特殊：方程所表示的所有直线经过一定点。自然会想到用直线系方法，解决此问题极为容易。
解：将题目中的直线方程整理为：L:(x+y-7)+m(3x+2y-17)=0它表示过直线x+y-7=0和3x+2y-17=0交点的直线系，不难求出交点坐标为P（3，4）
故原点至直线L的距离为d≤=5
当OP⊥L时，“=”成立，即dmax=5
∵kop=4/3，∴∴m=-7/18
3、化特殊为一般
一般化是与特殊化相反的一个过程。有些数学问题，由于其特殊数量或位置关系，孤立地考察问题本身，造成我们只见“树木”不见“森林”，难以解决。这时，要把问题的某些因素或结构形式拓展到一般情况，借助一般化的结论或方法，使问题顺利解决。
例4：计算
分析：有的学生可能认为计算量太大，望而却步. 有的学生可能按照顺序与运算. 显然，死算不可取.
观察数字特征，可将数字一般化后，寻找化归途径，令a=2012，则
原式
故原式=2011.
运用一般化策略解决问题，要仔细观察，分析题目的特征，从中找出能使命题一般化的因素，以便把特殊命题拓广为包含这一特殊情况的一般问题，同时要求这一问题的解决应包含着特殊问题的解决
4.化陌生为熟悉
把生疏的问题转化为熟悉的问题去解决，这是我们解决问题的最基本的方法，也是最好的法宝。
例5 如图所示，一个椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，在一直角EOF内滚动，并始终与∠EOF的两边OE、OF分别相切。求椭圆中心O′的轨迹。
分析：由于椭圆相对于直角是运动的，不便找出中心O′相对于直角的变化规律。若反过来变更问题的形式，由于直角与椭圆的动与静是相对的，把椭圆看作是固定的时，而与之相切的直角自然就是绕着椭圆转动了。问题就转化为我们所熟悉如图所示的“求椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹”。 如圖所示，在坐标系中设两条互相垂直的切线OE、0F的交点O的坐标为，当两条切线的斜率都存在时，设椭圆的切线的斜率为，则过点O的切线方程为，将其代入椭圆方程并整理可以得到
于是有
化简得关于的一元二次方程
这个关于的一元二次方程的两个根就是切线OE、0F的斜率，因为OE⊥0F，所以两根之积为-1，即，从而有。
当两条切线的斜率不都存在时，显然也有成立。
这说明椭圆的两条互相垂直的切线OE、0F的交点O与椭圆的中心点O′之距恒为定值 。再将问题转回到原问题上来，如图所示建立坐标系，则O′的轨迹方程为
且
5.化局部为整体
众所周知，局部构成整体，整体可分解为局部，但解题时并非一定要解决所有的局部才能解决整体，用整体思想解题有时能起到事半功倍的作用，好比擒贼先擒王，迅速解决问题。
例6：已知直线L过点P（0，1），并与直线L1：x-3y+10=0和L2：2x+y-8=0分别交于A，B两点。若AB被P平分，求直线L的方程。
分析：直线L过点P（0，1），可设直线L的方程为y=kx+1。利用解方程组的方法可以求A，B的坐标，再由线段中点坐标公求出k，x的值。显然比较繁冗，若用设而不求的整体考虑，就显得非常简便。
设与L2的交点为A（x0，y0），则与L2的交点为B（-x0，2-y0）代入L1，L2得：
x0-3y0+10=0 (3)
2x0+y0+6=0 (4)
(4)-(3):x0+4(y0-1)=0,显然P（0，1）满足此方程。
L的方程为x+4y-4=0
6.化主元为辅元
在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于受思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是抓住主元不放，这在很多情况下是正确的，但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转变它在问题中的地位，就不禁会发出“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”的感叹！
例7 已知，且分别满足条件：
，
若直线经过点和，则无论如何变化直线恒与一定圆相切。
分析：本题变量有m、n、θ达3个之多，从条件的结构看，似乎是以m、n为主元的一元二次方程。利用求根公式解出m、n，再求出直线的方程，好象行得通，如果你试一试，就会感到是一件在计算的泥坑里不能拔出来的事情。再仔细分析一下：因为直线与有关，又与有关，所以直线与有关。以为主元，这样就需要找转化为可满足的条件：
，
由于这两个等式的结构相同，这就可以找到一个相应的辅助方程
将看作这个关于的一元二次方程的两个不等的实数根。由根与系数的关系：
由于经过点和的直线的方程为，所以直线的方程可以转化为，也就是。
根据点到直线的距离公式，容易计算出原点O(0,0)到直线：的距离恒为1。
故无论如何变化直线恒与一单位圆相切。
7.化空间为平面
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，立体几何中的角与距离是最常见的问题，它们的求法都是化归为平面几何中的角与距离来计算，三角形中计算更为常见。
例8 设正三棱锥S－ABC的底边长为a,侧棱长为2a，过A作与侧棱SB、SC都相交的截面AEF（如图a），求这个截面周长的最小值。
由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题。
分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。
沿侧棱SA将三棱锥剪开，得侧面展开图（如图b），则求截面⊿AEF周长的最小值问题就转化为侧面展开图中求A、A1两点的最短连线段长的问题（解略）。
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
8.化复杂为简洁
有的数学问题着上去比较复杂，尤其是竞赛题. 如果我们善于对问题的形式的特征进行观察，提炼其特征，把复杂问题化归为简单问题，从而使问题得以解决.
例9：函数的最大值是 .
分析：一般地，学生会想到配方：
，
然后就束手无策了. 关键是对函数的几何意义不清楚，无法化归.
配方后知，函数的几何意义是在抛物线
上的点分别到点A(3, 2)和点B(0, 1)的距离之差，因点
A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB与抛物线相交. 交点由
决定，消去y，得，由于该方程常数项为负，故必有负根. 因三角形两边之差小于第三边，故当点P位于负根所对应交点C时，有最大值|AB|=.
9、化正面为反面
正难则反是一种顺向思维序列到逆向思维序列的转换能力. 如果我们经常注意引导学生对问题的逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性.
例10：已知集合，若，求实数m的取值范围.
分析：有的学生会这样想：集合A是方程 ①的实数根组成的非空集合，意味着方程①的根：（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根三种情况，分别求解. 这样较麻烦。
如果考虑题设的反面：，则可先求方程①的两根均非负时m的取值范围，用补集思想求解尤为简便.
设全集
若方程的两根均非负，
则m≥. 因此，关于U的补集即为所求.
10、化旧元为新元
许多习题，在一定的条件下可以用不同的方法来进行研究，而方法的转变起一定的作用的是换元法，即原变量化归为新变量，它可以化繁为简，也可以使代数、三角、几何中的问题在本学科中或在它们相互之间进行转换，从而达到简捷解题的目的.
例11：设、、是三个不全为零的实数，求的最大值.
分析：一般学生一看题目，就有无从下手的感觉.把原来变量化归新变量，即换元，可使问题有转机. 令
，则
≤，当且仅当时u取到最大值.
11、化数为形
某些特殊的问题，若同常规方法来解，推理运算的过程较复杂，若能将数式化归为图形，即利用数形结合的方法来解，往往使运算或推经论述的过程简化，也收到形象直观的效果.
例12：若≠0，則的最大值是 .
分析：学生一般用分子有理化法实现化归，但计算量较大。注意到所求最大值当＞0时取得，因此原式可化为，类此两点间距离公式可知，上式的几何意义是：动点到两定点（如右图）
∵|AB|≥|PA|－|PB|，且|AB|=
故当P点在原点即时，|PA|－|PB|取
最大值().
化归思想，在解数学题中的作用是不可估量的. 其运用的程度如何，关键在于联想，若联想不当或思维受阻，化归的目标就会受到影响，从而会影响化归途径的优化. 总之，化归的解题思想应引起我们高度重视。 尽管高考题的命题方向是“出新题，考能力”，而且解高考题的思维策略也是因题而异，但是思维策略的指向性是一致的，就是抓住问题的本质，挣脱知识框架的束缚，构筑起解题的新平台，尽可能把新问题转化为某一个已经解决或较易解决的问题，最终实现问题的解决。
当然，除了上面提到的一些化归策略外，还有许多其他的方法，这里不一一陈述。“化归”在数学学习和解题中有着广泛的用途，因此，学会化归，就能提高我们的应变能力、思维能力、创新能力、解题能力。
参考文献：
1. 胡炯涛. 数学教学论. 广西教育出版社.1998.10.
2.杨世明、王雪芹.数学发现的艺术.青岛海洋大学出版社.2005.5
3.任樟辉.数学思维论.广西教育出版社.2000.8
4.罗增儒.数学解题学论.陕西师范大学出版社.2008.10
关键词：化归 解决问题 能力
目前，在轰轰烈烈的新课程改革中，数学教育的发展趋势已从偏重纯知识教学转向学习方法和能力培养的研究。数学教学的目的是让学生通过数学知识的学习，了解和掌握基本的思想和方法。在新课程教学中，教师的任务不仅是教会学生记住某些知识，也不是生吞活剥地告诉学生一些例题的解法，重要的是让学生具有运用这些知识去分析、解决有关问题的能力。由知识转化为能力，并不是一个无师自通的自然的过程，而是需要教师在平时教学中经常加于点拔引导，启发学生如何思考、如何联想，让学生在教师的点拔下能够自主地寻找规律，才能把学到的有限知识转化为解决问题的一种能力。这种转化是一種学习的飞跃过程，是每一个教师都希望自己能够达到的教学目的。著名的数学家波利亚在《怎样解题》中写道：“把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，……”。转化意识是中学数学中最重要的解题意识，充分重视这种意识，可提高学生的思维素质，从本质上提高学生解决问题的能力。
转化能力往往体现在数学解题之中。数学解题的思维过程，其实质就是一个问题转化和问题如何转化的思维过程。学生解题遇到障碍的原因大多是：无法把新问题化归为自己熟悉的问题。因此，教师在教学中，要循循善诱，引导学生自觉摸索化归方法，特别是在学生的思维受阻时，教师适时介入点拨，揭示当一个新问题出现时，如何回归到旧知识的情景中谋求解决的方法和途径。
任何一个问题的解决都必须进行一系列的推理和运算，这一系列的推理和运算就是一连串转化。合理地转化，巧妙的化归是解决数学问题的主要策略。本文对几类常见的问题的化归策略作一些探究。
1.化抽象为具体
抽象的问题，往往不易被人理解、接受、操作比较困难，而具体问题相对而言，就易被人理解、接受，操作也较为方便、熟悉。因而化抽象为具体则往往能达到化难为易的作用。
例1：写出若a、b<0则a<0且b>0的否命题
分析：“若p则q”的否命题“若p则q”，它涉及了逻辑联结词的否定，这是一个对于初学简易逻辑的同学来说是比较抽象的且很容易出错的问题。对此我们从集合角度，把这个问题具体直观的在坐标系中表示出来。a<0且b>0可表示为一个点集A，用图形表示。如图，不满足“a<0且b>0”的点（a,b），在阴影的另一部分，即。它可以看作是Ｘ轴及以下部分(b≤0)和Ｙ轴及右侧部分（a≥0）部分合起来构成，即两块区域的并集， a、b满足“a≥0或b≤0”。
因而，否命题为若a、b≥0则a≥0或b≤0。
这说明：“p且q”的否定为“非p或非q”，用集合的观点来解释，并结合图形，同学更容易接受并理解。
例2、 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是900、900、600。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。
分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝900，∠BOC＝600，然后给出图形（如图），则可想象此题意即为用刀沿600二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：）。问题于是变得直观具体多了。
2.化一般为特殊
在一般情况下难发现的结论、规律，在特殊条件下比较容易暴露，而特殊情况下得出的结论、方法也往往可推广到一般场合，一般情况下成立的结论，在特殊情况下一定成立。因此，化一般为特殊往往能起化繁为简的作用。
例3：求原点到直线L：（3m+1）x+（2m+1）y-（17m+7）=0 (m∈R)的距离的最大值和这时m的值。
分析：直接利用点到直线的距离公式，将面临求关于m的分式函数的最值问题。若观察直线方程的特点，一般中孕育着特殊：方程所表示的所有直线经过一定点。自然会想到用直线系方法，解决此问题极为容易。
解：将题目中的直线方程整理为：L:(x+y-7)+m(3x+2y-17)=0它表示过直线x+y-7=0和3x+2y-17=0交点的直线系，不难求出交点坐标为P（3，4）
故原点至直线L的距离为d≤=5
当OP⊥L时，“=”成立，即dmax=5
∵kop=4/3，∴∴m=-7/18
3、化特殊为一般
一般化是与特殊化相反的一个过程。有些数学问题，由于其特殊数量或位置关系，孤立地考察问题本身，造成我们只见“树木”不见“森林”，难以解决。这时，要把问题的某些因素或结构形式拓展到一般情况，借助一般化的结论或方法，使问题顺利解决。
例4：计算
分析：有的学生可能认为计算量太大，望而却步. 有的学生可能按照顺序与运算. 显然，死算不可取.
观察数字特征，可将数字一般化后，寻找化归途径，令a=2012，则
原式
故原式=2011.
运用一般化策略解决问题，要仔细观察，分析题目的特征，从中找出能使命题一般化的因素，以便把特殊命题拓广为包含这一特殊情况的一般问题，同时要求这一问题的解决应包含着特殊问题的解决
4.化陌生为熟悉
把生疏的问题转化为熟悉的问题去解决，这是我们解决问题的最基本的方法，也是最好的法宝。
例5 如图所示，一个椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，在一直角EOF内滚动，并始终与∠EOF的两边OE、OF分别相切。求椭圆中心O′的轨迹。
分析：由于椭圆相对于直角是运动的，不便找出中心O′相对于直角的变化规律。若反过来变更问题的形式，由于直角与椭圆的动与静是相对的，把椭圆看作是固定的时，而与之相切的直角自然就是绕着椭圆转动了。问题就转化为我们所熟悉如图所示的“求椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹”。 如圖所示，在坐标系中设两条互相垂直的切线OE、0F的交点O的坐标为，当两条切线的斜率都存在时，设椭圆的切线的斜率为，则过点O的切线方程为，将其代入椭圆方程并整理可以得到
于是有
化简得关于的一元二次方程
这个关于的一元二次方程的两个根就是切线OE、0F的斜率，因为OE⊥0F，所以两根之积为-1，即，从而有。
当两条切线的斜率不都存在时，显然也有成立。
这说明椭圆的两条互相垂直的切线OE、0F的交点O与椭圆的中心点O′之距恒为定值 。再将问题转回到原问题上来，如图所示建立坐标系，则O′的轨迹方程为
且
5.化局部为整体
众所周知，局部构成整体，整体可分解为局部，但解题时并非一定要解决所有的局部才能解决整体，用整体思想解题有时能起到事半功倍的作用，好比擒贼先擒王，迅速解决问题。
例6：已知直线L过点P（0，1），并与直线L1：x-3y+10=0和L2：2x+y-8=0分别交于A，B两点。若AB被P平分，求直线L的方程。
分析：直线L过点P（0，1），可设直线L的方程为y=kx+1。利用解方程组的方法可以求A，B的坐标，再由线段中点坐标公求出k，x的值。显然比较繁冗，若用设而不求的整体考虑，就显得非常简便。
设与L2的交点为A（x0，y0），则与L2的交点为B（-x0，2-y0）代入L1，L2得：
x0-3y0+10=0 (3)
2x0+y0+6=0 (4)
(4)-(3):x0+4(y0-1)=0,显然P（0，1）满足此方程。
L的方程为x+4y-4=0
6.化主元为辅元
在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于受思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是抓住主元不放，这在很多情况下是正确的，但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转变它在问题中的地位，就不禁会发出“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”的感叹！
例7 已知，且分别满足条件：
，
若直线经过点和，则无论如何变化直线恒与一定圆相切。
分析：本题变量有m、n、θ达3个之多，从条件的结构看，似乎是以m、n为主元的一元二次方程。利用求根公式解出m、n，再求出直线的方程，好象行得通，如果你试一试，就会感到是一件在计算的泥坑里不能拔出来的事情。再仔细分析一下：因为直线与有关，又与有关，所以直线与有关。以为主元，这样就需要找转化为可满足的条件：
，
由于这两个等式的结构相同，这就可以找到一个相应的辅助方程
将看作这个关于的一元二次方程的两个不等的实数根。由根与系数的关系：
由于经过点和的直线的方程为，所以直线的方程可以转化为，也就是。
根据点到直线的距离公式，容易计算出原点O(0,0)到直线：的距离恒为1。
故无论如何变化直线恒与一单位圆相切。
7.化空间为平面
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，立体几何中的角与距离是最常见的问题，它们的求法都是化归为平面几何中的角与距离来计算，三角形中计算更为常见。
例8 设正三棱锥S－ABC的底边长为a,侧棱长为2a，过A作与侧棱SB、SC都相交的截面AEF（如图a），求这个截面周长的最小值。
由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题。
分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。
沿侧棱SA将三棱锥剪开，得侧面展开图（如图b），则求截面⊿AEF周长的最小值问题就转化为侧面展开图中求A、A1两点的最短连线段长的问题（解略）。
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
8.化复杂为简洁
有的数学问题着上去比较复杂，尤其是竞赛题. 如果我们善于对问题的形式的特征进行观察，提炼其特征，把复杂问题化归为简单问题，从而使问题得以解决.
例9：函数的最大值是 .
分析：一般地，学生会想到配方：
，
然后就束手无策了. 关键是对函数的几何意义不清楚，无法化归.
配方后知，函数的几何意义是在抛物线
上的点分别到点A(3, 2)和点B(0, 1)的距离之差，因点
A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB与抛物线相交. 交点由
决定，消去y，得，由于该方程常数项为负，故必有负根. 因三角形两边之差小于第三边，故当点P位于负根所对应交点C时，有最大值|AB|=.
9、化正面为反面
正难则反是一种顺向思维序列到逆向思维序列的转换能力. 如果我们经常注意引导学生对问题的逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性.
例10：已知集合，若，求实数m的取值范围.
分析：有的学生会这样想：集合A是方程 ①的实数根组成的非空集合，意味着方程①的根：（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根三种情况，分别求解. 这样较麻烦。
如果考虑题设的反面：，则可先求方程①的两根均非负时m的取值范围，用补集思想求解尤为简便.
设全集
若方程的两根均非负，
则m≥. 因此，关于U的补集即为所求.
10、化旧元为新元
许多习题，在一定的条件下可以用不同的方法来进行研究，而方法的转变起一定的作用的是换元法，即原变量化归为新变量，它可以化繁为简，也可以使代数、三角、几何中的问题在本学科中或在它们相互之间进行转换，从而达到简捷解题的目的.
例11：设、、是三个不全为零的实数，求的最大值.
分析：一般学生一看题目，就有无从下手的感觉.把原来变量化归新变量，即换元，可使问题有转机. 令
，则
≤，当且仅当时u取到最大值.
11、化数为形
某些特殊的问题，若同常规方法来解，推理运算的过程较复杂，若能将数式化归为图形，即利用数形结合的方法来解，往往使运算或推经论述的过程简化，也收到形象直观的效果.
例12：若≠0，則的最大值是 .
分析：学生一般用分子有理化法实现化归，但计算量较大。注意到所求最大值当＞0时取得，因此原式可化为，类此两点间距离公式可知，上式的几何意义是：动点到两定点（如右图）
∵|AB|≥|PA|－|PB|，且|AB|=
故当P点在原点即时，|PA|－|PB|取
最大值().
化归思想，在解数学题中的作用是不可估量的. 其运用的程度如何，关键在于联想，若联想不当或思维受阻，化归的目标就会受到影响，从而会影响化归途径的优化. 总之，化归的解题思想应引起我们高度重视。 尽管高考题的命题方向是“出新题，考能力”，而且解高考题的思维策略也是因题而异，但是思维策略的指向性是一致的，就是抓住问题的本质，挣脱知识框架的束缚，构筑起解题的新平台，尽可能把新问题转化为某一个已经解决或较易解决的问题，最终实现问题的解决。
当然，除了上面提到的一些化归策略外，还有许多其他的方法，这里不一一陈述。“化归”在数学学习和解题中有着广泛的用途，因此，学会化归，就能提高我们的应变能力、思维能力、创新能力、解题能力。
参考文献：
1. 胡炯涛. 数学教学论. 广西教育出版社.1998.10.
2.杨世明、王雪芹.数学发现的艺术.青岛海洋大学出版社.2005.5
3.任樟辉.数学思维论.广西教育出版社.2000.8
4.罗增儒.数学解题学论.陕西师范大学出版社.2008.10