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摘 要：数形结合思想是我国传统基本数学思想方法之一，从“九章算术”的析理以辞、解题用图，到现在数学各个分支间的融合渗透，都体现着数形结合的魅力。拉格朗日曾说过：“如果代数与几何背道而驰，它们进展就缓慢，应用就狭窄，但是一旦他们结合成伴侣时，就互取所长，快速走向完善。”因此，在数学中，我们必须重视“数”与“形”的结合，充分发挥代数和几何各自的优势来解决问题。简而言之，代数中充满了几何思想，几何解题离不开代数运算，而坐标系正是其中的重要媒介之一。
关键词：数形结合的思想及应用；坐标系
引言
数学是研究现实生活中空间形式和数量关系的科学。恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。“数”和“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。“数”是“形”的抽象概括，“形”是“数”的直观表现。华罗庚教授曾说过：“‘数’缺‘形’时少直觉，‘形’少‘数’时难入微。”数形结合，通过“以形助数”，“以数解形”的方式，以坐标系为纽带简化解题过程。
一、数形结合的思想
数形结合是将不同信息的内在联系挖掘出来并加以运用的一个过程。在这个过程中，不仅要明确条件与结论间的内在联系，还应对其蕴含的数学意义进行分析，深入挖掘其中的内涵，从而将复杂的问题转化为直观的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。同时这种思维过程也能让我们在运用知识的过程中树立整体的数学思想，解题时灵活地转化信息，抓住解题的关键点，认清实质，提高我们的数学学习能力与思维能力。
二、数形结合的应用
2.1从形到数，以数助形
对于这类问题，我们通常叫它空间几何的代数化。例题：在一个长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC中点，F为线段EC上（端点除外）一动点，现将三角形AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 。这个问题可以有多种解法.其中应用数形结合思想的有以下两种解法。
法1：用射影定理求解。作KG⊥AF于点G，连接DG，则DG⊥AF，设DF=l（1?l?2），在直角三角形ADF中用射影定理可以找出AG关于l的表达式，再利用面积公式，解得t=AK=1/l进而求解。这种方法已经初步体现了数形结合的思想，只不过它需要你更多的敏锐的直觉和丰富的想象力，但是如果建立坐标系，就会非常简单明了的找出关系，进而转化为代数运算。
法2：以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，从而得到K（t，0），D（0，1），F（l，1），则直线DK，AF的斜率就找到了，进而根据DK⊥AF求解。通过坐标系将图形问题代数化，这一方法在解析几何中体现得相当充分。笛卡儿从天文和地理的经纬制度出發，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系，此外，我们学过的空间直角坐标系和实数对（x，y，z）一一对应，以及复数z=a+bi与复平面上的点Z（a，b）一一对应，都给我们提供了一个重要的解题思路，那就是用代数的方法研究曲线的性质，用坐标系解决几何问题。
2.2从数到形，以形助数
在高中数学的代数篇中，利用图形解析题目内涵贯穿了集合，函数，不等式，数列，三角函数等。在集合的学习中，利用数轴，可以形象直观的反映出某点到原点的距离，这比我们单独理解距离这个概念要容易得多；韦恩图来表示集合的运算，使得图形语言与集合语言相互转换；在函数的模块中，重要的就是通过函数图像来研究函数的性质，抽象函数往往需要我们找到它所对应的具体函数进而求解；不等式中，我们采用数轴标根法对不等式进行求解；而在数列中，无穷递推等比数列的和也可借助图形求解；三角函数源于圆周运动，引入三角函数时，我们借助单位圆来研究其性质。这些都是通过图形使所阐述的内容简便易懂，体现了数形结合的魅力。
结语
数形结合是把“双刃剑”。在日常的解题中，我们应把握好数形结合的思想，应用坐标系简化做题过程。但我们应注意的是，要用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的模糊启迪“数”的计算，从而使问题解决事半功倍。我们观察图形，既要定性也要定量，有时仅画图示“意”是不够的，还必须注意“数”的严谨，做到“会意”与“演算”相结合，只有这样，强大的坐标系以及数形结合思想才于我们真正没有害处，并进一步提升我们的数学技能。
参考文献
[1] 蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M]浙江大学出版社，2016（10）：80-94.
[2] 张金良.高中数学必修知识拓展与引申[M]浙江大学出版社，2014（9）：59-60.
[3] 张瑞炳.百题大过关[M]华东师范大学出版社，2018（4）：91-92.
（作者单位：河南省许昌高级中学）
关键词：数形结合的思想及应用；坐标系
引言
数学是研究现实生活中空间形式和数量关系的科学。恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。“数”和“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。“数”是“形”的抽象概括，“形”是“数”的直观表现。华罗庚教授曾说过：“‘数’缺‘形’时少直觉，‘形’少‘数’时难入微。”数形结合，通过“以形助数”，“以数解形”的方式，以坐标系为纽带简化解题过程。
一、数形结合的思想
数形结合是将不同信息的内在联系挖掘出来并加以运用的一个过程。在这个过程中，不仅要明确条件与结论间的内在联系，还应对其蕴含的数学意义进行分析，深入挖掘其中的内涵，从而将复杂的问题转化为直观的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。同时这种思维过程也能让我们在运用知识的过程中树立整体的数学思想，解题时灵活地转化信息，抓住解题的关键点，认清实质，提高我们的数学学习能力与思维能力。
二、数形结合的应用
2.1从形到数，以数助形
对于这类问题，我们通常叫它空间几何的代数化。例题：在一个长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC中点，F为线段EC上（端点除外）一动点，现将三角形AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 。这个问题可以有多种解法.其中应用数形结合思想的有以下两种解法。
法1：用射影定理求解。作KG⊥AF于点G，连接DG，则DG⊥AF，设DF=l（1?l?2），在直角三角形ADF中用射影定理可以找出AG关于l的表达式，再利用面积公式，解得t=AK=1/l进而求解。这种方法已经初步体现了数形结合的思想，只不过它需要你更多的敏锐的直觉和丰富的想象力，但是如果建立坐标系，就会非常简单明了的找出关系，进而转化为代数运算。
法2：以A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，从而得到K（t，0），D（0，1），F（l，1），则直线DK，AF的斜率就找到了，进而根据DK⊥AF求解。通过坐标系将图形问题代数化，这一方法在解析几何中体现得相当充分。笛卡儿从天文和地理的经纬制度出發，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系，此外，我们学过的空间直角坐标系和实数对（x，y，z）一一对应，以及复数z=a+bi与复平面上的点Z（a，b）一一对应，都给我们提供了一个重要的解题思路，那就是用代数的方法研究曲线的性质，用坐标系解决几何问题。
2.2从数到形，以形助数
在高中数学的代数篇中，利用图形解析题目内涵贯穿了集合，函数，不等式，数列，三角函数等。在集合的学习中，利用数轴，可以形象直观的反映出某点到原点的距离，这比我们单独理解距离这个概念要容易得多；韦恩图来表示集合的运算，使得图形语言与集合语言相互转换；在函数的模块中，重要的就是通过函数图像来研究函数的性质，抽象函数往往需要我们找到它所对应的具体函数进而求解；不等式中，我们采用数轴标根法对不等式进行求解；而在数列中，无穷递推等比数列的和也可借助图形求解；三角函数源于圆周运动，引入三角函数时，我们借助单位圆来研究其性质。这些都是通过图形使所阐述的内容简便易懂，体现了数形结合的魅力。
结语
数形结合是把“双刃剑”。在日常的解题中，我们应把握好数形结合的思想，应用坐标系简化做题过程。但我们应注意的是，要用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的模糊启迪“数”的计算，从而使问题解决事半功倍。我们观察图形，既要定性也要定量，有时仅画图示“意”是不够的，还必须注意“数”的严谨，做到“会意”与“演算”相结合，只有这样，强大的坐标系以及数形结合思想才于我们真正没有害处，并进一步提升我们的数学技能。
参考文献
[1] 蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M]浙江大学出版社，2016（10）：80-94.
[2] 张金良.高中数学必修知识拓展与引申[M]浙江大学出版社，2014（9）：59-60.
[3] 张瑞炳.百题大过关[M]华东师范大学出版社，2018（4）：91-92.
（作者单位：河南省许昌高级中学）