摘要：本文从三重积分的物理意义出发，推导出被积函数为正时的三重积分的两种计算公式，最后通过两个恒为正的函数作差来构造出一个一般函数，得到更一般意义下的三重积分的计算公式。
　　关键词：三重积分；物理意义；计算公式
　　一般地，关于三重积分在直角坐标系下的计算，教材中只给出了简单、抽象的推导过程，本文从三重积分的物理意义出发，推导出三重积分的计算公式，增加学生对三重积分计算方法的理解。
　　问题引入：首先回顾三重积分的实际背景，即求非均匀的空间物体的质量。假设物体占有空间区域 ，且体密度为 ，求这个空间物体的质量。通过对这个问题进行抽象，得到了三重积分的概念， 表示空间物体的质量. 在定义三重积分的时候，我们要对空间区域 进行分割.现在考虑对 的一种特殊形式的分割，就是用平行于坐标平面的平面去分割 ，那么这样分割的小块就是一个一个的小的长方体，考虑其中的一个代表，它的长、宽、高分别为 ，所对应的体积元素 ，也就是小长方体的体积等于 ，那么我们就可以把三重积分表示成 .
　　接下来我们可以打一个简单的比方，把这个空间物体看成是一個土豆，要把土豆做成菜肴的话，通常有三种切法——土豆丁、土豆丝、土豆片，把土豆切成丁的过程就相当于我们前面考虑的空间物体的质量的计算过程，因为我们是把空间物体分成若干小块，对每一小块近似计算它的质量来得到整个物体的质量，那现在把土豆切成丝或片的话，这个其实就是我们要介绍的对三重积分计算的两种过程。
　　我们先考虑被积函数 的情形。
　　由三重积分的物理意义， 表示密度为 的非均匀空间体 的质量。根据空间体 的不同形状，得到“先一后二”和“先二后一”的计算公式。
　　1、“先一后二”计算公式的推导
　　假设空间域 满足侧面平行于 轴，且用平行于 轴且穿过空间域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 相交不多于两点。把闭区域 投影到 面上，得一平面闭区域 （图1）。
　　对于这样的一个区域，如何计算在它上面的三重积分呢？根据三重积分的实际背景，也就是把三重积分看成是密度函数为 的空间物体的质量.我们采取将土豆切丝的方法. 首先把闭区域 投影到 面上，得到平面闭区域 （图1），对投影区域做任意的分割，取其中的一个代表，我们用 来表示， 同时也表示这个小的区域的面积，过 上的一点 ，做与 轴平行的直线，直线与 的边界曲面相交两点，再以 为底，做轴与 轴平行的柱体，则细柱体的质量为：
　　.
　　将每个细柱体的质量相加，便得到所求空间物体的质量，即
　　.
　　这就是三重积分计算的“先一后二”积分法，也叫投影法. 也一般记作 .
　　2 “先二后一”计算公式的推导
　　假设空间闭区域 ，其中 是竖坐标为 的平面截面闭区域 所得到的一个平面区域（图2）。
　　求空间闭区域 的质量，总可以划分成很多平行于 面的截面，每个截面可以看做是非均匀变化的薄片。在用 平面去截空间域 ，薄片的质量为：
　　然后，把该薄片的质量看做是 轴上该点的质量，就变成非均匀细棒的质量：
　　所以，
　　由于密度函数是正的，下面我们推广到一般的函数。
　　因为任何一个函数都可以表示成两个非负函数相减的形式。根据三重积分的线性性质，我们得到了任意一个函数的三重积分的计算公式。
　　参考文献：
　　[1]同济大学应用数学系.高等数学：下册[M].6版.北京：高等教育出版社.2007：157-160.
　　[2]王亚男.刘卫江.二重积分在直角坐标系下计算公式的推导[J].高等数学研究.2015.3 （36-37）