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考题年年在变，考点却“岿然不动”.以史为鉴看高考命题.从2017年的高考真题中，三角函数、解三角形与平面向量有哪些基本考点呢？本文一一道来，供同学们备考之用.
一、三角函数
三角函数历来是高考考查的重点内容之一，主要考查三角函数的图象和性质（如单调性、周期、最值、对称性、图象变换等），三角函数式的恒等变换、有关公式的化简、求值等.试题难度以基础题与中档题为主.
考点1三角恒等变换与求值
例1（1）[2017年·江苏]若tan（α-π4）=16，则tanα=.
（2）[2017年·山东]已知cosx=34，则cos2x=（）
（A）-14（B）14（C）-18（D）18
（3）[2017年·新课标I]已知α∈（0，π2），tanα=2，则cos（α-π4）=.
分析：（1）将α变形为（α-π4） π4，进而利用两角和的正切公式，便可求得tanα的值；（2）利用余弦倍角公式；（3）先由已知条件求出sinα与cosα，再利用两角差的余弦公式.
解：（1）tanα=tan[（α-π4） π4]
=tan（α-π4） tanπ41-tan（α-π4）tanπ4=16 11-16=75.
（2）由cosx=34得cos2x=2cos2x-1=2×（34）2-1=18，故选D.
（3）由tanα=2得sinα=2cosα，
又sin2α cos2α=1，所以cos2α=15，
因为α∈（0，π2），所以cosα=55，sinα=255，
所以cos（α-π4）=cosαcosπ4 sinαsinπ4
=55×22 255×22=31010.
评注：（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点2三角函数的图象与性质
例2（1）[2017年·新课标I]已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x 2π3），则下面结论正确的是（）
（A）把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
（B）把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
（C）把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
（D）把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
（2）[2017年·山东]函数y=3sin2x cos2x最小正周期为（）
（A）π2（B）2π3（C）π（D）2π
（3）[2017年·新课标III]函数f（x）=15sin（x π3） cos（x-π6）的最大值为（）
（A）65（B）1（C）35（D）15
分析：（1）利用三角图象变换规律，注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别；（2）利用三角恒等变换公式将原函数变形为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，则最小正周期为2π|ω|；（3）与（2）一样，将原函数变形为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，就可得到最大值A B.
解：（1）C1：y=cosx，C2：y=sin（2x 2π3）.首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1：y=cosx用诱导公式处理.
y=cosx=cos（x π2-π2）=sin（x π2）.横坐标变换需将ω=1变成ω=2，即y=sin（x π2）C1上各点横坐标缩短到它原来的12y=sin（2x π2）=sin2（x π4）y=sin（2x 2π3）=sin2（x π3）.
注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x π4平移至x π3，
根据“左加右减”原则，“x π4”到“x π3”需加上π12，即再向左平移π12.故选D.
（2）因为y=3sin2x cos2x=2sin（2x π6），所以其周期T=2π2=π，故选C.
（3）由诱导公式可得：cos（x-π6）=cos[π2-（x π3）]=sin（x π3），
则f（x）=15sin（x π3） sin（x π3）=65sin（x π3），函数的最大值为65.故选A.
评注：（1）对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sinα=cos（α-π2），cosα=sin（α π2）；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.（2）对于函数Asin（ωx φ） B（A>0），它的最小正周期为2π|ω|，最大值为A B，最小值为-A B.
考点3三角函数的综合性问题
例3[2017年·浙江]已知函数f（x）=sin2x-cos2x-23sinxcosx（x∈R）.
（1）求f（2π3）的值.
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.
分析：（1）可直接将x=2π3代入原函数f（x）的解析式，从而求得f（2π3）的值，也可将原函数f（x）的解析式化为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，再將x=2π3代入，从而求得f（2π3）的值；（2）将原函数f（x）的解析式化为Asin（ωx φ） B（A>0，ω>0）的形式后，则由T=2πω可得最小正周期，利用正弦函数的单调性可求得函数f（x）的单调增区间. 考点7向量模的运算
例7（1）[2017年·新课标III]已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a 2b|=.
（2）[2017年·浙江]已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a b| |a-b|的最小值是，最大值是.
分析：（1）利用|a|=|a|2，也可利用向量加法的几何意义快速找到答案；（2）利用向量减法与减法的几何意义，将其转化为三角函数的最值问题.
解：（1）法1：|a 2b|2=（a 2b）2
=|a|2 2·|a|·|2b|·cos60° （2|b|）2
=22 2×2×2×12 22=4 4 4=12，
∴|a 2b|=12=23.
法2：利用右圖，可以判断出a 2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则|a 2b|=23.
（2）设向量a，b的夹角为θ，则由向量加法与减法的平行四边形法则与三角形法则，有
|a-b|=12 22-2·1·2cosθ
=5-4cosθ，
|a b|=12 22-2·1·2cos（π-θ）
=5 4cosθ，
所以|a b| |a-b|=5 4cosθ 5-4cosθ，
于是（|a b| |a-b|）2=10 225-16cos2θ∈[16，20]，即4≤|a b| |a-b|≤25，
所以|a b| |a-b|的最小值是4，最大值是25.
评注：平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
考点8数量积运算
例8（1）[2017年·新课标II]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB PC）的最小值是（）
（A）-2（B）-32（C）-43（D）-1
（2）[2017年·天津]在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，则λ的值为.
分析：（1）建立坐标系，利用向量坐标法将其转化为解析几何最值问题；（2）以向量AB与AC为基底，将AD与AE线性表示，继而把AD·AE=-4转化为关于λ的方程.
解：（1）建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点，
∴A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.
设P（x，y），PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），
∴PA·（PB PC）=2x2-23y 2y2=2[x2 （y-32）2-34]，
则其最小值为2×（-34）=-32，此时x=0，y=32.
（2）因为AB·AC=3×2×cos60°=3，
由BD=2DC得，AD=13AB 23AC，
所以AD·AE=（13AB 23AC）（λAC-AB）=λ3×3 2λ3×4-13×9-23×3=113λ-5，
所以113λ-5=-4，解得λ=311.
评注：对于平面向量数量积问题，一般可采用基底法和坐标法.而平面向量中有关最值问题的求解通常也有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）
一、三角函数
三角函数历来是高考考查的重点内容之一，主要考查三角函数的图象和性质（如单调性、周期、最值、对称性、图象变换等），三角函数式的恒等变换、有关公式的化简、求值等.试题难度以基础题与中档题为主.
考点1三角恒等变换与求值
例1（1）[2017年·江苏]若tan（α-π4）=16，则tanα=.
（2）[2017年·山东]已知cosx=34，则cos2x=（）
（A）-14（B）14（C）-18（D）18
（3）[2017年·新课标I]已知α∈（0，π2），tanα=2，则cos（α-π4）=.
分析：（1）将α变形为（α-π4） π4，进而利用两角和的正切公式，便可求得tanα的值；（2）利用余弦倍角公式；（3）先由已知条件求出sinα与cosα，再利用两角差的余弦公式.
解：（1）tanα=tan[（α-π4） π4]
=tan（α-π4） tanπ41-tan（α-π4）tanπ4=16 11-16=75.
（2）由cosx=34得cos2x=2cos2x-1=2×（34）2-1=18，故选D.
（3）由tanα=2得sinα=2cosα，
又sin2α cos2α=1，所以cos2α=15，
因为α∈（0，π2），所以cosα=55，sinα=255，
所以cos（α-π4）=cosαcosπ4 sinαsinπ4
=55×22 255×22=31010.
评注：（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点2三角函数的图象与性质
例2（1）[2017年·新课标I]已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x 2π3），则下面结论正确的是（）
（A）把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
（B）把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
（C）把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
（D）把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
（2）[2017年·山东]函数y=3sin2x cos2x最小正周期为（）
（A）π2（B）2π3（C）π（D）2π
（3）[2017年·新课标III]函数f（x）=15sin（x π3） cos（x-π6）的最大值为（）
（A）65（B）1（C）35（D）15
分析：（1）利用三角图象变换规律，注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别；（2）利用三角恒等变换公式将原函数变形为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，则最小正周期为2π|ω|；（3）与（2）一样，将原函数变形为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，就可得到最大值A B.
解：（1）C1：y=cosx，C2：y=sin（2x 2π3）.首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1：y=cosx用诱导公式处理.
y=cosx=cos（x π2-π2）=sin（x π2）.横坐标变换需将ω=1变成ω=2，即y=sin（x π2）C1上各点横坐标缩短到它原来的12y=sin（2x π2）=sin2（x π4）y=sin（2x 2π3）=sin2（x π3）.
注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x π4平移至x π3，
根据“左加右减”原则，“x π4”到“x π3”需加上π12，即再向左平移π12.故选D.
（2）因为y=3sin2x cos2x=2sin（2x π6），所以其周期T=2π2=π，故选C.
（3）由诱导公式可得：cos（x-π6）=cos[π2-（x π3）]=sin（x π3），
则f（x）=15sin（x π3） sin（x π3）=65sin（x π3），函数的最大值为65.故选A.
评注：（1）对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sinα=cos（α-π2），cosα=sin（α π2）；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x而言.（2）对于函数Asin（ωx φ） B（A>0），它的最小正周期为2π|ω|，最大值为A B，最小值为-A B.
考点3三角函数的综合性问题
例3[2017年·浙江]已知函数f（x）=sin2x-cos2x-23sinxcosx（x∈R）.
（1）求f（2π3）的值.
（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.
分析：（1）可直接将x=2π3代入原函数f（x）的解析式，从而求得f（2π3）的值，也可将原函数f（x）的解析式化为Asin（ωx φ） B（A>0）的形式，再將x=2π3代入，从而求得f（2π3）的值；（2）将原函数f（x）的解析式化为Asin（ωx φ） B（A>0，ω>0）的形式后，则由T=2πω可得最小正周期，利用正弦函数的单调性可求得函数f（x）的单调增区间. 考点7向量模的运算
例7（1）[2017年·新课标III]已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a 2b|=.
（2）[2017年·浙江]已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a b| |a-b|的最小值是，最大值是.
分析：（1）利用|a|=|a|2，也可利用向量加法的几何意义快速找到答案；（2）利用向量减法与减法的几何意义，将其转化为三角函数的最值问题.
解：（1）法1：|a 2b|2=（a 2b）2
=|a|2 2·|a|·|2b|·cos60° （2|b|）2
=22 2×2×2×12 22=4 4 4=12，
∴|a 2b|=12=23.
法2：利用右圖，可以判断出a 2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则|a 2b|=23.
（2）设向量a，b的夹角为θ，则由向量加法与减法的平行四边形法则与三角形法则，有
|a-b|=12 22-2·1·2cosθ
=5-4cosθ，
|a b|=12 22-2·1·2cos（π-θ）
=5 4cosθ，
所以|a b| |a-b|=5 4cosθ 5-4cosθ，
于是（|a b| |a-b|）2=10 225-16cos2θ∈[16，20]，即4≤|a b| |a-b|≤25，
所以|a b| |a-b|的最小值是4，最大值是25.
评注：平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
考点8数量积运算
例8（1）[2017年·新课标II]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB PC）的最小值是（）
（A）-2（B）-32（C）-43（D）-1
（2）[2017年·天津]在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若BD=2DC，AE=λAC-AB（λ∈R），且AD·AE=-4，则λ的值为.
分析：（1）建立坐标系，利用向量坐标法将其转化为解析几何最值问题；（2）以向量AB与AC为基底，将AD与AE线性表示，继而把AD·AE=-4转化为关于λ的方程.
解：（1）建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点，
∴A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.
设P（x，y），PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），
∴PA·（PB PC）=2x2-23y 2y2=2[x2 （y-32）2-34]，
则其最小值为2×（-34）=-32，此时x=0，y=32.
（2）因为AB·AC=3×2×cos60°=3，
由BD=2DC得，AD=13AB 23AC，
所以AD·AE=（13AB 23AC）（λAC-AB）=λ3×3 2λ3×4-13×9-23×3=113λ-5，
所以113λ-5=-4，解得λ=311.
评注：对于平面向量数量积问题，一般可采用基底法和坐标法.而平面向量中有关最值问题的求解通常也有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）