论文部分内容阅读
【摘要】设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1） Z[i]为所有形如a bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整数.在王芳贵的《关于高斯整数环的商环的元素个数的注记》中已经用代数方法证明出|Z[i]/（m ni）|=m2 n2.本文将用几何方法给出这一结论的证明.注意，对于m=0（或n=0）的情况，证明方法同可证.所以，本文只给出m≠0，n≠0的证明.以下我们用|A|表示A种元素的个数.
【关键词】高斯整数环；商环；理想
一、绪 论
（一）记号：Z[i]={a bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]对普通加法和乘法构成一个环，称为高斯整数环.
（二）定义：（1）若环R的非空子集I满足条件：① I是一个子加群；② 对任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此时，我们称I是R的一个理想.
（2）设R是一个环，I是R的一个理想，商群RI关于乘法a·b=ab所生成的环，叫作R关于I的商环，仍用记号RI表示.
（3）设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1），Z[i]为所有形如a bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整數.
二、本 论
（一）高斯整数环其商环元素个数
命题1 如果A为高斯整数点，设A=a bi，且a≠0，b≠0.以OA为边作四边形OABC.又设区域G～为正方形OABC内部的点及OA，OC边上的点（但不包括A点和C点）中的全体高斯整数点，则G～内恰有a2 b2个高斯整数点.
证明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整数点为（a b）2=（a2 b2 2ab）个.长方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整数点均为ab个，其中包括A，C点.三角形BPA与三角形CEO内所含的高斯整数点相同.三角形AOF与三角形BCQ内所含的高斯整数点相同.所以正方形EFGH-长方形HCQB-长方形PAGB中所含的高斯整数点的个数=G～中所含的高斯整数点的个数.故|G～|=a2 b2 2ab-2ab=a2 b2得证.
命题2 如果分别作平行于正方形OABC的各边的平行线且相邻的平行线间的距离相同，设G为所有平行于OA与OC的线束的交点的全体，则G仅含有点（a bi）（c di）=（ac-bd） （ad bc）i，这里c di是任意整数点.
证明 设G1={（a bi）（c di）=（ac-bd） （ad bc）i|c di∈Z[i]}.欲证G1=G.设GG1.对x yi∈G，lA：y=abx与OA平行的直线族lA：y=bax ma2 b2a（m∈Z）.
lC：y=-abx与OC平行的直线族lC：y=-abx na2 b2b（n∈Z），故交点为y=bax ma2 b2a，y=-abx na2 b2b，
故（x，y）=（na-mb，am bn），
取c=nd=m，知（x，y）=（ac-bd，ad bc），
即x yi=（a bi）（c di），c，d∈Z.
故x yi∈G1，故GG1.
下证：G1G.
对x yi∈G1.即存在c di∈Z[i].s.t.x yi=（a bi）（c di），即x=ac-bdy=ad bc.由上知：
直线y=bax da2 b2a与直线y=-abx ca2 b2b的交点为（ac-bd，ad bc），
即交点为（x，y），故x yi∈G.
故G1G，故G1=G.得证.
命题3 对任意高斯整数点x yi存在唯一的高斯整数点c di，e fi满足x yi=（a bi）（c di） （e fi），其中e fi∈G～.
证明 设M点坐标为x yi，其在正方形NSTR上，但不在ST，RT边上，设向量OMMN对应的复数为e fi，因OM=ON NM.由命题2知，|c di∈Z[i].s.t.ON=（a bi）（c di），故由命题1知x yi=（a bi）（c di） （e fi），故e=x-（ac-bd），f=y-（ab bc）.由于x，y，a，b，c，d∈Z.故e，f∈Z，且由向量平移知e fi∈G～.由于ON确定（OM的唯一分解），故e fi唯一确定.得证.
定理 商环Z[i]/（a bi）含有a2 b2个元素.
证明 现利用命题1，2，3.证明a≠0，b≠0的情况（对于a=0，b=0同理可证）.
首先做如下说明：易知
a bi={（c di）（a bi）|c di∈Z[i]}.
令[t=x1 y1i]=t （a bi）=x1 y1i （a bi），即Z[i]/（a bi）={[t]，t∈Z[i]}.
同理有[t=x1 y1i]=[s=x2 y2i]t-s∈（a bi）a bi|t-st，s被a bi整除时有相同余数.
由命题3知：x yi∈Z[i].有x yi=（a bi）（c di） （e fi）.e fi∈G～.
故a bi|x yi-（e fi），故x yi与e fi被整除时有相同的余数.
即[x yi]=[e fi]，
故Z[i]/（a bi）={[e fi]，e fi∈G～.}
由于G～中所含元素个数为a2 b2个.
故|Z[i]/（a bi）|=a2 b2.
结论 本文给出了高斯整数环其商环元素个数的几何求解方法，通过对本课题的研究，加深对高斯整数环的了解，推出定理.在研究本课题的过程中，学会在借鉴前人研究成果的基础上，通过科学的分析和严格的推理，得出新的理论成果.一方面，磨炼自己坚持不懈、百折不挠的顽强意志；另一方面，培养在科学研究的道路上勇攀高峰的奋斗精神.同时，在深刻领悟人类智慧成果的基础上，不断提高自身的数学素质和科研能力，为今后的学习和工作奠定基础.
【关键词】高斯整数环；商环；理想
一、绪 论
（一）记号：Z[i]={a bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]对普通加法和乘法构成一个环，称为高斯整数环.
（二）定义：（1）若环R的非空子集I满足条件：① I是一个子加群；② 对任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此时，我们称I是R的一个理想.
（2）设R是一个环，I是R的一个理想，商群RI关于乘法a·b=ab所生成的环，叫作R关于I的商环，仍用记号RI表示.
（3）设Z表示整数环，i表示虚单位（i=-1），Z[i]为所有形如a bi，（a，b∈Z）的复数组成的集合，称为高斯整数环.高斯整数环中的元素称为高斯整數.
二、本 论
（一）高斯整数环其商环元素个数
命题1 如果A为高斯整数点，设A=a bi，且a≠0，b≠0.以OA为边作四边形OABC.又设区域G～为正方形OABC内部的点及OA，OC边上的点（但不包括A点和C点）中的全体高斯整数点，则G～内恰有a2 b2个高斯整数点.
证明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整数点为（a b）2=（a2 b2 2ab）个.长方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整数点均为ab个，其中包括A，C点.三角形BPA与三角形CEO内所含的高斯整数点相同.三角形AOF与三角形BCQ内所含的高斯整数点相同.所以正方形EFGH-长方形HCQB-长方形PAGB中所含的高斯整数点的个数=G～中所含的高斯整数点的个数.故|G～|=a2 b2 2ab-2ab=a2 b2得证.
命题2 如果分别作平行于正方形OABC的各边的平行线且相邻的平行线间的距离相同，设G为所有平行于OA与OC的线束的交点的全体，则G仅含有点（a bi）（c di）=（ac-bd） （ad bc）i，这里c di是任意整数点.
证明 设G1={（a bi）（c di）=（ac-bd） （ad bc）i|c di∈Z[i]}.欲证G1=G.设GG1.对x yi∈G，lA：y=abx与OA平行的直线族lA：y=bax ma2 b2a（m∈Z）.
lC：y=-abx与OC平行的直线族lC：y=-abx na2 b2b（n∈Z），故交点为y=bax ma2 b2a，y=-abx na2 b2b，
故（x，y）=（na-mb，am bn），
取c=nd=m，知（x，y）=（ac-bd，ad bc），
即x yi=（a bi）（c di），c，d∈Z.
故x yi∈G1，故GG1.
下证：G1G.
对x yi∈G1.即存在c di∈Z[i].s.t.x yi=（a bi）（c di），即x=ac-bdy=ad bc.由上知：
直线y=bax da2 b2a与直线y=-abx ca2 b2b的交点为（ac-bd，ad bc），
即交点为（x，y），故x yi∈G.
故G1G，故G1=G.得证.
命题3 对任意高斯整数点x yi存在唯一的高斯整数点c di，e fi满足x yi=（a bi）（c di） （e fi），其中e fi∈G～.
证明 设M点坐标为x yi，其在正方形NSTR上，但不在ST，RT边上，设向量OMMN对应的复数为e fi，因OM=ON NM.由命题2知，|c di∈Z[i].s.t.ON=（a bi）（c di），故由命题1知x yi=（a bi）（c di） （e fi），故e=x-（ac-bd），f=y-（ab bc）.由于x，y，a，b，c，d∈Z.故e，f∈Z，且由向量平移知e fi∈G～.由于ON确定（OM的唯一分解），故e fi唯一确定.得证.
定理 商环Z[i]/（a bi）含有a2 b2个元素.
证明 现利用命题1，2，3.证明a≠0，b≠0的情况（对于a=0，b=0同理可证）.
首先做如下说明：易知
a bi={（c di）（a bi）|c di∈Z[i]}.
令[t=x1 y1i]=t （a bi）=x1 y1i （a bi），即Z[i]/（a bi）={[t]，t∈Z[i]}.
同理有[t=x1 y1i]=[s=x2 y2i]t-s∈（a bi）a bi|t-st，s被a bi整除时有相同余数.
由命题3知：x yi∈Z[i].有x yi=（a bi）（c di） （e fi）.e fi∈G～.
故a bi|x yi-（e fi），故x yi与e fi被整除时有相同的余数.
即[x yi]=[e fi]，
故Z[i]/（a bi）={[e fi]，e fi∈G～.}
由于G～中所含元素个数为a2 b2个.
故|Z[i]/（a bi）|=a2 b2.
结论 本文给出了高斯整数环其商环元素个数的几何求解方法，通过对本课题的研究，加深对高斯整数环的了解，推出定理.在研究本课题的过程中，学会在借鉴前人研究成果的基础上，通过科学的分析和严格的推理，得出新的理论成果.一方面，磨炼自己坚持不懈、百折不挠的顽强意志；另一方面，培养在科学研究的道路上勇攀高峰的奋斗精神.同时，在深刻领悟人类智慧成果的基础上，不断提高自身的数学素质和科研能力，为今后的学习和工作奠定基础.