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【摘要】基于小波阈值法具有非常明显的渐进近似最优性质，可以在均方差意义下取得最优的去噪效果，利用小波阈值法去噪的技术，对一组建筑物变形监测数据进行去噪处理。实验结果表明，小波阈值去噪合理有效，能够敏感识别观测噪声和有用信息，不需要待检测信号的先验知识，特别适合于建筑物变形监测数据处理。
【关键词】变形监测；小波分析；阈值去噪；软硬阈值折衷法；改进软硬阈值折衷法
1. 引言
（1）小波分析是最近十几年发展起来的新的信号处理技术，其在时域和频域上都可达到高的分辨率，有“数学显微镜”之称。由于小波变换适于分析由短时高频成分和长时低频成分组成且无太多先验知识的信号，可以考虑将小波分析 方法用于建筑物变形监测数据的处理之中（这里信号等同于观测数据，噪声即观测误差），去除观测误差，得到去噪后数据。
（2）在众多小波滤波方法中，阈值方法得到广泛应用。小波阈值法是小波域去噪的主要方法之一，该方法通过选取合适的阈值，采用阈值函数对小波系数进行相应的非线性处理，在最小均方误差意义下可达到近似最优并且可取得较好的视觉效果，因而得到了深入的研究和广泛的应用。其中选取合适的阈值函数是该方法最基本的问题之一。
2. 小波阈值法去噪的基本原理
2.11995年，Dohono D.l[3] 在小波变换的基础上提提出了阈值去噪的方法，其基本思想是，当小波系数 Wj，k小于某个临界阈值时，认为这时的 Wj，k主要是由噪声引起的，应该舍弃；当 Wj，k大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要是由信号引起的，那么就把这一部分的 Wj，k直接保留下来（硬阈值方法）或者按某一个固定量向零收缩（软阈值方法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后信号。
2.2小波阈值去噪基本处理过程[4] ：
（1）分解过程：选定一种小波，对信号进行N层分解。
（2）高频系数的阈值选择与量化过程：对于从第一层到第N层的每一层，选择一个阈值，并且对高频系数作用软阈值处理。
（3）重建过程：降处理后的系数通过小波重建恢复原始信号。
如何将噪声很好的分离，需要考虑选取适当的小波、确立最佳的分解层数和选取合适的阈值；阈值选取和量化是最关键的。
3. 改进的小波阈值去噪方法
3.11995年Dohono D.L和Johnstone教授在小波变换的基础上提出了阈值去噪的方法（wavelet shrinkage）。他们先后提出了硬阈值、软阈值[5] 和几乎硬阈值 [6] 等阈值处理函数。万永福，袁震东[7] 分析了各种传统的阈值处理方法，提出了一个一般化的带有参数 α阈值策略分数幂模型。
3.2软、硬阈值方法虽然在实际工程中得到了比较广泛的应用，并且也取得了较好的效果，但其本身还存在一些缺陷：在硬阈值函数处理过程中，估计小波系数的连续性比较差，当利用估计小波系数重构所得的信号可能会产生一些振荡；而软阈值函数虽然整体连续性较好，但软阈值法对所有大于阈值的系数共同做了收缩，估计的小波系数和原来的小波系数有恒定的偏差，这也影响了去噪后的信号和原始信号的逼近误差。
3.3为此根据上述两种方法的不足之处做了一些改进，人们提出了软硬阈值折衷法 。软硬阈值折衷法相对传统的阈值函数去噪，通过调整α 的值可以达到不同程度的去噪效果。但是它只是软硬阈值的折衷，重构的信号会引起一定程度的振荡。因此根据上述软硬阈值折衷法的不足，本文对软硬阈值折衷发进行了改进，改进的阈值函数为：
3.4从式（2）和式（3）可以说明，当a1时式（1）接近软阈值函数；而当 a∞时，式（1）接近硬阈值函数，由此可知，改进的阈值函数是介于软、硬阈值函数之间的，并且可以通过调整 α和β的值来得到不同的去噪效果。
3.5该改进的软硬阈值折衷法如图1所示：
可以看出函数 f（x）是以y=x 为渐近线的，也就是说，改进的阈值函数是以m，b= wm，b为渐近线的，wm，b 越大，m，b 就逐渐接近wm，b ，这样减小了软阈值函数处理后 m，b与 wm，b之间有恒定的偏差。另外，无论 α、β取何值改进的阈值函数都具有连续性，并且参数 α取值空间要比在软硬阈值折衷法中更大。所以改进的软硬阈值较传统的阈值函数要更加优越。
4. 仿真实验
4.1在变形监测工作中，监测数据是典型的时变信号，它反映的被监测对象的变化趋势。如果存在观测噪声，观测值就不精确，这样会降低对建筑物变形预测的精确度。因此得到准确的原始信号对建筑物变形预测至关重要。
4.2但是要准确的获取原始信号，仅保留低频部分还是不行的，因为是，原始信号中本身也可能包含有一些高频信息，如果简单地将所有分解出来的高频分一概去掉，将导致去噪后信号失真。解决的办法就是选择合理阈值以及阈值策略函数来决定哪些部分保留，哪些部分除去，然后用保留下来的小波分解系数进行重构运算。
图2五种阈值函数去噪效果比较
4.3在某市地铁站基坑开挖影响范围内有一9层民用建筑，为了监测其倾斜变形情况，设立倾斜观测点，采用TOPCOM全站仪以小角度法进行。其中的Q-18点用于监测建筑物沿垂直于基坑轴线方向的倾斜。规定：偏向基坑时的倾斜率为正，偏离基坑时的倾斜率为负值。Q-18点的倾斜观测数据见表1。显然这些数据可以视为离散信号序列，从而作为原始信号。通过MATLAB软件，以含有噪声的倾斜观测数据作为信号进行仿真实验，选用分层阈值选取方式，使用软、硬阈值函数以及软硬阈值折衷法进行仿真实验，实验中采用的小波基是sym4小波，分解层数为3层。结果如图2所示。
4.4从图2可以看到，以上方法去噪后的信号较原信号光滑了很多，而且可以明显观察到累积倾斜值的变化趋势。但是四种阈值函数去噪的效果有所不同，从图上看硬阈值函数去噪后信号产生了一些振荡与其它两种阈值函数去噪效果相比不够光滑。改进阈值函数具有连续性，减小了重构所得的信号可能产生一些振荡，使信号变得光滑（见表2）。 4.5从表2可以看出，改进的几种阈值函数去噪后的信号的信噪比 [9]都要比软阈值法去噪后信号的信噪比大，这是因为这几种函数可以减小了软阈值函数处理后 m，b与 wm，b之间有恒定的偏差。所以这几种阈值函数去噪后信号的信噪比要比软阈值函数大，而且去噪后信号也比硬阈值去噪后要光滑。也就是说，它们是软。硬阈值的折衷。但是α和β 值不是唯一的，如果在一定的范围内选取合适的 α和β，其效果会更加明显。
5. 结论
（1）基于小波阈值法去噪，不但能够有效滤除原始观测值中的高频噪声，而且可以从被高频噪声淹没的观测值中提取有用信息，得到关于被观测对象的长期变化趋势，尤其适合建筑物变形监测的数据处理。
（2）阈值以及阈值策略函数的选取是小波阈值去噪方法的关键，这也是小波去噪的核心步骤，它直接影响了小波去噪效果的优劣。不同的阈值选取和阈值函数都会产生不同的去噪效果。本文给出的改进的阈值函数是传统的软、硬阈值函数的一种折衷，可以调节系数产生不同的去噪效果。
（3） 小波基的构造与选择必须符合具体情况，计算实例表明，使用 sym4小波对变形监测数据进行去噪，能够得到满意结果。因此小波阈值法去噪方法在变形监测数据处理方面有很大的应用价值。
参考文献
[1]飞思科技产品研发中心.小波分析理论与MATLAB 7实现[M].北京：电子工业出版社.2005.
[2]赵瑞珍，胡占义，胡绍海. 天体光谱信号去噪的小波域符合阈值新算法[J].2007，27（8）：1647～1647.
[3]王红燕，邵玉槐，张海，齐锋光.基于小波阈值方法的电能质量扰动去噪分析[J].太远理工大学学报，2006，37（2）185～187.
[4] 懂长虹，小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社.2003.
[5]王红燕，邵玉愧，张海，齐锋光.基于小波阈值方法的电能质量扰动去噪分析[J].太远理工大学学报，2006，37（2）：185～187.
[6]赵瑞珍，胡占义，胡绍海.天体光谱信号去噪的小波域复合阈值新算法[J].光谱学与光谱分析，2007，27（8）：1644～1647.
[7]万福永，袁震东.小波收缩策略的广义分数幂模型[J].华东师范大学学报（白然科学版），2001，8（3）：164～167.
[8]赵瑞珍，宋国乡.一种基于小波变换的白噪声消噪方法的改进[J].西安电子科技大学学报，2000，27（5）：619～622.
[9]程忠良，贾振红，覃锡忠. 基于改进阈值的低压电力线信道中的小波去噪方法[J].电视技术，2009，49（8）：18～21.
[文章编号]1619-2737（2013）01-14-537
【关键词】变形监测；小波分析；阈值去噪；软硬阈值折衷法；改进软硬阈值折衷法
1. 引言
（1）小波分析是最近十几年发展起来的新的信号处理技术，其在时域和频域上都可达到高的分辨率，有“数学显微镜”之称。由于小波变换适于分析由短时高频成分和长时低频成分组成且无太多先验知识的信号，可以考虑将小波分析 方法用于建筑物变形监测数据的处理之中（这里信号等同于观测数据，噪声即观测误差），去除观测误差，得到去噪后数据。
（2）在众多小波滤波方法中，阈值方法得到广泛应用。小波阈值法是小波域去噪的主要方法之一，该方法通过选取合适的阈值，采用阈值函数对小波系数进行相应的非线性处理，在最小均方误差意义下可达到近似最优并且可取得较好的视觉效果，因而得到了深入的研究和广泛的应用。其中选取合适的阈值函数是该方法最基本的问题之一。
2. 小波阈值法去噪的基本原理
2.11995年，Dohono D.l[3] 在小波变换的基础上提提出了阈值去噪的方法，其基本思想是，当小波系数 Wj，k小于某个临界阈值时，认为这时的 Wj，k主要是由噪声引起的，应该舍弃；当 Wj，k大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要是由信号引起的，那么就把这一部分的 Wj，k直接保留下来（硬阈值方法）或者按某一个固定量向零收缩（软阈值方法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后信号。
2.2小波阈值去噪基本处理过程[4] ：
（1）分解过程：选定一种小波，对信号进行N层分解。
（2）高频系数的阈值选择与量化过程：对于从第一层到第N层的每一层，选择一个阈值，并且对高频系数作用软阈值处理。
（3）重建过程：降处理后的系数通过小波重建恢复原始信号。
如何将噪声很好的分离，需要考虑选取适当的小波、确立最佳的分解层数和选取合适的阈值；阈值选取和量化是最关键的。
3. 改进的小波阈值去噪方法
3.11995年Dohono D.L和Johnstone教授在小波变换的基础上提出了阈值去噪的方法（wavelet shrinkage）。他们先后提出了硬阈值、软阈值[5] 和几乎硬阈值 [6] 等阈值处理函数。万永福，袁震东[7] 分析了各种传统的阈值处理方法，提出了一个一般化的带有参数 α阈值策略分数幂模型。
3.2软、硬阈值方法虽然在实际工程中得到了比较广泛的应用，并且也取得了较好的效果，但其本身还存在一些缺陷：在硬阈值函数处理过程中，估计小波系数的连续性比较差，当利用估计小波系数重构所得的信号可能会产生一些振荡；而软阈值函数虽然整体连续性较好，但软阈值法对所有大于阈值的系数共同做了收缩，估计的小波系数和原来的小波系数有恒定的偏差，这也影响了去噪后的信号和原始信号的逼近误差。
3.3为此根据上述两种方法的不足之处做了一些改进，人们提出了软硬阈值折衷法 。软硬阈值折衷法相对传统的阈值函数去噪，通过调整α 的值可以达到不同程度的去噪效果。但是它只是软硬阈值的折衷，重构的信号会引起一定程度的振荡。因此根据上述软硬阈值折衷法的不足，本文对软硬阈值折衷发进行了改进，改进的阈值函数为：
3.4从式（2）和式（3）可以说明，当a1时式（1）接近软阈值函数；而当 a∞时，式（1）接近硬阈值函数，由此可知，改进的阈值函数是介于软、硬阈值函数之间的，并且可以通过调整 α和β的值来得到不同的去噪效果。
3.5该改进的软硬阈值折衷法如图1所示：
可以看出函数 f（x）是以y=x 为渐近线的，也就是说，改进的阈值函数是以m，b= wm，b为渐近线的，wm，b 越大，m，b 就逐渐接近wm，b ，这样减小了软阈值函数处理后 m，b与 wm，b之间有恒定的偏差。另外，无论 α、β取何值改进的阈值函数都具有连续性，并且参数 α取值空间要比在软硬阈值折衷法中更大。所以改进的软硬阈值较传统的阈值函数要更加优越。
4. 仿真实验
4.1在变形监测工作中，监测数据是典型的时变信号，它反映的被监测对象的变化趋势。如果存在观测噪声，观测值就不精确，这样会降低对建筑物变形预测的精确度。因此得到准确的原始信号对建筑物变形预测至关重要。
4.2但是要准确的获取原始信号，仅保留低频部分还是不行的，因为是，原始信号中本身也可能包含有一些高频信息，如果简单地将所有分解出来的高频分一概去掉，将导致去噪后信号失真。解决的办法就是选择合理阈值以及阈值策略函数来决定哪些部分保留，哪些部分除去，然后用保留下来的小波分解系数进行重构运算。
图2五种阈值函数去噪效果比较
4.3在某市地铁站基坑开挖影响范围内有一9层民用建筑，为了监测其倾斜变形情况，设立倾斜观测点，采用TOPCOM全站仪以小角度法进行。其中的Q-18点用于监测建筑物沿垂直于基坑轴线方向的倾斜。规定：偏向基坑时的倾斜率为正，偏离基坑时的倾斜率为负值。Q-18点的倾斜观测数据见表1。显然这些数据可以视为离散信号序列，从而作为原始信号。通过MATLAB软件，以含有噪声的倾斜观测数据作为信号进行仿真实验，选用分层阈值选取方式，使用软、硬阈值函数以及软硬阈值折衷法进行仿真实验，实验中采用的小波基是sym4小波，分解层数为3层。结果如图2所示。
4.4从图2可以看到，以上方法去噪后的信号较原信号光滑了很多，而且可以明显观察到累积倾斜值的变化趋势。但是四种阈值函数去噪的效果有所不同，从图上看硬阈值函数去噪后信号产生了一些振荡与其它两种阈值函数去噪效果相比不够光滑。改进阈值函数具有连续性，减小了重构所得的信号可能产生一些振荡，使信号变得光滑（见表2）。 4.5从表2可以看出，改进的几种阈值函数去噪后的信号的信噪比 [9]都要比软阈值法去噪后信号的信噪比大，这是因为这几种函数可以减小了软阈值函数处理后 m，b与 wm，b之间有恒定的偏差。所以这几种阈值函数去噪后信号的信噪比要比软阈值函数大，而且去噪后信号也比硬阈值去噪后要光滑。也就是说，它们是软。硬阈值的折衷。但是α和β 值不是唯一的，如果在一定的范围内选取合适的 α和β，其效果会更加明显。
5. 结论
（1）基于小波阈值法去噪，不但能够有效滤除原始观测值中的高频噪声，而且可以从被高频噪声淹没的观测值中提取有用信息，得到关于被观测对象的长期变化趋势，尤其适合建筑物变形监测的数据处理。
（2）阈值以及阈值策略函数的选取是小波阈值去噪方法的关键，这也是小波去噪的核心步骤，它直接影响了小波去噪效果的优劣。不同的阈值选取和阈值函数都会产生不同的去噪效果。本文给出的改进的阈值函数是传统的软、硬阈值函数的一种折衷，可以调节系数产生不同的去噪效果。
（3） 小波基的构造与选择必须符合具体情况，计算实例表明，使用 sym4小波对变形监测数据进行去噪，能够得到满意结果。因此小波阈值法去噪方法在变形监测数据处理方面有很大的应用价值。
参考文献
[1]飞思科技产品研发中心.小波分析理论与MATLAB 7实现[M].北京：电子工业出版社.2005.
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[4] 懂长虹，小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社.2003.
[5]王红燕，邵玉愧，张海，齐锋光.基于小波阈值方法的电能质量扰动去噪分析[J].太远理工大学学报，2006，37（2）：185～187.
[6]赵瑞珍，胡占义，胡绍海.天体光谱信号去噪的小波域复合阈值新算法[J].光谱学与光谱分析，2007，27（8）：1644～1647.
[7]万福永，袁震东.小波收缩策略的广义分数幂模型[J].华东师范大学学报（白然科学版），2001，8（3）：164～167.
[8]赵瑞珍，宋国乡.一种基于小波变换的白噪声消噪方法的改进[J].西安电子科技大学学报，2000，27（5）：619～622.
[9]程忠良，贾振红，覃锡忠. 基于改进阈值的低压电力线信道中的小波去噪方法[J].电视技术，2009，49（8）：18～21.
[文章编号]1619-2737（2013）01-14-537