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摘 要：本文以“抛物线的标准方程”的教学设计与评析为例，阐述“活动单”的设计既要注意活动性，又要注意思维性. 教师在实际教学过程中，应该尊重学生，信任学生，通过科学的“活动单”引领学生自主学习，促进学生能力的提升.
关键词：抛物线；标准方程；活动单；思维链
为进一步推进南通市基础教育课程改革，市教科研中心将课程改革的重点放在课堂教学改革上，大力推进“活动单”导学模式下的课堂教学. “活动单”导学是以“活动单”为媒介引导学生在活动中自主、合作学习，实现教学目标的过程. 市教科研中心对课堂提出三点基本要求：“限时讲授，合作学习，踊跃展示”.“限时讲授”指教师在课堂上讲授时间不得超过学生活动时间的一半，留出时间让学生自主合作、探究交流；“合作学习”指教学中必须建立学习小组，学生在组间或组内互动交流；“踊跃展示”指学生在课堂上主动、积极表达，大胆、踊跃展示. 为此，市教科研中心于2013年12月27日在南通市三中开展课堂教学研讨活动，笔者借市三中高二（6）班上了一节“抛物线的标准方程”（第一课时）同课异构课. 在本节课的教学设计中，笔者尊重教材但不拘泥于教材，遵循学生的认知规律，大胆创新，精心设置活动单，明确每个活动的内容、方式、过程、目的，公开课得到与会专家的充分肯定. 笔者整理出本节课的教学设计及设计意图，以期抛砖引玉，供专家、同行研讨并批评指正.
■教材分析
“抛物线的标准方程”是普通高中课程标准实验教科书选修（苏教版）2—1第二章第四节内容. 学生在初中已经学习过二次函数有关知识，对抛物线有一定的了解，同时学生已经研究了椭圆、双曲线的相关知识，对解析几何研究问题的基本方法比较熟悉，这些都为抛物线的学习提供了认知基础. 本节课是“抛物线的标准方程”第一学时，是进一步研究抛物线的性质和运用的基础.
■教学目标
1. 通过几何作图，经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义.
2. 通过建立直角坐标系，根据抛物线的定义建立标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程.
3. 在已有经验（椭圆、双曲线的标准方程及其求法）的基础上，进一步感受解析几何的研究方法，体会数形结合的数学思想.
■教学重点
1. 掌握抛物线的定义.
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导方法.
■教学难点
抛物线的标准方程的推导.
■教学方法
情境·类比·探究·猜想.
■教学手段
多媒体几何画板课件辅助教学.
■教学过程
活动一 阅读交流 方法引领 动画演示 建构概念
1. 阅读交流：阅读教科书P26的本章引言，试结合椭圆、双曲线的学习，谈谈你对解析几何研究方法的理解.
2. 回顾生疑：回顾初中二次函数的有关知识，揭示研究主题.
3. 建构概念：动画演示抛物线的生成过程，剖析抛物线上点的特征，建构抛物线的概念.
设计意图：由本章引言中美国数学家克莱因的名言“解析几何彻底改变了数学的研究方法”点燃学生的思维火花，学生结合椭圆、双曲线的学习再次阅读本章引言文本内容，对解析几何研究问题的基本方法的体会一定比起始课时更实在、更深切. 通过小组内交流、师生对话，学生进一步明确研究椭圆、双曲线的一般思路（定义—方程—性质），从而为抛物线的研究指明方向. 回顾初中二次函数有关知识，既尊重学生的学习实际，为新知识提供生长点，同时又引发新的认知冲突：为什么二次函数的图象是抛物线？抛物线上的点究竟有怎样的规律？由此对抛物线定义的研究呼之欲出. 教师先利用几何画板演示、呈现抛物线图形，再利用几何画板的度量功能，揭示抛物线的本质特征，即抛物线上的点“到定点的距离与到定直线的距离相等”，自然生成抛物线的定义. 在概念的形成过程中，教师并非直接抛出定义，而是通过提问、追问，逼出学生将概念中的“平面内”、“点F不在直线l上”等条件补充完整，从而建构完整的抛物线概念.
活动二 类比迁移 小组讨论 建立方程 板书展示
设焦点F到准线l的距离为p. 试建立适当的直角坐标系，推导抛物线的方程.
■
图2
设计意图：通过类比椭圆、双曲线的学习，学生明确在研究了抛物线的定义后必然研究抛物线的标准方程.放手让学生独立思考、小组讨论，得出两种不同的建系方法，一是以抛物线的准线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py-p2；二是以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py. 这一阶段的活动安排是独立思考、小组讨论、板书展示、学生评价、师生完善、投影完整推导过程. 通过比较不同的建系方法下得到的抛物线方程，自然生成抛物线的标准方程. 通过比较抛物线的标准方程和二次函数的最简解析式，解决了活动一中产生的疑问：为什么二次函数的图象是抛物线. 在得出抛物线的标准方程后，再通过数形结合，引导学生明确焦点及准线的位置，明晰抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间的数量关系. 这样处理，既是对标准方程的认识，也为接下来新知的运用做好铺垫.
活动三 数学运用 巩固新知 规范展示 理解提升
例 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）x2=4 y；（2）y=2x2.？摇
设计意图：设计两道简单例题的目的：①帮助学生进一步熟悉抛物线的标准方程及简单运用；②根据抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程，必须将方程化成标准形式.在此由学生展示解答结果，师生共同辨析第2题中2p=2对不对，进而明确抛物线标准方程的形式，提高学生的辨误能力. 练习 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0，6）；
（2）准线方程为y=-■；
（3）过点（1，2），且开口向上.
设计意图：通过反向设问，根据抛物线的焦点坐标及准线方程求抛物线方程，学生进一步认识抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的数量关系. 同时，学生在潜移默化中体会到抛物线的焦点在y轴的正半轴时抛物线开口向上，为接下来研究其他位置的抛物线标准方程时应该考虑焦点位置及开口方向埋下伏笔. 通过练习（3），明确求抛物线的标准方程也就是求参数p，可以选用待定系数法.
活动四 大胆猜想 合情推理 合作交流 完善知识
设计意图：学生在研究了开口向上的抛物线的基础上对照二次函数，猜想出开口向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 接着类比椭圆、双曲线的标准方程的两种形式及其原因，进一步猜想出抛物线的开口还可以向左、向右，进而研究此时的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.在师生充分交流的基础上，让学生通过表格的填写，完善本节课的知识结构. 引导学生观察表格，结合开口向上的抛物线标准方程的运用，让学生通过举例来探究该表格的作用. 学生举例：已知抛物线的焦点坐标为（0，-6），求抛物线的标准方程.教师进一步引导学生思考焦点为（6，0），（-6，0）时抛物线的标准方程和焦点坐标，学生思维顿时打开，各种问题精彩纷呈：已知抛物线标准方程为y2=2x，求抛物线的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程和焦点坐标等等. 通过师生的充分交流，学生总结出在标准方程、焦点坐标、准线方程中能够知一求二，为下一节课进一步研究抛物线的运用做好铺垫. 对照表格，引发学生课后思考：二次函数与标准方程都是在研究抛物线，它们有怎样的异同点？这样处理呼应上课之初对二次函数的回顾，同时又激发学生研究的热情.
活动五 自主归纳 梳理知识 反馈练习 拓展思考
通过本节课的学习，你有哪些收获与困惑？
设计意图：课堂小结的设计主要是基于如下考虑：①没有采用教师总结、学生记录的一般做法，避免出现临下课学生有懈怠的心理；②学生通过自主归纳，梳理抛物线的研究主线：定义——标准方程——性质，体会数形结合、类比的数学思想方法，进一步明晰解析几何研究问题的一般方法，形成较深刻的印象；③教师一方面及时补充，完善知识结构，另一方面站在数学思想方法的高度指导学生，让学生更全面地认识抛物线，指出接下来的研究方向是抛物线的性质及其运用，为下一节的学习埋下伏笔.
■课后作业
必做题
1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
？摇？摇？摇（1）x2=6y；？摇？摇？摇？摇？摇 （2）y=6x2；
2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0， ■）；
（2）准线方程为y=-■.
3. 求以直线2x-3y+6=0与y轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
选做题
4. 求二次函数y=ax2（a>0）对应的抛物线的焦点坐标和准线方程.
思考题？摇 平面内到一个定点F和一条定直线l（F在l上）距离相等的点的轨迹是什么？
设计意图：适度训练帮助学生及时巩固新知，选做题是对抛物线标准方程的进一步研究，让学生更清楚地认识到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者间存在的数量关系，思考题是对定义中焦点F不在准线l上的进一步理解，留给学生课后思考，避免了课堂上冲淡主题，同时又激发学生的思维，开阔学生的视野，加深对抛物线定义的理解.
■本节课教学设计理念
新课程理念积极倡导自主、合作、探究的学习方式，主张学生由被动接受变为主动探索. “活动单”导学模式下的课堂能减少教师低效的“一讲到底”，增加学生的有效学习，但是有些“活动单”只是将活动设计成简单的问题的堆砌，并不能充分发挥“活动单”的效能. 设计科学的“活动单”，明确每个活动的内容、方式、过程和目的，通过显性的活动单体现隐性的思维链，同时用隐性的思维链串起每一个活动，使得每一个活动具有针对性，活动间的过渡具有自然性. 设计科学的“活动单”，尊重学生的实际和差异，在学生的“最近发展区”设置问题，引导学生积极思维，使每个学生都获得最大限度的发展，更好地体现“活动单”的目标引领作用. 在安排每个活动时，选择适当的活动方式，充分信任学生，放手学生活动，教师发挥组织者、引导者的作用，将课堂导向思维的深水区，积极打造高效课堂.
关键词：抛物线；标准方程；活动单；思维链
为进一步推进南通市基础教育课程改革，市教科研中心将课程改革的重点放在课堂教学改革上，大力推进“活动单”导学模式下的课堂教学. “活动单”导学是以“活动单”为媒介引导学生在活动中自主、合作学习，实现教学目标的过程. 市教科研中心对课堂提出三点基本要求：“限时讲授，合作学习，踊跃展示”.“限时讲授”指教师在课堂上讲授时间不得超过学生活动时间的一半，留出时间让学生自主合作、探究交流；“合作学习”指教学中必须建立学习小组，学生在组间或组内互动交流；“踊跃展示”指学生在课堂上主动、积极表达，大胆、踊跃展示. 为此，市教科研中心于2013年12月27日在南通市三中开展课堂教学研讨活动，笔者借市三中高二（6）班上了一节“抛物线的标准方程”（第一课时）同课异构课. 在本节课的教学设计中，笔者尊重教材但不拘泥于教材，遵循学生的认知规律，大胆创新，精心设置活动单，明确每个活动的内容、方式、过程、目的，公开课得到与会专家的充分肯定. 笔者整理出本节课的教学设计及设计意图，以期抛砖引玉，供专家、同行研讨并批评指正.
■教材分析
“抛物线的标准方程”是普通高中课程标准实验教科书选修（苏教版）2—1第二章第四节内容. 学生在初中已经学习过二次函数有关知识，对抛物线有一定的了解，同时学生已经研究了椭圆、双曲线的相关知识，对解析几何研究问题的基本方法比较熟悉，这些都为抛物线的学习提供了认知基础. 本节课是“抛物线的标准方程”第一学时，是进一步研究抛物线的性质和运用的基础.
■教学目标
1. 通过几何作图，经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义.
2. 通过建立直角坐标系，根据抛物线的定义建立标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程.
3. 在已有经验（椭圆、双曲线的标准方程及其求法）的基础上，进一步感受解析几何的研究方法，体会数形结合的数学思想.
■教学重点
1. 掌握抛物线的定义.
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导方法.
■教学难点
抛物线的标准方程的推导.
■教学方法
情境·类比·探究·猜想.
■教学手段
多媒体几何画板课件辅助教学.
■教学过程
活动一 阅读交流 方法引领 动画演示 建构概念
1. 阅读交流：阅读教科书P26的本章引言，试结合椭圆、双曲线的学习，谈谈你对解析几何研究方法的理解.
2. 回顾生疑：回顾初中二次函数的有关知识，揭示研究主题.
3. 建构概念：动画演示抛物线的生成过程，剖析抛物线上点的特征，建构抛物线的概念.
设计意图：由本章引言中美国数学家克莱因的名言“解析几何彻底改变了数学的研究方法”点燃学生的思维火花，学生结合椭圆、双曲线的学习再次阅读本章引言文本内容，对解析几何研究问题的基本方法的体会一定比起始课时更实在、更深切. 通过小组内交流、师生对话，学生进一步明确研究椭圆、双曲线的一般思路（定义—方程—性质），从而为抛物线的研究指明方向. 回顾初中二次函数有关知识，既尊重学生的学习实际，为新知识提供生长点，同时又引发新的认知冲突：为什么二次函数的图象是抛物线？抛物线上的点究竟有怎样的规律？由此对抛物线定义的研究呼之欲出. 教师先利用几何画板演示、呈现抛物线图形，再利用几何画板的度量功能，揭示抛物线的本质特征，即抛物线上的点“到定点的距离与到定直线的距离相等”，自然生成抛物线的定义. 在概念的形成过程中，教师并非直接抛出定义，而是通过提问、追问，逼出学生将概念中的“平面内”、“点F不在直线l上”等条件补充完整，从而建构完整的抛物线概念.
活动二 类比迁移 小组讨论 建立方程 板书展示
设焦点F到准线l的距离为p. 试建立适当的直角坐标系，推导抛物线的方程.
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图2
设计意图：通过类比椭圆、双曲线的学习，学生明确在研究了抛物线的定义后必然研究抛物线的标准方程.放手让学生独立思考、小组讨论，得出两种不同的建系方法，一是以抛物线的准线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py-p2；二是以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，推导出抛物线方程为x2=2py. 这一阶段的活动安排是独立思考、小组讨论、板书展示、学生评价、师生完善、投影完整推导过程. 通过比较不同的建系方法下得到的抛物线方程，自然生成抛物线的标准方程. 通过比较抛物线的标准方程和二次函数的最简解析式，解决了活动一中产生的疑问：为什么二次函数的图象是抛物线. 在得出抛物线的标准方程后，再通过数形结合，引导学生明确焦点及准线的位置，明晰抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间的数量关系. 这样处理，既是对标准方程的认识，也为接下来新知的运用做好铺垫.
活动三 数学运用 巩固新知 规范展示 理解提升
例 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）x2=4 y；（2）y=2x2.？摇
设计意图：设计两道简单例题的目的：①帮助学生进一步熟悉抛物线的标准方程及简单运用；②根据抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程，必须将方程化成标准形式.在此由学生展示解答结果，师生共同辨析第2题中2p=2对不对，进而明确抛物线标准方程的形式，提高学生的辨误能力. 练习 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0，6）；
（2）准线方程为y=-■；
（3）过点（1，2），且开口向上.
设计意图：通过反向设问，根据抛物线的焦点坐标及准线方程求抛物线方程，学生进一步认识抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的数量关系. 同时，学生在潜移默化中体会到抛物线的焦点在y轴的正半轴时抛物线开口向上，为接下来研究其他位置的抛物线标准方程时应该考虑焦点位置及开口方向埋下伏笔. 通过练习（3），明确求抛物线的标准方程也就是求参数p，可以选用待定系数法.
活动四 大胆猜想 合情推理 合作交流 完善知识
设计意图：学生在研究了开口向上的抛物线的基础上对照二次函数，猜想出开口向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 接着类比椭圆、双曲线的标准方程的两种形式及其原因，进一步猜想出抛物线的开口还可以向左、向右，进而研究此时的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.在师生充分交流的基础上，让学生通过表格的填写，完善本节课的知识结构. 引导学生观察表格，结合开口向上的抛物线标准方程的运用，让学生通过举例来探究该表格的作用. 学生举例：已知抛物线的焦点坐标为（0，-6），求抛物线的标准方程.教师进一步引导学生思考焦点为（6，0），（-6，0）时抛物线的标准方程和焦点坐标，学生思维顿时打开，各种问题精彩纷呈：已知抛物线标准方程为y2=2x，求抛物线的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程和焦点坐标等等. 通过师生的充分交流，学生总结出在标准方程、焦点坐标、准线方程中能够知一求二，为下一节课进一步研究抛物线的运用做好铺垫. 对照表格，引发学生课后思考：二次函数与标准方程都是在研究抛物线，它们有怎样的异同点？这样处理呼应上课之初对二次函数的回顾，同时又激发学生研究的热情.
活动五 自主归纳 梳理知识 反馈练习 拓展思考
通过本节课的学习，你有哪些收获与困惑？
设计意图：课堂小结的设计主要是基于如下考虑：①没有采用教师总结、学生记录的一般做法，避免出现临下课学生有懈怠的心理；②学生通过自主归纳，梳理抛物线的研究主线：定义——标准方程——性质，体会数形结合、类比的数学思想方法，进一步明晰解析几何研究问题的一般方法，形成较深刻的印象；③教师一方面及时补充，完善知识结构，另一方面站在数学思想方法的高度指导学生，让学生更全面地认识抛物线，指出接下来的研究方向是抛物线的性质及其运用，为下一节的学习埋下伏笔.
■课后作业
必做题
1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
？摇？摇？摇（1）x2=6y；？摇？摇？摇？摇？摇 （2）y=6x2；
2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为（0， ■）；
（2）准线方程为y=-■.
3. 求以直线2x-3y+6=0与y轴的交点为焦点的抛物线的标准方程.
选做题
4. 求二次函数y=ax2（a>0）对应的抛物线的焦点坐标和准线方程.
思考题？摇 平面内到一个定点F和一条定直线l（F在l上）距离相等的点的轨迹是什么？
设计意图：适度训练帮助学生及时巩固新知，选做题是对抛物线标准方程的进一步研究，让学生更清楚地认识到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者间存在的数量关系，思考题是对定义中焦点F不在准线l上的进一步理解，留给学生课后思考，避免了课堂上冲淡主题，同时又激发学生的思维，开阔学生的视野，加深对抛物线定义的理解.
■本节课教学设计理念
新课程理念积极倡导自主、合作、探究的学习方式，主张学生由被动接受变为主动探索. “活动单”导学模式下的课堂能减少教师低效的“一讲到底”，增加学生的有效学习，但是有些“活动单”只是将活动设计成简单的问题的堆砌，并不能充分发挥“活动单”的效能. 设计科学的“活动单”，明确每个活动的内容、方式、过程和目的，通过显性的活动单体现隐性的思维链，同时用隐性的思维链串起每一个活动，使得每一个活动具有针对性，活动间的过渡具有自然性. 设计科学的“活动单”，尊重学生的实际和差异，在学生的“最近发展区”设置问题，引导学生积极思维，使每个学生都获得最大限度的发展，更好地体现“活动单”的目标引领作用. 在安排每个活动时，选择适当的活动方式，充分信任学生，放手学生活动，教师发挥组织者、引导者的作用，将课堂导向思维的深水区，积极打造高效课堂.