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以前总以为自己已经教书多年，对教材已经很熟悉，见识过较多的素材，平时也尽可能选择自我感觉比较实用的教学方法，在自我封闭的小圈里看不到外面精彩世界。去年有幸到江苏省天一高级中学参加他们举办的“聚焦课堂生长课堂”研讨会，给我触动很大，至今记忆犹新，一节看似很普通的课堂可以上得如此非同寻常。
这是以碳酸钠和碳酸氢钠两种盐为课题的同课异构课型。去听课之前，我又把文本熟悉了一遍，本节课属于“元素化合物性质”的学习，条理性强，看似很易上但又有难突破的课题。我自己也设想了本节课的几种可能上法：如果学生的基础不是很好而课时又很紧，常规课采取讲授法和实验验证法，这样思路清晰，学生易于接受和理解；若为展示课则让学生参与实验验证物质性质通过实验现象刺激学生感官，便于记忆，同时迎合现在所提倡的学生为主体教学理念，烘托所谓的 “探究气氛”；对于基础稍好且有一定设计能力的学生，可以让他们根据已知性质设计可行的鉴别方案，然后去实验验证探究。仔细思考这些教学方案看似四平八稳，却总难有所突破。那么这次来自全国开课的名师会用什么方式展开这节课，会有什么样的精彩突破？
来自江苏省常州中学的曹丽敏老师的一节课让我感觉像品尝一次陈年佳酿，欲久弥香，让我深深感受到名师的大气与智慧。
江苏省常州中学曹丽敏老师课堂实录：
上课引入：图片色泽诱人的桂花芋头和月饼。对于刚过去不久的中秋佳节必备食品，学生表现很兴奋同时又有点摸不着头脑，很快有同学反应过来了，这肯定与本节课有关系。作为听课教师的我也为之一怔，在教材中确实说明碳酸盐的使用：食品添加剂。
进一步追问：煮桂花糖芋头为什么加碳酸钠？利用它的哪些化学性质？加碳酸氢钠可以吗？学生的求知欲被调动起来，师生互动非常自然，知识获取在谈话式的课堂气氛中展开了。
师生互动中讨论碳酸盐相关知识后，设计出不同验证或鉴别碳酸钠和碳酸氢钠的可能方案。
师：想知道自己的设计方案是否可行吗？那就自己动手做做！
在学生实验过程中，曹老师很少“引导”，她只是观察各个小组的实验方式、出现结果。任由他们争论结果差异，学生请她评判时，她轻轻反问你们的操作有差异吗？不同组别的学生又在一起探讨试剂用量多少、滴加顺序先后等差异原因，由不相信转为重新做实验实践，然后又出现恍然大悟的表情。所有学生都忙得不亦乐乎，却又井然有序。通过实验学生掌握了碳酸钠与碳酸氢钠化学性质及差异，进而在老师的引导下探讨得出可行的检验、鉴别方法。整个过程曹老师好像游离在课堂之外却又有一根无形的指挥棒在指挥。学生在曹老师的引导下结合文本知识设计出原本由我们教师预备在课堂讲授的鉴别方案，本节课的知识都通过学生的表达在课堂呈现，方案从学生中间走出是那么自然，一节课精致而又灵气四溢。
看看时间还有2分钟下课，应该总结了吧？回顾一下本节课的知识要点，加深理解，多完美的一节课啊。
师：同学们请看！生：啊？！康师傅绿茶？学生又是一个惊奇：老师的葫芦里又要卖什么特效药。
曹老师迅速倒出两份，然后分别加入了碳酸钠和碳酸氢钠，很快出现了不同颜色变化，快速检验出了两种物质。咦？！好奇妙啊，原来身边就有如此简单易行的操作方法啊！什么原理？
生：老师红茶可以鉴别吗？红酒可以吗？奶茶可以吗？……叮铃铃……下课了，学生还在追问。
师：方案还有很多，希望你们继续寻找、实践。下课！
本节课给我很大触动，这位特级教师不仅有扎实独特的教学智慧，更有一种不断探索的精神。她让我们这些老师在思考，在拷问自己：我们的教学智慧很成熟了吗？是下功夫“备课”还是仅仅停留在“背课”了我们曾经一直怀疑高一学生的独立解决问题的能力有依据吗？是我们不愿意放手还是学生真的不会学习？！也让她的学生不断询问自己：“还有更多可行的、实用的方法吗”？ 曹老师的课在给学生一个又一个惊奇中不断引领学生去思考探究，没有枯燥的说教，学生却一直处于极高的兴奋状态，他们不是被动接受知识而是带着强烈的求知欲去探究。
按照评课规则，曹老师的课是一节不完整的课，开始觉得是这节精彩课的遗憾，几个月后，我不再为曹老师惋惜，因为我慢慢地品出这节课的不平凡了，这种“缺憾”正是这节课的精华所在。学生在这样的课堂中学习时刻感受到：我可以解决这个问题，我再试试我一定可以解决，还会有更多的方法的，哪一个更合适呢？遇到新问题学生肯定不会慌乱，这种能力将使他们受益一辈子。
这样一堂看似“不完整”的课、“不精致”的课却充满了灵气。真所谓教师“花未全开，却已香气四溢”，学生思维已绚丽绽放！
数学解题教学中的分类讨论
江苏盐城市南洋中学姜洋
分类讨论是高中数学中一种重要的逻辑方法和数学思想。它是指，在解决某些数学问题时，有时会遇到多种情况，当对问题的对象无法进行统一分析时，需要将所分析的对象可能会出现的各种情况进行分类，然后逐一分析讨论，最后再对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
分类讨论题覆盖的知识面较多，具有较强的逻辑性、综合性、探索性，对于训练学生的思维概括性和条理性，培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析和解决问题的能力，都有着十分重要的作用。
一、分类讨论的原则
在解答分类讨论间题时，我们应充分考虑两个条件，遵循四大基本原则。
两个条件为：（1）做到分类不重复，层次分明并根据问题的条件性质，尽量减少分类次数；（2）做到分类不遗漏，不进行越级讨论。
四大基本原则为：（1）相称性原则：分类应相称，即划分后各子项外延的总和应与母项的外延一致。（2）统一性原则：分类时应按照统一标准进行分类，即每一次分类都必须使用相同的分类依据。（3）互斥性原则：分类后的每个子项都是独立的，互不相容的。即分类后各个子项应做到相互排斥，不能既属于这个子项，又属于那个子项。（4）分层性原则：分类可分为一次分类和多次分类，一次分类是指被讨论对象只进行一次分类；多次分类是指先按某个性质对所讨论的对象进行一次分类，然后将分类后所得的子项看成母项，再进行一次分类，直到分到不能再分为止，多次分类通常用在比较复杂的分类对象上。 二、分类讨论在高中数学解题教学中的运用
第一，明确讨论对象，即具体讨论哪个参数；第二，按某个性质对所讨论的对象进行分类，分类时做到不重不漏，层次分明，统一标准；第三，逐一对各类问题进行讨论分析，得出结果；第四，归纳整理，对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
（1）在函数中的分类讨论。
例1设f（a）=a6-a3 a2-a 1。求证：对于任意实数a，都有f（a）>0。
分析：本题是多项式求和问题，且每一项都为同底，此时可将本题与指数函数f（x）=ax联系起来，并结合f（x）= ax的单调性加以证明，而指数函数f（x）=ax的单调性与它的底数a密切相关，因此需要进行分类讨论。
解：①当a=0或a=1时，f（a）=a6-a3 a2-a 1=1＞0。
②当a＜0时，a的奇次幂为负数，偶次幂为正数，则
f（a）=a6 （-a）3 a2 （-a） 1≥1，即f（a） ＞0。
③当0＜a＜1时，指数函数f（x）= ax为减函数，所以a3＜a2，则
f（a）=a6 （a2-a3） （1-a）＞0。
④当a＜1时，指数函数f（x）=ax为增函数，所以a6＞a3，a2＞a，则
f（a）= （a6-a3） （a2-a） 1＞1。
所以综上所述，对于任意实数a，都有f（a） ＞0。
（2）在不等式中的分类讨论。
例2已知k∈N，求满足不等式丨a丨 丨b丨＜k的整数解组的（a， b）的解集。
分析：此题直接给出解答是比较困难的，需要把k看做参数，整数解的组数直接与k有关，可设它为g（k），需要运用分类讨论从特殊情况入手，从中寻求出计算的规律，做出猜想，再设法证明其结论。
解：①当k=1时，有解（0，0），即g（1）=1。
②当k=2时，有解（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）。
即g（2）=1 4=5。
③当k=3时，有解（0，0），（±1，0），（0，±1），（0，±2），（±2，0），（±1，±1）。
即g（3）=1 4 4×2=13。
④当k=4时，有解（0，0）， （0， ±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，1），（±1，±2），（±2，0），（±2，1），（±3，0）。
即g（4）=1 4 4×2 4×3=25。
由此可猜想出：g（k）=1 4×1 4×2 4×3 4×4 … 4（k-1）。
从而推得递推公式g（k）= g（k-1） 4（k-1）。
总之，分类讨论是高中数学中一种重要的解题策略。在教学中，教师应引导学生正确把握分类讨论的原则，做到不重复、不遗漏，逐类讨论、分级进行，并不断加强学生运用数学分类讨论思想的训练，锻炼学生逻辑思维的严谨性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
这是以碳酸钠和碳酸氢钠两种盐为课题的同课异构课型。去听课之前，我又把文本熟悉了一遍，本节课属于“元素化合物性质”的学习，条理性强，看似很易上但又有难突破的课题。我自己也设想了本节课的几种可能上法：如果学生的基础不是很好而课时又很紧，常规课采取讲授法和实验验证法，这样思路清晰，学生易于接受和理解；若为展示课则让学生参与实验验证物质性质通过实验现象刺激学生感官，便于记忆，同时迎合现在所提倡的学生为主体教学理念，烘托所谓的 “探究气氛”；对于基础稍好且有一定设计能力的学生，可以让他们根据已知性质设计可行的鉴别方案，然后去实验验证探究。仔细思考这些教学方案看似四平八稳，却总难有所突破。那么这次来自全国开课的名师会用什么方式展开这节课，会有什么样的精彩突破？
来自江苏省常州中学的曹丽敏老师的一节课让我感觉像品尝一次陈年佳酿，欲久弥香，让我深深感受到名师的大气与智慧。
江苏省常州中学曹丽敏老师课堂实录：
上课引入：图片色泽诱人的桂花芋头和月饼。对于刚过去不久的中秋佳节必备食品，学生表现很兴奋同时又有点摸不着头脑，很快有同学反应过来了，这肯定与本节课有关系。作为听课教师的我也为之一怔，在教材中确实说明碳酸盐的使用：食品添加剂。
进一步追问：煮桂花糖芋头为什么加碳酸钠？利用它的哪些化学性质？加碳酸氢钠可以吗？学生的求知欲被调动起来，师生互动非常自然，知识获取在谈话式的课堂气氛中展开了。
师生互动中讨论碳酸盐相关知识后，设计出不同验证或鉴别碳酸钠和碳酸氢钠的可能方案。
师：想知道自己的设计方案是否可行吗？那就自己动手做做！
在学生实验过程中，曹老师很少“引导”，她只是观察各个小组的实验方式、出现结果。任由他们争论结果差异，学生请她评判时，她轻轻反问你们的操作有差异吗？不同组别的学生又在一起探讨试剂用量多少、滴加顺序先后等差异原因，由不相信转为重新做实验实践，然后又出现恍然大悟的表情。所有学生都忙得不亦乐乎，却又井然有序。通过实验学生掌握了碳酸钠与碳酸氢钠化学性质及差异，进而在老师的引导下探讨得出可行的检验、鉴别方法。整个过程曹老师好像游离在课堂之外却又有一根无形的指挥棒在指挥。学生在曹老师的引导下结合文本知识设计出原本由我们教师预备在课堂讲授的鉴别方案，本节课的知识都通过学生的表达在课堂呈现，方案从学生中间走出是那么自然，一节课精致而又灵气四溢。
看看时间还有2分钟下课，应该总结了吧？回顾一下本节课的知识要点，加深理解，多完美的一节课啊。
师：同学们请看！生：啊？！康师傅绿茶？学生又是一个惊奇：老师的葫芦里又要卖什么特效药。
曹老师迅速倒出两份，然后分别加入了碳酸钠和碳酸氢钠，很快出现了不同颜色变化，快速检验出了两种物质。咦？！好奇妙啊，原来身边就有如此简单易行的操作方法啊！什么原理？
生：老师红茶可以鉴别吗？红酒可以吗？奶茶可以吗？……叮铃铃……下课了，学生还在追问。
师：方案还有很多，希望你们继续寻找、实践。下课！
本节课给我很大触动，这位特级教师不仅有扎实独特的教学智慧，更有一种不断探索的精神。她让我们这些老师在思考，在拷问自己：我们的教学智慧很成熟了吗？是下功夫“备课”还是仅仅停留在“背课”了我们曾经一直怀疑高一学生的独立解决问题的能力有依据吗？是我们不愿意放手还是学生真的不会学习？！也让她的学生不断询问自己：“还有更多可行的、实用的方法吗”？ 曹老师的课在给学生一个又一个惊奇中不断引领学生去思考探究，没有枯燥的说教，学生却一直处于极高的兴奋状态，他们不是被动接受知识而是带着强烈的求知欲去探究。
按照评课规则，曹老师的课是一节不完整的课，开始觉得是这节精彩课的遗憾，几个月后，我不再为曹老师惋惜，因为我慢慢地品出这节课的不平凡了，这种“缺憾”正是这节课的精华所在。学生在这样的课堂中学习时刻感受到：我可以解决这个问题，我再试试我一定可以解决，还会有更多的方法的，哪一个更合适呢？遇到新问题学生肯定不会慌乱，这种能力将使他们受益一辈子。
这样一堂看似“不完整”的课、“不精致”的课却充满了灵气。真所谓教师“花未全开，却已香气四溢”，学生思维已绚丽绽放！
数学解题教学中的分类讨论
江苏盐城市南洋中学姜洋
分类讨论是高中数学中一种重要的逻辑方法和数学思想。它是指，在解决某些数学问题时，有时会遇到多种情况，当对问题的对象无法进行统一分析时，需要将所分析的对象可能会出现的各种情况进行分类，然后逐一分析讨论，最后再对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
分类讨论题覆盖的知识面较多，具有较强的逻辑性、综合性、探索性，对于训练学生的思维概括性和条理性，培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析和解决问题的能力，都有着十分重要的作用。
一、分类讨论的原则
在解答分类讨论间题时，我们应充分考虑两个条件，遵循四大基本原则。
两个条件为：（1）做到分类不重复，层次分明并根据问题的条件性质，尽量减少分类次数；（2）做到分类不遗漏，不进行越级讨论。
四大基本原则为：（1）相称性原则：分类应相称，即划分后各子项外延的总和应与母项的外延一致。（2）统一性原则：分类时应按照统一标准进行分类，即每一次分类都必须使用相同的分类依据。（3）互斥性原则：分类后的每个子项都是独立的，互不相容的。即分类后各个子项应做到相互排斥，不能既属于这个子项，又属于那个子项。（4）分层性原则：分类可分为一次分类和多次分类，一次分类是指被讨论对象只进行一次分类；多次分类是指先按某个性质对所讨论的对象进行一次分类，然后将分类后所得的子项看成母项，再进行一次分类，直到分到不能再分为止，多次分类通常用在比较复杂的分类对象上。 二、分类讨论在高中数学解题教学中的运用
第一，明确讨论对象，即具体讨论哪个参数；第二，按某个性质对所讨论的对象进行分类，分类时做到不重不漏，层次分明，统一标准；第三，逐一对各类问题进行讨论分析，得出结果；第四，归纳整理，对讨论得到的各类问题的结果进行归纳整理，得出整个问题的最终结果。
（1）在函数中的分类讨论。
例1设f（a）=a6-a3 a2-a 1。求证：对于任意实数a，都有f（a）>0。
分析：本题是多项式求和问题，且每一项都为同底，此时可将本题与指数函数f（x）=ax联系起来，并结合f（x）= ax的单调性加以证明，而指数函数f（x）=ax的单调性与它的底数a密切相关，因此需要进行分类讨论。
解：①当a=0或a=1时，f（a）=a6-a3 a2-a 1=1＞0。
②当a＜0时，a的奇次幂为负数，偶次幂为正数，则
f（a）=a6 （-a）3 a2 （-a） 1≥1，即f（a） ＞0。
③当0＜a＜1时，指数函数f（x）= ax为减函数，所以a3＜a2，则
f（a）=a6 （a2-a3） （1-a）＞0。
④当a＜1时，指数函数f（x）=ax为增函数，所以a6＞a3，a2＞a，则
f（a）= （a6-a3） （a2-a） 1＞1。
所以综上所述，对于任意实数a，都有f（a） ＞0。
（2）在不等式中的分类讨论。
例2已知k∈N，求满足不等式丨a丨 丨b丨＜k的整数解组的（a， b）的解集。
分析：此题直接给出解答是比较困难的，需要把k看做参数，整数解的组数直接与k有关，可设它为g（k），需要运用分类讨论从特殊情况入手，从中寻求出计算的规律，做出猜想，再设法证明其结论。
解：①当k=1时，有解（0，0），即g（1）=1。
②当k=2时，有解（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）。
即g（2）=1 4=5。
③当k=3时，有解（0，0），（±1，0），（0，±1），（0，±2），（±2，0），（±1，±1）。
即g（3）=1 4 4×2=13。
④当k=4时，有解（0，0）， （0， ±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，1），（±1，±2），（±2，0），（±2，1），（±3，0）。
即g（4）=1 4 4×2 4×3=25。
由此可猜想出：g（k）=1 4×1 4×2 4×3 4×4 … 4（k-1）。
从而推得递推公式g（k）= g（k-1） 4（k-1）。
总之，分类讨论是高中数学中一种重要的解题策略。在教学中，教师应引导学生正确把握分类讨论的原则，做到不重复、不遗漏，逐类讨论、分级进行，并不断加强学生运用数学分类讨论思想的训练，锻炼学生逻辑思维的严谨性，提高学生分析问题和解决问题的能力。