论文部分内容阅读
[摘要]《函数及其图象》这一章中，渗透和体现的辩证观点的内容是十分丰富的，主要包括常量与变量，运动与静止，内容与形式，特殊与一般，现象与本质，具体与抽象，量变与质变，离散与连续等。
[关键词]函数 图象 辨证观点
现代课程理论及教学实践证明，搞好函数及其图象教学，不仅可以帮助学生深化对以前所学过的基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。
一、常量与变量
辩证法认为，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的。绝对的常量是没有的。因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，故物动则变。既然如此，相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，不妨取如下实例。电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；但相对于某个较长时间间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量。 教学实践表明，要使学生认识常量与变量这一辩证关系，就必须多形式、多角度、多层次地予以阐释。
二、运动与静止 根据人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平，我们可结合教材中的具体教学内容，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。例如，我们可以引导学生从教科书上看到的，在练习本或黑板上画出的y=x的图象去思考：这个图象表面上是静止的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘，可以发现：画成的图象表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图象永远只能是局部的，它只能是某个函数图象的一个象征物；同时这一例举也体现了部分与整体的辩证统一。三、内容与形式
根据现行教材体系，初一上学期，学生学习了方程的有关概念后会认为，形如y=2x 1的式子表示一个二元一次方程；初三学生刚接触一次函数概念时，会认为y=2x 1表示一个一次函数；当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2x 1的图象后，又认识到y=2x 1还可以表示一条直线。从哲学的角度去看，y=2x 1表示一类事物的本质联系，其内容是极其丰富的，而表达这丰富内容的形式却是相同的。这正表明，同一事物在不同的外部条件下可有多种不同的外部表现形式，相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高，他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。四、特殊与一般
辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少有以下几个方面：(1)y=kx与y=kx b；(2)y=ax2与y=ax2 k；(3)y=ax2与y=a(x-h)2；(4)y=ax2与y=ax2 bx c。它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的关系，而这一关系又是辩证统一的。为了利于学生认识事物的本质属性，教材中总是先介绍简单的、特殊的内容，然后再逐步推广、逐步加深到较复杂的、更一般的内容，从而引导学生逐步认识事物的本质属性，掌握对事物的认识规律。五、现象与本质
在物质世界中，没有一定的现象，就不能表现出事物的本质，而且其本质常常寓于现象之中。当然，个别现象不一定能暴露出事物的本质，因为本质是若干同类现象的寓归。这在数学上也会如此。
例如，在初一年级，学生可以顺利地判定方程组的解集为空集，而相对于认识“y=2x 1与y=2x 3表示两条平行直线，自然没有交点”，属于对事物表象-现象的认识；只有达到透彻理解一次函数的概念与性质以后，才算是认识了事物的本质。一元二次方程x2 2x 3=0为什么没有实数解?函数y=x2 2x 3的图象与x轴为什么没有交点?函数y=x2 2x 3的最小值是多少?学生从“实数的偶次幂非负”到“列表-描点-连线”，直观地看抛物线y=x2 2x 3的顶点的位置。到最一般地研究函数y=x2 2x 3的最小值，实乃学生由浅入深，由现象到本质的认识过程。这类问题中，方程没有实数根，或图象与x轴没有交点，或顶点在x轴上方，均是现象，而问题的本质，恰恰是“一元二次方程根的判别式”的值的状况对于这类问题的制约。
六、具体与抽象现代认知科学理论告诉我们，人类对事物本质属性的认识，是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。感性认识常来自于对某些具体实践的思考；而理性认识则来自于对这些初步认识概括和抽象的过程，从而达到对事物本质属性的认识。因此只有从具体的感性认识上升发展为抽象的理性认识以后，才容易纳入原有的认知结构，才可以转化为运用的能力，才能为更高级的抽象提供基础和保证。我们可从细读教材中发现，无论是对正比例函数、一次函数、二次函数的研究，还是对反比例函数的图象及性质的讨论，都是从具体到抽象逐步展开论述和论证，从而加深对这些知识的理解。为了使学生的认识不局限于具体，而使之逐步上升为抽象，教材中每讲好一些具体的、典型的例题后，总是来一个“一般地，函数…具有以下性质……”，从而抓住了本质联系。正是这个“一般地”，构成了学生认知的困难。为了帮助学生克服认知障碍，我们应给学生以丰富的感性材料，使之产生丰富的感性认识，而后逐步上升为理性认识。
七、量变与质变本章体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是很困难的，因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理解。(1)对于一次函数y=kx b，若从k≠0变为k=0,情况如何?(2)二次函数y=ax2 bx c中，规定?a≠0；若令a=0，情况如何?(3)反比例函数y=中，自变量x的取值范围是x≠0；如果x=0,或y=0，又将如何?(4)对于y=kx b,从k＞0变为k＜0，则其变化特征如何相应变化?(5)对于二次函数y=ax2 bx c，若Δ＞0变为Δ=0或Δ＜0，相应的函数图象及性质将如何改变?(6)对于周长确定的矩形，当相邻边长均为周长的时，面积的大小有何特征?(7)对于一般的二次函数y=ax2 bx c，从x＜0变为x=0,再变为x＞0，其增减趋势如何相应地改变诸如此类，均是量变积累到一定程度导致质变的例子。
八、离散与连续
离散与连续是一个矛盾的两个方面，但在列表—描点—连线的过程中，连线使离散与连续得到了统一。如教科书上画y=x及y=x2的图象，均采用了由简单到复杂、从特殊到一般、由离散到连续的手法，体现了这种对立统一的关系。
仔细分析教材，不难发现《函数及其图象》这一章中，渗透和体现的上述辩证观点的内容是十分丰富的。主要观点除上面已叙述的内容之外，至少还有微观与宏观，直与曲，精确与近似，部分与整体，绝对与相对，主观与客观辩证统一等内容。
（作者单位：河南安阳广播电视大学）
[关键词]函数 图象 辨证观点
现代课程理论及教学实践证明，搞好函数及其图象教学，不仅可以帮助学生深化对以前所学过的基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。
一、常量与变量
辩证法认为，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的。绝对的常量是没有的。因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，故物动则变。既然如此，相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，不妨取如下实例。电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；但相对于某个较长时间间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量。 教学实践表明，要使学生认识常量与变量这一辩证关系，就必须多形式、多角度、多层次地予以阐释。
二、运动与静止 根据人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平，我们可结合教材中的具体教学内容，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。例如，我们可以引导学生从教科书上看到的，在练习本或黑板上画出的y=x的图象去思考：这个图象表面上是静止的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘，可以发现：画成的图象表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图象永远只能是局部的，它只能是某个函数图象的一个象征物；同时这一例举也体现了部分与整体的辩证统一。三、内容与形式
根据现行教材体系，初一上学期，学生学习了方程的有关概念后会认为，形如y=2x 1的式子表示一个二元一次方程；初三学生刚接触一次函数概念时，会认为y=2x 1表示一个一次函数；当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2x 1的图象后，又认识到y=2x 1还可以表示一条直线。从哲学的角度去看，y=2x 1表示一类事物的本质联系，其内容是极其丰富的，而表达这丰富内容的形式却是相同的。这正表明，同一事物在不同的外部条件下可有多种不同的外部表现形式，相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高，他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。四、特殊与一般
辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少有以下几个方面：(1)y=kx与y=kx b；(2)y=ax2与y=ax2 k；(3)y=ax2与y=a(x-h)2；(4)y=ax2与y=ax2 bx c。它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的关系，而这一关系又是辩证统一的。为了利于学生认识事物的本质属性，教材中总是先介绍简单的、特殊的内容，然后再逐步推广、逐步加深到较复杂的、更一般的内容，从而引导学生逐步认识事物的本质属性，掌握对事物的认识规律。五、现象与本质
在物质世界中，没有一定的现象，就不能表现出事物的本质，而且其本质常常寓于现象之中。当然，个别现象不一定能暴露出事物的本质，因为本质是若干同类现象的寓归。这在数学上也会如此。
例如，在初一年级，学生可以顺利地判定方程组的解集为空集，而相对于认识“y=2x 1与y=2x 3表示两条平行直线，自然没有交点”，属于对事物表象-现象的认识；只有达到透彻理解一次函数的概念与性质以后，才算是认识了事物的本质。一元二次方程x2 2x 3=0为什么没有实数解?函数y=x2 2x 3的图象与x轴为什么没有交点?函数y=x2 2x 3的最小值是多少?学生从“实数的偶次幂非负”到“列表-描点-连线”，直观地看抛物线y=x2 2x 3的顶点的位置。到最一般地研究函数y=x2 2x 3的最小值，实乃学生由浅入深，由现象到本质的认识过程。这类问题中，方程没有实数根，或图象与x轴没有交点，或顶点在x轴上方，均是现象，而问题的本质，恰恰是“一元二次方程根的判别式”的值的状况对于这类问题的制约。
六、具体与抽象现代认知科学理论告诉我们，人类对事物本质属性的认识，是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。感性认识常来自于对某些具体实践的思考；而理性认识则来自于对这些初步认识概括和抽象的过程，从而达到对事物本质属性的认识。因此只有从具体的感性认识上升发展为抽象的理性认识以后，才容易纳入原有的认知结构，才可以转化为运用的能力，才能为更高级的抽象提供基础和保证。我们可从细读教材中发现，无论是对正比例函数、一次函数、二次函数的研究，还是对反比例函数的图象及性质的讨论，都是从具体到抽象逐步展开论述和论证，从而加深对这些知识的理解。为了使学生的认识不局限于具体，而使之逐步上升为抽象，教材中每讲好一些具体的、典型的例题后，总是来一个“一般地，函数…具有以下性质……”，从而抓住了本质联系。正是这个“一般地”，构成了学生认知的困难。为了帮助学生克服认知障碍，我们应给学生以丰富的感性材料，使之产生丰富的感性认识，而后逐步上升为理性认识。
七、量变与质变本章体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是很困难的，因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理解。(1)对于一次函数y=kx b，若从k≠0变为k=0,情况如何?(2)二次函数y=ax2 bx c中，规定?a≠0；若令a=0，情况如何?(3)反比例函数y=中，自变量x的取值范围是x≠0；如果x=0,或y=0，又将如何?(4)对于y=kx b,从k＞0变为k＜0，则其变化特征如何相应变化?(5)对于二次函数y=ax2 bx c，若Δ＞0变为Δ=0或Δ＜0，相应的函数图象及性质将如何改变?(6)对于周长确定的矩形，当相邻边长均为周长的时，面积的大小有何特征?(7)对于一般的二次函数y=ax2 bx c，从x＜0变为x=0,再变为x＞0，其增减趋势如何相应地改变诸如此类，均是量变积累到一定程度导致质变的例子。
八、离散与连续
离散与连续是一个矛盾的两个方面，但在列表—描点—连线的过程中，连线使离散与连续得到了统一。如教科书上画y=x及y=x2的图象，均采用了由简单到复杂、从特殊到一般、由离散到连续的手法，体现了这种对立统一的关系。
仔细分析教材，不难发现《函数及其图象》这一章中，渗透和体现的上述辩证观点的内容是十分丰富的。主要观点除上面已叙述的内容之外，至少还有微观与宏观，直与曲，精确与近似，部分与整体，绝对与相对，主观与客观辩证统一等内容。
（作者单位：河南安阳广播电视大学）