论文部分内容阅读
【摘要】本論文主要研究了具有具有乘法白噪音的Kuramoto-Sivashinsky方程的隨机吸引子问题，由于确定性的Kuramoto-Sivashinsky方程在整个空间上的吸引子是不存在的，所以对加上随机干扰项的方程仅考虑在其奇函数解所构成的子空间，通过三个引理，最终得到了随机Kuramoto-Sivashinsky方程在奇解子空间上存在紧的随机吸引子。
【关键词】随机动力系统 随机吸引子 Wiener过程 奇解 Kuramoto-Sivashinsky方程
【Abstract】We show that the Kuramoto-Sivashinsky equation with multilicative noise can be solved pathwise. We consider the random dynamical system associated with odd solutions of the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. This dynamical system possesses a compact random attractor in L2（I）.
【Keywords】Random dynamical system； random attractor； Wiener processes； odd solutions； Kuramoto-Sivashinsky equations.
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）31-0191-02
1.介绍
Kuramoto-Sivashinsky方程首先是由Kuramoto在研究Belousov-Zhabotinsky 反映中的相湍流问题时提出的。G. Sivashinsky 将此方程扩展到2维及以上空间。而在实际的环境中，小的不规则的扰动是不可避免的。因此在Kuramoto-Sivashinsky 方程上加入随机项是必要的，这个随机项是一个状态空间的白噪音。许多学者最近研究了具有白噪音的其它方程，例[2]-[7].
由于的特征值可能是正的，线性算子不是强制的。因此，即使是确定性的系统，要在整个空间获得吸引子的一般结论是很困难的。然而，我们通过观察发现若初始值是奇函数，则随机Kuramoto-Sivashinsky 方程在任何时刻的解都是奇函数。因为这个性质，我们考虑在奇函数子空间H0中的随机吸引子。
2.问题描述和预备知识
考虑如下的具有随机项的Kuramoto-Sivashinsky 方程：
定理1. 带乘法白噪音的随机Kuramoto-Sivashinsky 方程在奇子空间中的解所产生的随机动力系统拥有一个紧的随机吸引子。
参考文献：
[1]Li， Y. R. Random Attractors of Boussinesq equations with Multiplicative Noise[J].Acta Mathematica Sinica，English Series. 2009， 25（3）：481-490.
[2]Yang D.Dynamics for the Stochastic Nonlocal Kuramoto-Sivashinsky Equation[J] .J Math Anal Appl. 2006， 7：10-16.
[3]Guo， B. L.， Wang， B. X.： Exponential attractors for the generalized Ginzburg-landau equation[J]. Acta Mathematica Sinica， Chinese Series. 2000， 16（3）： 515-526.
[4]Debussche A. Hausdorff Dimension of a Random Invariant Set[J]. J Math Pures Appl ， 1998， 77：967-988.
[5]Crauel， H.， Debussche， A.， Flandoli， F. Random attractors[J]. J. Dyn Diff. Equ. 1997， 9：307-341.
[6]Crauel， H.， Flandoli， F.： Attractors for random dynamical systems[J]. Probab. Theory Relat. 1994. Fields， 100：365-393.
[7]Temam， R. Infinite-dimensional dynamical systems in Mechanics and Physics [M]. Springer-Verlag， New York， 1988：141-150.
【关键词】随机动力系统 随机吸引子 Wiener过程 奇解 Kuramoto-Sivashinsky方程
【Abstract】We show that the Kuramoto-Sivashinsky equation with multilicative noise can be solved pathwise. We consider the random dynamical system associated with odd solutions of the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. This dynamical system possesses a compact random attractor in L2（I）.
【Keywords】Random dynamical system； random attractor； Wiener processes； odd solutions； Kuramoto-Sivashinsky equations.
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）31-0191-02
1.介绍
Kuramoto-Sivashinsky方程首先是由Kuramoto在研究Belousov-Zhabotinsky 反映中的相湍流问题时提出的。G. Sivashinsky 将此方程扩展到2维及以上空间。而在实际的环境中，小的不规则的扰动是不可避免的。因此在Kuramoto-Sivashinsky 方程上加入随机项是必要的，这个随机项是一个状态空间的白噪音。许多学者最近研究了具有白噪音的其它方程，例[2]-[7].
由于的特征值可能是正的，线性算子不是强制的。因此，即使是确定性的系统，要在整个空间获得吸引子的一般结论是很困难的。然而，我们通过观察发现若初始值是奇函数，则随机Kuramoto-Sivashinsky 方程在任何时刻的解都是奇函数。因为这个性质，我们考虑在奇函数子空间H0中的随机吸引子。
2.问题描述和预备知识
考虑如下的具有随机项的Kuramoto-Sivashinsky 方程：
定理1. 带乘法白噪音的随机Kuramoto-Sivashinsky 方程在奇子空间中的解所产生的随机动力系统拥有一个紧的随机吸引子。
参考文献：
[1]Li， Y. R. Random Attractors of Boussinesq equations with Multiplicative Noise[J].Acta Mathematica Sinica，English Series. 2009， 25（3）：481-490.
[2]Yang D.Dynamics for the Stochastic Nonlocal Kuramoto-Sivashinsky Equation[J] .J Math Anal Appl. 2006， 7：10-16.
[3]Guo， B. L.， Wang， B. X.： Exponential attractors for the generalized Ginzburg-landau equation[J]. Acta Mathematica Sinica， Chinese Series. 2000， 16（3）： 515-526.
[4]Debussche A. Hausdorff Dimension of a Random Invariant Set[J]. J Math Pures Appl ， 1998， 77：967-988.
[5]Crauel， H.， Debussche， A.， Flandoli， F. Random attractors[J]. J. Dyn Diff. Equ. 1997， 9：307-341.
[6]Crauel， H.， Flandoli， F.： Attractors for random dynamical systems[J]. Probab. Theory Relat. 1994. Fields， 100：365-393.
[7]Temam， R. Infinite-dimensional dynamical systems in Mechanics and Physics [M]. Springer-Verlag， New York， 1988：141-150.