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【摘要】念力棒是一款传统的力学科学玩具，本文从念力棒的转动原理出发，研究了其转动特性，分析了它的力学过程，得到了转动的基本方程，并从高频驱动和无驱动的两个情况下进行分析，得到了念力棒转动角度随时间的变化。与数值模拟相结合，研究了影响念力棒转速的因素。
【关键词】念力棒 微分方程 级数解
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）11-0179-02
引言
念力棒是一款可以将振动转化为转动的科学玩具，其基本结构十分简单，由一支刻有凹槽的长条木棒和螺旋桨叶片组成，用一支棍棒用不同的速度摩擦凹槽部分即可使木棒以不同频率振动，从而使得螺旋桨叶片发生转动。1974年SCHNACKE利用图画的形式展示了该玩具的制作全过程，其专利最初于1989年由EUGENE B.CHAPMAN撰写，专利中绘制了该玩具的基本结构并解释了其基本原理。迄今为止，念力棒成为了力学教学的一个工具，虽然念力棒运动的力学原理已经明确，但是对于影响念力棒转动的因素以及念力棒运动的精确解却很少有人研究。念力棒的力学原理与呼啦圈的转动原理有一定相似之处，呼啦圈的转动主要是由转轴的偏心引起的，其力学原理已经基本完善，并得到了转动方程的精确解[1]。本文从基本原理出发进行推导，得出念力棒运动的解析解，自主设计实验仪器，从实验和数值模拟两方面探究影响念力棒转速的因素。
力学过程分析
主轴上刻有均匀分布的凹槽，转子固定在其顶端，水平放置的棒用于摩擦主轴。
念力棒的基本示意图如图 1所示，用一根棒沿着转轴凹槽摩擦，当摩擦至每个凹槽时，螺旋桨质量中心上会受到垂直交变驱动力。通过手指摩擦侧面上的这些凹槽，也可以引入水平交变驱动力引起主轴的振动，从而带动螺旋桨发生转动，通过实验观察，螺旋桨在转动过程中随着摩擦速度的加快而增加其角速度，但其转动角速度呈震荡变化。
念力棒的模型图如图2所示，以转轴转动的轨迹中心O为原点建立如上图所示的直角坐标系。因为其研究对象主要集中在转轴上，因此，建立以转轴中心O'为原点的非惯性参考系，以下的计算和分析也均在非惯性系中进行。设OO'距离为l，转子质量为m，转子绕质心转动转动惯量为I0。
由平行轴定理得转子绕O'转动的转动惯量为
I=I0+ml2 （1）
转轴由于外力驱动在小范围内的运动可分解为水平和竖直两个方向的简谐振动，用参数方程表示有
x=Acos（ω0t+Φx）
y=Bcos（ω0t+Φy） （2）
A，B分别为两个方向振动的振幅，而Φy-Φx是两个方向振动的相位差。
转子质心受到两个方向的非惯性力为
Fx=-max=mωAcos（ω0t+Φx）
Fy=-may=mωBcos（ω0t+Φy） （3）
设OO' 与y轴的夹角为θ，则上述两非惯性力对于O'的力矩为
Mx=Fxlcosθ=mωAcos（ω0t+Φx）cosθ
My=Fylsinθ=mωBcos（ω0t+Φy） sinθ （4）
以念力棒转动的角速度方向为正方向，则在竖直平面转动时的重力矩为MG=-mglsinθ，阻力矩为Mω=-αω，正比于角速度，则转子在非惯性系中的的转动方程可以写为
Iβ=Mx+My+MG+Mω （5）
其中β===是转子的角加速度。将（4）式代入得到念力棒转动方程
I=mωAlcos（ω0t+Φx）cosθ+mωBlcos（ω0t+Φy）sinθ-mglsinθ-α （6）
运动方程解
1.念力棒转动的一般解
假设转轴做圆周运动或椭圆运动，则
Φy-Φx=n+π，（n=0，1）
n=0为顺时针转动，n=1为逆时针转动，当凹槽方向向上时做顺时针转动，凹槽方向向右时做逆时针转动。
设A≈B，即转轴的转动为近圆周运动，引入参量μ=，σ=，则（6）式可化为
I+α+mglsinθ+mω[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0（7）
2.念力棒转动的解析解
2.1阻尼系数不可忽略的情况
由于该实验中阻尼系数较大，所以可忽略重力矩
++[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0 （8）
引入新的时间因子τ=ω0t，设γ=，κ=，ζ=
设其解的形式为θ（τ）=θ？鄢（τ）+ο（σ），其中o为高阶无穷小量，θ？鄢（τ）是关于σ的级数解，精确到一阶，其解为
θ？鄢（τ）=τ+θ0+σθ1（τ） （9）
取零阶项时，即σ=0时，γ+κcos（θ0）=0，同时考虑阻力会减慢其转动的速度，得
θ0=-arccos-+2kπ （10）
取一阶项时，即σ=1时，（8）式化为
1+γ1-κsin（θ0）θ1+cos（θ0+2τ）=0 （11）
解得θ1为周期性的解
θ1（τ）=Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （12）
其中，C=，D=
所以，其最终解得形式为
θ（τ）=τ-arccos-+Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （13）
2.2阻尼系数较小的情况
2.2.1无驱动条件下的近似解
当阻尼系数较小，且无外力驱动时，不可忽略重力矩，轉子做阻尼转动，其转动方程为
I=-mglsinθ-α （14）
当转子由水平方向释放时，其转动角度随时间的变化如图3所示。
由（17）式可知，转子转动的角速度只与驱动频率有关且角速度与驱动频率成线性关系，其转动方向可以通过摩擦主轴的方向控制。
通过数值模拟可得，当驱动频率分别为50hz、60hz、80hz、100hz时，其转动角度随时间的变化如图4所示。
结论
本文将念力棒的运动模型化，将偏微分方程做级数解并得到了念力棒在忽略重力的情况下的近似解，在无驱动和高频驱动两种极限情况下得到了转子转动的解析解，其中在无驱动条件下转子将做阻尼转动，而高频驱动下，念力棒转子的转动角速度与驱动频率成正比，其解的形式为 =（-1）n+1ω0。
参考文献：
[1]郝桐生.理论力学，（第3版）[M].高等教育出版社， 2003.
【关键词】念力棒 微分方程 级数解
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）11-0179-02
引言
念力棒是一款可以将振动转化为转动的科学玩具，其基本结构十分简单，由一支刻有凹槽的长条木棒和螺旋桨叶片组成，用一支棍棒用不同的速度摩擦凹槽部分即可使木棒以不同频率振动，从而使得螺旋桨叶片发生转动。1974年SCHNACKE利用图画的形式展示了该玩具的制作全过程，其专利最初于1989年由EUGENE B.CHAPMAN撰写，专利中绘制了该玩具的基本结构并解释了其基本原理。迄今为止，念力棒成为了力学教学的一个工具，虽然念力棒运动的力学原理已经明确，但是对于影响念力棒转动的因素以及念力棒运动的精确解却很少有人研究。念力棒的力学原理与呼啦圈的转动原理有一定相似之处，呼啦圈的转动主要是由转轴的偏心引起的，其力学原理已经基本完善，并得到了转动方程的精确解[1]。本文从基本原理出发进行推导，得出念力棒运动的解析解，自主设计实验仪器，从实验和数值模拟两方面探究影响念力棒转速的因素。
力学过程分析
主轴上刻有均匀分布的凹槽，转子固定在其顶端，水平放置的棒用于摩擦主轴。
念力棒的基本示意图如图 1所示，用一根棒沿着转轴凹槽摩擦，当摩擦至每个凹槽时，螺旋桨质量中心上会受到垂直交变驱动力。通过手指摩擦侧面上的这些凹槽，也可以引入水平交变驱动力引起主轴的振动，从而带动螺旋桨发生转动，通过实验观察，螺旋桨在转动过程中随着摩擦速度的加快而增加其角速度，但其转动角速度呈震荡变化。
念力棒的模型图如图2所示，以转轴转动的轨迹中心O为原点建立如上图所示的直角坐标系。因为其研究对象主要集中在转轴上，因此，建立以转轴中心O'为原点的非惯性参考系，以下的计算和分析也均在非惯性系中进行。设OO'距离为l，转子质量为m，转子绕质心转动转动惯量为I0。
由平行轴定理得转子绕O'转动的转动惯量为
I=I0+ml2 （1）
转轴由于外力驱动在小范围内的运动可分解为水平和竖直两个方向的简谐振动，用参数方程表示有
x=Acos（ω0t+Φx）
y=Bcos（ω0t+Φy） （2）
A，B分别为两个方向振动的振幅，而Φy-Φx是两个方向振动的相位差。
转子质心受到两个方向的非惯性力为
Fx=-max=mωAcos（ω0t+Φx）
Fy=-may=mωBcos（ω0t+Φy） （3）
设OO' 与y轴的夹角为θ，则上述两非惯性力对于O'的力矩为
Mx=Fxlcosθ=mωAcos（ω0t+Φx）cosθ
My=Fylsinθ=mωBcos（ω0t+Φy） sinθ （4）
以念力棒转动的角速度方向为正方向，则在竖直平面转动时的重力矩为MG=-mglsinθ，阻力矩为Mω=-αω，正比于角速度，则转子在非惯性系中的的转动方程可以写为
Iβ=Mx+My+MG+Mω （5）
其中β===是转子的角加速度。将（4）式代入得到念力棒转动方程
I=mωAlcos（ω0t+Φx）cosθ+mωBlcos（ω0t+Φy）sinθ-mglsinθ-α （6）
运动方程解
1.念力棒转动的一般解
假设转轴做圆周运动或椭圆运动，则
Φy-Φx=n+π，（n=0，1）
n=0为顺时针转动，n=1为逆时针转动，当凹槽方向向上时做顺时针转动，凹槽方向向右时做逆时针转动。
设A≈B，即转轴的转动为近圆周运动，引入参量μ=，σ=，则（6）式可化为
I+α+mglsinθ+mω[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0（7）
2.念力棒转动的解析解
2.1阻尼系数不可忽略的情况
由于该实验中阻尼系数较大，所以可忽略重力矩
++[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0 （8）
引入新的时间因子τ=ω0t，设γ=，κ=，ζ=
设其解的形式为θ（τ）=θ？鄢（τ）+ο（σ），其中o为高阶无穷小量，θ？鄢（τ）是关于σ的级数解，精确到一阶，其解为
θ？鄢（τ）=τ+θ0+σθ1（τ） （9）
取零阶项时，即σ=0时，γ+κcos（θ0）=0，同时考虑阻力会减慢其转动的速度，得
θ0=-arccos-+2kπ （10）
取一阶项时，即σ=1时，（8）式化为
1+γ1-κsin（θ0）θ1+cos（θ0+2τ）=0 （11）
解得θ1为周期性的解
θ1（τ）=Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （12）
其中，C=，D=
所以，其最终解得形式为
θ（τ）=τ-arccos-+Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （13）
2.2阻尼系数较小的情况
2.2.1无驱动条件下的近似解
当阻尼系数较小，且无外力驱动时，不可忽略重力矩，轉子做阻尼转动，其转动方程为
I=-mglsinθ-α （14）
当转子由水平方向释放时，其转动角度随时间的变化如图3所示。
由（17）式可知，转子转动的角速度只与驱动频率有关且角速度与驱动频率成线性关系，其转动方向可以通过摩擦主轴的方向控制。
通过数值模拟可得，当驱动频率分别为50hz、60hz、80hz、100hz时，其转动角度随时间的变化如图4所示。
结论
本文将念力棒的运动模型化，将偏微分方程做级数解并得到了念力棒在忽略重力的情况下的近似解，在无驱动和高频驱动两种极限情况下得到了转子转动的解析解，其中在无驱动条件下转子将做阻尼转动，而高频驱动下，念力棒转子的转动角速度与驱动频率成正比，其解的形式为 =（-1）n+1ω0。
参考文献：
[1]郝桐生.理论力学，（第3版）[M].高等教育出版社， 2003.