【摘要】在中学二次函数是一种不可缺少的数学工具，是初中数学的重点也是教学的难点，是数学中数形思想的一个基础点。本文就其含义和实际的运用，做了深入浅出、通俗易懂的分析与阐解。
　　【关键词】函数；知识；运用
　　一、知识要点
　　1.定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。）
　　则称y为x的二次函数。
　　2.二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） [已知过三点的坐标时]
　　顶点式：y=a(x-h)+k[已知抛物线的顶点P（h，k）]
　　交点式：y=a(x-x)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]
　　3.二次函数的图像的性质
　　a.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-。
　　b.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。
　　c.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时（即-<0），对称轴在y轴左；
　　当a与b异号时（即->0），对称轴在y轴右。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
　　7.二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
　　二、理论联系实际
　　1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R元，售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R=500＋30x，P=170－2x。
　　（1）每日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
　　（2）每日产量为多少时，可获得的最大利润？最大利润是多少？
　　解（1）；根据题意得
　　1750=Px－R＝（17－2x）x－（500＋30x）=1750，
　　整理得x－70x＋1125=0，
　　（x－25）（x－45）=0，
　　∴x=25，x=45（不合题意，舍去），
　　由题已知，利润为，
　　Px－R=－2x＋140x－500
　　=－2（x－70x＋1125）
　　=－2（x-35）-975
　　=－2（x-35）＋1950
　　∴当x=35时，最大利润为1950。
　　答（1）当日产量为25只时，利润为1950。
　　（2）当日产量为35只时，最大利润为1950。
　　2.改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995年该镇年国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇国民生产总产值为5亿元时，可达到小康水平。
　　（1）若从1996年开始，该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇通过几年可达到小康水平?
　　（2）设以2001年为第一年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x之间的关系是y=x+x+5（x≥0）该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？
　　解：（1）设该镇通过x年达到小康水平，根据题意得2＋0.6x=5
　　解得x=5
　　（2）设第x年的年国民生产总值为2×4=8亿元，
　　∴x+x+5=8 解得x=3 x=－9（不合题意舍去）
　　答：（1）设该镇通过5年达到小康水平。
　　：（2）2003年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番。
　　（作者单位：山东省滨州市高新区小营中学）H