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【摘要】通过《高等数学》课程的教学实践,提出了相应的教学方法,融入数学发展史、用类比、迁移解决问题、运用多媒体教学优化传统教学,旨在促进师生互动,提高教学效果。
【关键词】高等数学 问题情境 多媒体教学 传统教学
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0058-02
数学作为科学之母,也被誉为打开未来世界大门的钥匙,其对科学技术以及社会经济发展起着不可估量的作用。正如美国著名数学家David Edwards深刻指出:“很少人认识到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。现在所谓的信息化时代,实质上就是一个数学时代。”高等数学作为大学理工类、经济类乃至文科类专业的一门基础课程,具有高度的抽象性和严密的逻辑性,不仅能使学生获得抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力,而且使学生受到数学分析的基本概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练,同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。在学科相互渗透、紧密联系的今天,学好它是非常有必要且关键的。鉴于此,笔者提出了几点看法:
1 融入数学发展史
Hilbert是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位最伟大的数学家之一,他曾说过“历史教导我们,科学的发展具有连续性。我们知道,每个时代都有自己的问题,这些问题后来或者得以解决,或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束,不仅促使我们追溯过去,而且把我们的思想引向那未知的将来”。数学中每一步真正的进展都与“更有力的工具和更简单的方法”的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。事实上,一些新的有力的工具和更简单的方法的发现,往往标志着一个或多个数学分支的产生,或是一些老的分支的衰落甚至结束。对于小学和中学所学“算术”来讲,真正的进展是由于拥有了“数字符号化”,从而产生了一门数学“代数”。作为“代数”中一个重要内容是解多元一次方程组,所用方法是联立方程组,然后消元所得。由于“更有力的工具和简单的方法”,即矩阵的概念与方法建立,不仅对多元一次方程组的理解更为透彻。由此建立起一门新的学科“线性代数”。在“代数”中另一个重要内容是解一元二次方程,在古代《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法,直到M.al-Khowarizmi给出了相当于一般形式的一元二次方程的一般求根公式;1545年公布了N.Fontana发现的一元三次方程的解;L.Ferrari解决了一元四次方程。直到N.H.Abel解决了五次及五次以上的高次方程不可能有求根公式。但什么样的代数方程根有解,这个问题被E.Galois用“群”证明了。这意味着拥有了“更有力的工具和更简洁的方法”,即现代代数理论“近世代数”的产生。几何也是如此,“平面几何”与“立体几何”早在2300年前已有,经过了1000多年,R.Descartes与P.Fermat建立了“更有力的工具”—“解析几何”,其基本思想是在平面上引用了“坐标”,使得平面上的点与实数(x,y)之间建立起一一对应。对古典几何的另一个“有力的工具”是非欧几何”的产生。再如高等数学中的基本初等函数也一样,所谓的初等函数是指由下列三个基本初等函数及其复合函数所组成。这三个基本初等函数为:(1)幂函数以及它的反函数;(2)三角函数以及它的反函数;(3)指数函数以及它的反函数。自从出现了更有力的工具Eluer公式:,在复分析的观点下,这三个基本初等函数实质上是同一类函数。三角函数可以用指数函数来表达:
幂函数也可以用指数函数以及它的反函数对数函数来表达:。所以教师在教学的过程中,让学生认识到数学中真正的进展其实是“更有力的工具和更简单的方法”,从更深层地看出数学的演化过程,进一步提高学生学习的积极性。
2 有意识地用类比、移迁解决问题
由于对高等数学中的定义、定理、推论等缺乏感性的认识,直观上认为数学的概念很抽象,因此,教师应根据教学目的、学生的认知规律和知识的内在联系,创设一种类比、迁移、运用知识结构的教学方法,激起学生积极主动的思维活动。
有意识地促进学生学习知识的广泛迁移,运用知识结构来解决问题,能帮助学习者深化对知识的理解,使新、旧知识拥有更为丰富的联系,能够凭借自己的发散思维,将所学的知识进行类比和迁移,构建更具有整合性、更为灵活的知识结构。例如在学习积分中值定理时,若是上的连续函数,则在中一定存在一点,使得
很容易联想到微分中值定理,若是上的连续函数,则在中一定存在一点,使得。这两个中值定理有十分明确的几何意义,积分中值定理表示在中一定存在一点,曲线在上覆盖的曲边梯形面积等于以及为边长的长方形面积;而微分中值定理表示在中一定存在一点,曲线在这点的切线平行于连结点与点的割线。从表面上看,这两个中值定理有着完全不同的几何意义,但如果我们令就会发现,这两个中值定理实际上说的是同一件事,只是一个用积分形式表示,一个用微分形式表示。在高等数学中有很多的新旧对象可以通过类比,迁移和拓广得到,如讲多元函数的连续性时,可通过类比一元函数连续的定义得到;讲积分时,可以从微分的定理和公式中,得到积分中的很多定理和公式,这样学生们就能知道它们之间的联系,弄清知识脉络,触类旁通。
现代数学教育强调“教师为主导,学生为主体”的理念,教师在教学实践中精心构造一种类比、迁移、运用知识结构的方法,重在引导、启发,把开启智慧的大门交给学生,友善和巧妙地激发起学生学习的积极性和主动性,使学生有充分的时间积极参与、主动构建,形成科学的学习方法。
3 运用多媒体教学优化传统教学
传统教学形式单一、直观性差,学生所受的刺激单调、呆板,很难激发学生的兴趣,导致课堂效率不高。步入当今的信息时代,以计算机和网络为核心的现代化信息技术正在越来越深刻地改变着我们的工作方式和学习方式。多媒体教学集声音、图像、视频、文字等并茂,在教学的过程中适时恰当地应用多媒体课件进行辅助教学,使教学内容更充实、形象,达到培养能力、因材施教和个性化教学的目的。
使用多媒体,能更好地创设情境,激发起学习高等数学的兴趣。例如我们知道一堂好课好比一本趣味嫣然的好书,开篇就该引起学生的情趣。巧妙的成功的开头,能有效的激发起学生们的求知欲,使他们的注意力很快集中到教学内容上去教师可以利用多媒体增加教学的背景知识—数学史和数学的应用介绍。所以在上第一堂课时,教师可以利用多媒体方便的插入教学的背景知识—数学史和数学的应用介绍。在高等数学教学中,运用多媒体技术,可以为学生创设丰富多彩的教学情境,增设疑问,巧设悬念,进一步激发学生获取知识的求知欲望。
使用多媒体教学,能使知识变抽象为形象,充分展示知识的演变过程。G. Polyaｓ曾说过,教科书呈现在学生面前的大多是严格系统的科学,它们直接指出了发现的结果,隐去了发现的过程。传统教学受技术条件的限制,只能用静态图形引导学生去想象,难以形象动态地呈现数学知识的演变发展过程。例如在讲解定积分概念时,将区间分割成n个小区间,用每一块的小矩形面积代替曲边梯形面积,当分割加细时,小矩形的面积就越接近于曲边梯形的面积。这种无限接近的动态过程就需要我们用“动画”来演示。
4 结语
美国毛尔科维奇曾尖锐地指出:“先进工业国如美国和德国,所犯下的最大错误就是以为电脑可以代替教师。到了最近,他们才逐渐明白,人才是最好的教育工具。”高等数学的教学模式也一样,应该“以教师为载体”,不断改变教学方法,引导学生变为信息加工的主体,知识体系的主动构建者,实现教学观念的更新。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京教育出版社,2002.
[2] 张丽丽.高等数学多媒体课堂教学优势探讨[J].高等数学研究,2007,(4).
[3] 刘淑万.数学教学中数学问题情境创设的探索[J].数学教学研究,2004,(7)12-14.
【关键词】高等数学 问题情境 多媒体教学 传统教学
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0058-02
数学作为科学之母,也被誉为打开未来世界大门的钥匙,其对科学技术以及社会经济发展起着不可估量的作用。正如美国著名数学家David Edwards深刻指出:“很少人认识到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。现在所谓的信息化时代,实质上就是一个数学时代。”高等数学作为大学理工类、经济类乃至文科类专业的一门基础课程,具有高度的抽象性和严密的逻辑性,不仅能使学生获得抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力,而且使学生受到数学分析的基本概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练,同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。在学科相互渗透、紧密联系的今天,学好它是非常有必要且关键的。鉴于此,笔者提出了几点看法:
1 融入数学发展史
Hilbert是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位最伟大的数学家之一,他曾说过“历史教导我们,科学的发展具有连续性。我们知道,每个时代都有自己的问题,这些问题后来或者得以解决,或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束,不仅促使我们追溯过去,而且把我们的思想引向那未知的将来”。数学中每一步真正的进展都与“更有力的工具和更简单的方法”的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。事实上,一些新的有力的工具和更简单的方法的发现,往往标志着一个或多个数学分支的产生,或是一些老的分支的衰落甚至结束。对于小学和中学所学“算术”来讲,真正的进展是由于拥有了“数字符号化”,从而产生了一门数学“代数”。作为“代数”中一个重要内容是解多元一次方程组,所用方法是联立方程组,然后消元所得。由于“更有力的工具和简单的方法”,即矩阵的概念与方法建立,不仅对多元一次方程组的理解更为透彻。由此建立起一门新的学科“线性代数”。在“代数”中另一个重要内容是解一元二次方程,在古代《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法,直到M.al-Khowarizmi给出了相当于一般形式的一元二次方程的一般求根公式;1545年公布了N.Fontana发现的一元三次方程的解;L.Ferrari解决了一元四次方程。直到N.H.Abel解决了五次及五次以上的高次方程不可能有求根公式。但什么样的代数方程根有解,这个问题被E.Galois用“群”证明了。这意味着拥有了“更有力的工具和更简洁的方法”,即现代代数理论“近世代数”的产生。几何也是如此,“平面几何”与“立体几何”早在2300年前已有,经过了1000多年,R.Descartes与P.Fermat建立了“更有力的工具”—“解析几何”,其基本思想是在平面上引用了“坐标”,使得平面上的点与实数(x,y)之间建立起一一对应。对古典几何的另一个“有力的工具”是非欧几何”的产生。再如高等数学中的基本初等函数也一样,所谓的初等函数是指由下列三个基本初等函数及其复合函数所组成。这三个基本初等函数为:(1)幂函数以及它的反函数;(2)三角函数以及它的反函数;(3)指数函数以及它的反函数。自从出现了更有力的工具Eluer公式:,在复分析的观点下,这三个基本初等函数实质上是同一类函数。三角函数可以用指数函数来表达:
幂函数也可以用指数函数以及它的反函数对数函数来表达:。所以教师在教学的过程中,让学生认识到数学中真正的进展其实是“更有力的工具和更简单的方法”,从更深层地看出数学的演化过程,进一步提高学生学习的积极性。
2 有意识地用类比、移迁解决问题
由于对高等数学中的定义、定理、推论等缺乏感性的认识,直观上认为数学的概念很抽象,因此,教师应根据教学目的、学生的认知规律和知识的内在联系,创设一种类比、迁移、运用知识结构的教学方法,激起学生积极主动的思维活动。
有意识地促进学生学习知识的广泛迁移,运用知识结构来解决问题,能帮助学习者深化对知识的理解,使新、旧知识拥有更为丰富的联系,能够凭借自己的发散思维,将所学的知识进行类比和迁移,构建更具有整合性、更为灵活的知识结构。例如在学习积分中值定理时,若是上的连续函数,则在中一定存在一点,使得
很容易联想到微分中值定理,若是上的连续函数,则在中一定存在一点,使得。这两个中值定理有十分明确的几何意义,积分中值定理表示在中一定存在一点,曲线在上覆盖的曲边梯形面积等于以及为边长的长方形面积;而微分中值定理表示在中一定存在一点,曲线在这点的切线平行于连结点与点的割线。从表面上看,这两个中值定理有着完全不同的几何意义,但如果我们令就会发现,这两个中值定理实际上说的是同一件事,只是一个用积分形式表示,一个用微分形式表示。在高等数学中有很多的新旧对象可以通过类比,迁移和拓广得到,如讲多元函数的连续性时,可通过类比一元函数连续的定义得到;讲积分时,可以从微分的定理和公式中,得到积分中的很多定理和公式,这样学生们就能知道它们之间的联系,弄清知识脉络,触类旁通。
现代数学教育强调“教师为主导,学生为主体”的理念,教师在教学实践中精心构造一种类比、迁移、运用知识结构的方法,重在引导、启发,把开启智慧的大门交给学生,友善和巧妙地激发起学生学习的积极性和主动性,使学生有充分的时间积极参与、主动构建,形成科学的学习方法。
3 运用多媒体教学优化传统教学
传统教学形式单一、直观性差,学生所受的刺激单调、呆板,很难激发学生的兴趣,导致课堂效率不高。步入当今的信息时代,以计算机和网络为核心的现代化信息技术正在越来越深刻地改变着我们的工作方式和学习方式。多媒体教学集声音、图像、视频、文字等并茂,在教学的过程中适时恰当地应用多媒体课件进行辅助教学,使教学内容更充实、形象,达到培养能力、因材施教和个性化教学的目的。
使用多媒体,能更好地创设情境,激发起学习高等数学的兴趣。例如我们知道一堂好课好比一本趣味嫣然的好书,开篇就该引起学生的情趣。巧妙的成功的开头,能有效的激发起学生们的求知欲,使他们的注意力很快集中到教学内容上去教师可以利用多媒体增加教学的背景知识—数学史和数学的应用介绍。所以在上第一堂课时,教师可以利用多媒体方便的插入教学的背景知识—数学史和数学的应用介绍。在高等数学教学中,运用多媒体技术,可以为学生创设丰富多彩的教学情境,增设疑问,巧设悬念,进一步激发学生获取知识的求知欲望。
使用多媒体教学,能使知识变抽象为形象,充分展示知识的演变过程。G. Polyaｓ曾说过,教科书呈现在学生面前的大多是严格系统的科学,它们直接指出了发现的结果,隐去了发现的过程。传统教学受技术条件的限制,只能用静态图形引导学生去想象,难以形象动态地呈现数学知识的演变发展过程。例如在讲解定积分概念时,将区间分割成n个小区间,用每一块的小矩形面积代替曲边梯形面积,当分割加细时,小矩形的面积就越接近于曲边梯形的面积。这种无限接近的动态过程就需要我们用“动画”来演示。
4 结语
美国毛尔科维奇曾尖锐地指出:“先进工业国如美国和德国,所犯下的最大错误就是以为电脑可以代替教师。到了最近,他们才逐渐明白,人才是最好的教育工具。”高等数学的教学模式也一样,应该“以教师为载体”,不断改变教学方法,引导学生变为信息加工的主体,知识体系的主动构建者,实现教学观念的更新。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京教育出版社,2002.
[2] 张丽丽.高等数学多媒体课堂教学优势探讨[J].高等数学研究,2007,(4).
[3] 刘淑万.数学教学中数学问题情境创设的探索[J].数学教学研究,2004,(7)12-14.