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变换是数学的重要工具，三角变换是只变其形不变其质的.三角变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，通过换元法把三角恒等变换问题转化为代数恒等变换问题.
1. 基量换元，化归转化
例1 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]
证明 方法一：先转换命题，只需证：[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论.
[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.]
两边同除[sinα]得，
[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]
方法二：根据三角函数的特点，先统一角，再统一三角函数名，再进行换元.
令[x=α+β,y=α]，则
[左边=sin(x+y)siny-2cosx]
[=sin(x+y)-2sinycosxsiny=cosxsiny-sinycosxsiny]
[=sin(x-y)siny=右边].
方法三：结合数学化归转化思想，用换元法把三角函数问题转化为代数证明问题.
令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n],则[a2+b2=1,m2+n2=1.]
[左边=sin2αcosβ+cos2αsinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2abn+(b2-a2)ma-2(bn-am)=2abn+b2m-a2m-2abn+2a2ma=m(b2+a2)a=ma=右边.]
点拨 变角、变名是三角变换的常用技巧，利用换元法把问题进行化归转化常能起到意想不到的效果.如证法二是对角进行换元，证法三是对基本量进行换元.
2. 弦切互化，消元降次
例2 求证：[1+sinα1-2sin2α2=1+tanα21-tanα2.]
证明 方法一：变角，弦化切.
[左边=sin2α2+cos2α2+2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2]
[=(sinα2+cosα2)2(sinα2+cosα2)(cosα2-sinα2)]
[=sinα2+cosα2cosα2-sinα2=1+tanα21-tanα2.]
方法二：通过换元，把三角恒等变形转化为代数恒等变形.
令[sinα2=x,cosα2=y,则x2+y2=1， tanα2=xy.]
[左边-右边=1+2xy1-2x2-1+xy1-xy=1+2xy1-2x2-y+xy-x=(1+2xy)(y-x)-(y+x)(1-2x2)(1-2x2)(y-x)=0.]
故左边=右边.
点拨 在三角恒等变形中，首先考虑消元和降次，可通过弦化切或换元法达到目的.所求问题的条件或结论中的各项次数较高时，可用“换元法”达到降次的目的.
3. 左右变形，两相归一
例3 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]
证明 方法一：左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证.
[左边=sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]
[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2.]
右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ]
[=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2.]
左边[=]右边，故等式成立.
方法二：换元法，化三角恒等变换为代数恒等变换.
[令x=sinθ,y=cosθ,则x2+y2=1,tanθ=xy.]
[左边=xy(1+x)+xxy(1+x)-x=x(1+x)+xyx(1+x)-xy=1+x+y1+x-y，]
[右边=xy+xxy•x=x+xyx2=1+yx，]
[左边-右边=(1+x+y)x-(1+y)(1+x-y)(1+x-y)x]
[=x2+y2-1(1+x-y)x=1-1(1+x-y)x=0.]
[∴]左边=右边.
点拨 对于左右结构相当分数型三角恒等式，左右归一，将左右两边化简成相同的三角式.当然，“寻求角与函数名的统一”是证明的关键.
4. 作差变形，化证为求
例4 求证：[sinα-cosα+1sinα+cosα-1=1+sinαcosα.]
证明 方法一：左式－右式，通过运用同角三角函数公式及[1=cos2α+sin2α]等公式的化简，得左式－右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.
[左边-右边=sinα+1-cosα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+sinα-1cosα+sinα-1⋅cosα]
[=sinαcosα+cosα-cos2α+1-cosα-sinαcosα-sin2αcosα+1+sinα⋅cosα]
[=1-cos2α-sin2αsinα+cosα-1⋅cosα=0.]
[∴]左边=右边.
方法二：通过换元，把问题转化为代数式证明问题.
[令x=sinα,y=cosα,则x2+y2=1,]
[左边-右边=x-y+1x+y-1-1+xy=(x-y+1)y-(1+x)(x+y-1)(x+y+1)y=-y2-x2+1(x+y+1)y=-1+1(x+y+1)y=0.]
[∴]左边=右边.
点拨 对于结构较为复杂的分数型三角恒等式，利用作差法证明可从形式上起到简化的目的.
5．构造函数，巧用性质
例5 已知[α]、[β]为锐角，且[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1,]求证：[α+β=π2.]
证明 方法一：要证明角相等，则必须转化为证角的同名三角函数值相等，为此可设法构建三角函数[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，再通过已知条件挖掘性质即可解决.
构造函数
[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，
由条件[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1]知，[f(x)=(x-1)2≥0].
当[x=1]时，
[f(1)=][(cos2αsinβ-sinβ)2+(sin2αcosβ-cosβ)2=0.]
故[cos2α=sin2β]，且[sin2α=cos2β]，
[∴tan2α=cot2β=tan2(π2-β)].
又[α、π2-β]均为锐角，
则[α=π2-β]，即证[α+β=π2.]
方法二：[欲证α+β=π2,即α=π2-β.]
[∴sinα=sin(π2-β),也即证sinα=cosβ.]
令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n,]
[a,b,m,n均大于0,且a2+b2=1,m2+n2=1,]
[cos4αsin2β+sin4αcos2β=b4m2+a4n2=1,]
[⇒b4n2+a4m2=m2n2,]
[⇒(1-a2)2n2+a4(1-n2)=(1-n2)n2,]
[⇒n2-2a2n2+a4n2+a4-a4n2=n2-n4，]
[⇒a4-2a2n2+n4=0,]
[⇒a2=n2],
[⇒a=n,]
即[sinα=cosβ.]
[∵α、β均为锐角，]
[∴α+β=π2.]
点拨 证法一通过构造函数模型，利用函数的有关性质巧妙地寻找到条件与结论间的逻辑关系，从而问题得以巧妙解决. 证法二通过换元，把本题转换为代数式证明问题，效果明显.
6．角角相关，熟用公式
例6 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]
分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边.
证明 [∵]左式[=32sin40∘2-1cos40∘2]
[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘⋅cos240∘]
[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘⋅cos240∘]
[=4⋅22(32cos40∘-12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘⋅cos40∘)2]
[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=右边.]
点拨 化繁为简型三角恒等式的证明的关键是寻求角、名、式的统一. 本题中是具体的角，不适合用换元法，因为换元的关键是问题的等价变形.如令[x=sin40°],[y=cos40°]，则[x2+y2=1],但反过来却不成立.
练习
1. 求证：[tan2α-cot2αsin2α-cos2α+1cos2α-1sin2α=2cos2α.]
2. 求证：[2(cosα-sinα)1+sinα+cosα=cosα1+sinα-sinα1+cosα.]
3. 已知:[7sinα=3sin(α+β),]
[求证：][2tan2α+β2=5tanβ2.]
4. 求证：[tanα2=sinα-cosα+1sinα+cosα+1.]
1. 基量换元，化归转化
例1 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]
证明 方法一：先转换命题，只需证：[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论.
[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.]
两边同除[sinα]得，
[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]
方法二：根据三角函数的特点，先统一角，再统一三角函数名，再进行换元.
令[x=α+β,y=α]，则
[左边=sin(x+y)siny-2cosx]
[=sin(x+y)-2sinycosxsiny=cosxsiny-sinycosxsiny]
[=sin(x-y)siny=右边].
方法三：结合数学化归转化思想，用换元法把三角函数问题转化为代数证明问题.
令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n],则[a2+b2=1,m2+n2=1.]
[左边=sin2αcosβ+cos2αsinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2abn+(b2-a2)ma-2(bn-am)=2abn+b2m-a2m-2abn+2a2ma=m(b2+a2)a=ma=右边.]
点拨 变角、变名是三角变换的常用技巧，利用换元法把问题进行化归转化常能起到意想不到的效果.如证法二是对角进行换元，证法三是对基本量进行换元.
2. 弦切互化，消元降次
例2 求证：[1+sinα1-2sin2α2=1+tanα21-tanα2.]
证明 方法一：变角，弦化切.
[左边=sin2α2+cos2α2+2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2]
[=(sinα2+cosα2)2(sinα2+cosα2)(cosα2-sinα2)]
[=sinα2+cosα2cosα2-sinα2=1+tanα21-tanα2.]
方法二：通过换元，把三角恒等变形转化为代数恒等变形.
令[sinα2=x,cosα2=y,则x2+y2=1， tanα2=xy.]
[左边-右边=1+2xy1-2x2-1+xy1-xy=1+2xy1-2x2-y+xy-x=(1+2xy)(y-x)-(y+x)(1-2x2)(1-2x2)(y-x)=0.]
故左边=右边.
点拨 在三角恒等变形中，首先考虑消元和降次，可通过弦化切或换元法达到目的.所求问题的条件或结论中的各项次数较高时，可用“换元法”达到降次的目的.
3. 左右变形，两相归一
例3 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]
证明 方法一：左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证.
[左边=sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]
[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2.]
右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ]
[=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2.]
左边[=]右边，故等式成立.
方法二：换元法，化三角恒等变换为代数恒等变换.
[令x=sinθ,y=cosθ,则x2+y2=1,tanθ=xy.]
[左边=xy(1+x)+xxy(1+x)-x=x(1+x)+xyx(1+x)-xy=1+x+y1+x-y，]
[右边=xy+xxy•x=x+xyx2=1+yx，]
[左边-右边=(1+x+y)x-(1+y)(1+x-y)(1+x-y)x]
[=x2+y2-1(1+x-y)x=1-1(1+x-y)x=0.]
[∴]左边=右边.
点拨 对于左右结构相当分数型三角恒等式，左右归一，将左右两边化简成相同的三角式.当然，“寻求角与函数名的统一”是证明的关键.
4. 作差变形，化证为求
例4 求证：[sinα-cosα+1sinα+cosα-1=1+sinαcosα.]
证明 方法一：左式－右式，通过运用同角三角函数公式及[1=cos2α+sin2α]等公式的化简，得左式－右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.
[左边-右边=sinα+1-cosα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+sinα-1cosα+sinα-1⋅cosα]
[=sinαcosα+cosα-cos2α+1-cosα-sinαcosα-sin2αcosα+1+sinα⋅cosα]
[=1-cos2α-sin2αsinα+cosα-1⋅cosα=0.]
[∴]左边=右边.
方法二：通过换元，把问题转化为代数式证明问题.
[令x=sinα,y=cosα,则x2+y2=1,]
[左边-右边=x-y+1x+y-1-1+xy=(x-y+1)y-(1+x)(x+y-1)(x+y+1)y=-y2-x2+1(x+y+1)y=-1+1(x+y+1)y=0.]
[∴]左边=右边.
点拨 对于结构较为复杂的分数型三角恒等式，利用作差法证明可从形式上起到简化的目的.
5．构造函数，巧用性质
例5 已知[α]、[β]为锐角，且[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1,]求证：[α+β=π2.]
证明 方法一：要证明角相等，则必须转化为证角的同名三角函数值相等，为此可设法构建三角函数[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，再通过已知条件挖掘性质即可解决.
构造函数
[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，
由条件[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1]知，[f(x)=(x-1)2≥0].
当[x=1]时，
[f(1)=][(cos2αsinβ-sinβ)2+(sin2αcosβ-cosβ)2=0.]
故[cos2α=sin2β]，且[sin2α=cos2β]，
[∴tan2α=cot2β=tan2(π2-β)].
又[α、π2-β]均为锐角，
则[α=π2-β]，即证[α+β=π2.]
方法二：[欲证α+β=π2,即α=π2-β.]
[∴sinα=sin(π2-β),也即证sinα=cosβ.]
令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n,]
[a,b,m,n均大于0,且a2+b2=1,m2+n2=1,]
[cos4αsin2β+sin4αcos2β=b4m2+a4n2=1,]
[⇒b4n2+a4m2=m2n2,]
[⇒(1-a2)2n2+a4(1-n2)=(1-n2)n2,]
[⇒n2-2a2n2+a4n2+a4-a4n2=n2-n4，]
[⇒a4-2a2n2+n4=0,]
[⇒a2=n2],
[⇒a=n,]
即[sinα=cosβ.]
[∵α、β均为锐角，]
[∴α+β=π2.]
点拨 证法一通过构造函数模型，利用函数的有关性质巧妙地寻找到条件与结论间的逻辑关系，从而问题得以巧妙解决. 证法二通过换元，把本题转换为代数式证明问题，效果明显.
6．角角相关，熟用公式
例6 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]
分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边.
证明 [∵]左式[=32sin40∘2-1cos40∘2]
[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘⋅cos240∘]
[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘⋅cos240∘]
[=4⋅22(32cos40∘-12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘⋅cos40∘)2]
[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=右边.]
点拨 化繁为简型三角恒等式的证明的关键是寻求角、名、式的统一. 本题中是具体的角，不适合用换元法，因为换元的关键是问题的等价变形.如令[x=sin40°],[y=cos40°]，则[x2+y2=1],但反过来却不成立.
练习
1. 求证：[tan2α-cot2αsin2α-cos2α+1cos2α-1sin2α=2cos2α.]
2. 求证：[2(cosα-sinα)1+sinα+cosα=cosα1+sinα-sinα1+cosα.]
3. 已知:[7sinα=3sin(α+β),]
[求证：][2tan2α+β2=5tanβ2.]
4. 求证：[tanα2=sinα-cosα+1sinα+cosα+1.]