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【摘要】我们倡导一种教学风格,称它为“研究式教学”,即将所要讲授的知识当作一个研究课题。注重讲授知识的发现过程,以及在该过程中所用的数学思想方法。本文结合《高等数学》课程的实例谈谈“研究式教学”的一些主要内容。作者多年的教学实践表明,此种方法较好地实现了传授知识、培养能力和提高素质的有机结合。
【关键词】研究式教学 发散性思维
【中图分类号】G424.1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0224-02
教学是一项特殊的活动,在教学过程中,我们把所讲授的知识点作为研究课题,追踪当年发现这些知识的科学大师的足迹,发掘他们的思维脉络,并且在今天的水准上将他们展现出来。一个优秀的教师不仅要将他们创造的成果奉献给学生,更要将他们的创造过程展现给学生。这是一个发散性思维过程。他的潜移默化的作用,将激活蕴藏在学生自身内部的创造潜能。应该相信:每个人都具有这种创造性的潜能。所以,教学也是一项创造性的工作。
为了更加形象地说明“研究式教学”的方法,下面结合《高等数学》课程的实例谈谈“研究式教学”的一些主要内容。
1 点题
研究式教学的第一步是点明研究的课题,即点题。任何一项研究都是有确定目的的,这就是课题,如Newton为了应用他的第二运动定律和万有引力定律于天体运动中,才创立微积分的。然而,教材是按收敛性思维写的,它更注重结构,逻辑和简练。由此而淡化和掩盖了这个目的性。研究式教学首先要揭示这个目的性,使之了然于胸中。
点题是研究式教学中非常重要的步骤,它要求自然而然,顺理成章。
2 科学的洞察力:猜测
在传统的教学中,几乎没有猜测的地位。究其原因在于:教学中的知识点都是已经研究过的,它的结论是已知的,无须再猜测。然而,在知识的发现过程中,在研究的原始过程中,猜测有举足轻重的地位。历史上的科学大师们无不是猜测的行家里手。大数学家Gauss曾讲过:他的许多结论都是由归纳法而猜出来的,以后的证明不过是补行手续而已。美籍华人Nobel奖金获得者杨振宁教授也讲过:“在所有物理与数学的最前沿的研究工作,很大一部分力量要花在猜想上。”研究式教学要展现知识发现的原始过程,猜测是一个必然且重要的过程。
猜测,就是在已有知识的前提下,通过分析、归纳、联想、类比等方法,猜出所研究课题的结论,以及确保该结论成立所需的条件。这是一个发散性思维的过程,是一个极富创造性的心智过程,也是培养创造性人才的重要途径。因此,我们要大力加强这个教学过程,以提高学生的科学洞察力。例如
在“微分中值定理”中,通过速度与平均速度的分析,猜出了Lagrange中值定理的结论。
在“两个重要极限”中,从前n项的归纳中,我们猜出了数列xn的单调递增性。
3 简化
当我们研究问题时,首先考虑的不是如何求解,而是如何简化,这是一个重要的数学思想方法。
化简问题通常用的一个思维模型是:
即当一般问题不易解决时,可以将它特殊化,转化成一个特殊问题。所谓特殊化,也就是根据不同的需要增加一些限制条件。从集合的观点而言,设A是原问题成立的集合,特殊化就是由集合A中划出一个子集A1,则限制在集合A1上的原问题成为一个特殊问题。由于增加了条件,缩小了成立的集合,一般而言,特殊问题比原问题简单,从而达到了简化的目的。例如:在“微分中值定理”中,增加条件f(a)=f(b),将Lagrange中值定理特殊化成Rolle中值定理。
4 探寻本质
探索事物的本质,实在是数学的基本属性。从数与形的抽象,就开始了这种探索。在数学教学中,要逐渐提高学生探求和揭示事物本质的能力,這是一种重要的数学素养。例如:
在“绪论”中,我们通过精彩的三问:一问:尺规的作用是什么？二问:几何作图的本质是什么?三问:尺规作图有解的充要条件是什么？圆满地解决了“古典的几何作图三大难题”。原来几百年来耗尽人们心血和智慧的三大难题,是个不可求解的问题！如果不是解析几何揭示几何作图的本质,这三大难题也许还沉寂在黑暗中。
揭示本质在数学教学中是经常发生的。概念的理解,理论的掌握及知识的应用都要问它的本质是什么？例如:
在“微分中值定理”中,Rolle定理的证明本质是在求最远的折返点。懂得了这一点,就不难理解Rolle定理的全部证明了。书写定理的证明是收敛性思维,当然也需要花力气训练的。
5 集合与泛函
集合论的创立,使数学奠定了更坚实的基础及开辟了更广泛的空间。为了解决某个问题,首先在一个更宽泛的条件下,决定该问题的可行解集合,又称为问题的论域。再研究问题的解在该集合中的位置,由此获得彻底的解决。这是重要的现代数学思想方法。例如:
在“微分中值定理”中,如何寻找Lagrange中值定理的辅助函数呢？Lagrange定理的本质(如图1)是求一条平行于弦AB的切线PT。
如何解决这个问题呢？PT应该满足:
(1) PT∥AB
(2) PT是曲线AB的切线。
这两个条件,难点为第二条。为此,放宽这个条件,将切线换成曲线AB的弦(切线是弦的特例)。这样得到了PT所在的可行集(论域)
PT在何处呢？显然,在S中距AB最远的弦,必为切线PT。因此,可以在s上定义一个泛函:
与CF的距离,
从图1可以看出:
其中
但CD的表达方式较难表示,不妨改成与CD差一个常数因子的CE。由此,泛函成了普通函数。即
这就是Lagrange定理所要的辅助函数。
6 科学的敏感性
科学的敏感性是创造力的表现。缺乏科学敏感性的人常常与真理擦肩而过,失去了历史的机遇而抱恨终身。什么是科学的敏感性？就是从蛛丝马迹的表象中,感受到真理的信息。这里的要点是“敏感”二字。即从这些细微的表象中感到“有戏”。至于“戏”是什么？“戏”在何处？还在其次。因为只有感到“有戏”,就可以深入研究,找出真理来。相反,如果迟钝地感觉不到“有戏”,那就彻底“没戏”了。如果我们在学习过程中,能独立地发现它,这是非常有意义的。要鼓励学生发现问题和提出问题。要培养学生的科学敏感性。一个从来提不出问题的学生不是好学生。同样,一个从来不提问题给学生思考的教师也不是一个好教师。
7 推广
推广,又叫一般化,是学习科学研究的必由之路。推广就是将一个特殊问题,置于一个更一般的条件中研究,变成一个更一般的问题。也即拓宽了问题的论域。推广常常遵循从常量到变量,从变量到函数,从特殊函数到一般函数等等。例如:
在“微分中值定理”中,通过引入积分学的记号,自然而然地将变量x推广到函数g(x)。从而,将Lagrange中值定理推广到Cauchy中值定理。(见图2的左侧)
数学的又一个基本属性是一般化。用最一般的,最统一的方法处理各种问题。而这些问题来源于不同的领域,甚至看似“风马牛不相及”的。在数学发展史上,每一次大的一般化模型的建立,常常伴随着革命性的变化。如速度与面积问题的一般化,诞生了微积分学;Konigsberg七桥问题的一般化,诞生了图论等等。
8 归纳与类比
归纳与类比是重要的发散性思维的方法之一。它常常是发现问题和真理的途径。例如:
在“微分中值定理”中,通过类比导出了证明Cauchy中值定理所需的辅助函数。凡懂得类比的人,看到下图会觉得赏心悦目的。
在教材中,借助参数方程导出了Cauchy定理的辅助函数。这里给了另一种方法。从不同的角度考察同一个问题,正是立体式教学,使得整个教学更加生动和丰满。
9 逼近
逼近的观点是重要的现代数学思维方法。在现代数学中,对于未知量x,往往不再问它等于什么,而问它落在什么范围之中？用不等号代替了等号,用集合代替了一点。问题当然容易求解了。然后,逐渐缩小这个范围,直至或者求出这个未知量,或者求出满足一定精度的近似解。这就是逼近的观点。例如:
在“两个重要极限”中,夹逼定理就是逼近思想的结果。
逼近的思想在《高等数学》中随处可见,极限就是一种无穷逼近,又如区间套、介值定理、收敛半径的Abel定理等等,都是逼近思想的产物。
以上介绍了“研究式教学”的部分内容。当然,很不系统,遗漏很多。如MM方法,RMI方法等等未列其中。《高等数学》虽然只是工科大学一年级的经典课程,但是,素质教育是不讲年龄,不论层次的。在任何一堂课中都是大有作为的。学生期待着我们,祖国期待着我们,未来期待着我们──忠诚的人民教师。
参考文献
[1]Kline M.古今数学思想(1～4册)[M],北京大学数学系数学史翻译组译.上海:上海科技出版社,1979.
[2]Polys G.数学与猜想,第2卷[M],李志光,王月爽,李心灿译.北京:科学出版社,1984.
[3] 王子兴,数学方法论[M],长沙:中南工业大学出版社,1997
[4] 史久一,朱梧贾.化归与归纳、类比、联想[M].南京:江苏教育出版社,1988.
[5]同济大学应用数学系主编,高等数学(第5版,上下册)[M].北京:高等教育出版社,2002.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
他的爱情生活经历充满了曲折,其一生可以考知的恋爱有三次,并且都以悲剧的形式而终结的。第一次是他二十岁的时候,与洛中里娘柳枝的恋爱,根据他的《柳枝的五诗》序中所说柳枝“吹叶嚼蕊,调丝拮管,作天海风涛之曲,幽意怨断之音”是一个极有才情,极富高远韵致的女子。而柳枝听到他的〈燕台诗〉。大为倾慕,并“手断长带”,乞诗相约。结果因为“会所友偕当皆京诗者,戏盗余卧装以先,不果留。”一场期约转而成空,柳枝不久亦被潘镇所娶,这应该是年轻心灵中很有“灵犀”的恋幕,却成了永生的睽隔。第二次,是他在玉阳山学道期间与女冠宋华阳的恋爱。从与之有关的《赠华阳宋真人兼寄清都刘先生》、《月夜重寄宋华阳姊妹》、《赠华阳宋真人》等诗来看,他们有一段浪漫而幽隐的风光。但是好事未久,转瞬又成天涯,留給他心灵的也只是尖锐的创痛与美丽的忧伤。第三次是与妻子王氏的爱情经历。王氏的美丽深情都令诗人陶醉,但是入王茂元幕府,娶王之女,使他的爱情婚姻与牛李党争,官场恩怨无端扭结在一起。他因此而蒙受的人品非难和政治排挤,虽然没有动摇他对爱情的执着,却毕竟使这爱蒙上了阴郁的色彩。因此王氏在世时,他有感于颠沛各地的游幕生活和夫妻的无奈分别;在王氏死后,李商隐还写了不少悼亡诗,有的写的过分悲伤,表现出李商隐对王氏爱情的真挚,他钟情于王氏是在诗中话中随处可以看到的。
不论是李商隐生活的时代大背景,还是他自己的爱情生活经历,都在一定程度上影响和限制了他的爱情诗的艺术手法的选择。在李商隐那些使天下多少痴男怨女为之动情,为之嘘唏落泪的缠绵悲怆的爱之心曲里,掩藏着的是一个刚强与孱弱,退缩与自我进取,向往自我实现而又自我放弃复杂交织的人格特征,而且总是孱弱、退缩和自我放弃占据上上风。在很大程度上决定了他的爱情诗的内容取向和艺术特点。因为真正的诗人无法逃避自己,无法隐遁自己,人格特质因此就必须影响着,甚至决定着诗人的艺术选择。
3 结束语
正因为李商隐有过这样那样的爱情生活经历,以及大唐王朝的时代背景,又加之他的爱情诗在艺术处理上采取了多样的手法。这些手法只是用来表达自己的爱情思想,在那么一个年代里,这种思想的传达是有条件的,含蓄的,委婉的,不可直露。为此李商隐采取了独特的艺术手段进行加工,故他的爱情诗的写法有别于其他诗家的创作,独树一帜,久传不衰,甚至有些爱情诗被改为歌词加以传唱,亦是诗人未曾预料的一大成就。
参考文献
[1] 李商隐诗歌精选.顾之京,范宏杰,姚守梅选注.花山文艺出版社.
[2] 李商隐无题诗爱情说置疑.中秀云,辽宁大学学报,1986年第5期.
[3] 一个弱者的爱情世——李商隐爱情诗的人格阐解,苏涵.
[4] 中国古代文学史,郭预衡.上海古籍出版社.
[5] 谈李商隐无题诗的意境.徐一.
[6] 中国古代文学史游国恩.人大出版社.
[7] 中国古代文学史张培恒.骆玉名.复旦大学出版社.
[8] 李商隐诗歌集解.刘学锴,余恕成.上海古籍出版社.
[9] 李商隐杜牧诗选.李培.世蜀书社.
[10]唐诗评选——王夫之.品诗三种王学太校点.文艺出版社.
[11]李商隐诗类别探源.陈大忠.上海三联出版社.
【关键词】研究式教学 发散性思维
【中图分类号】G424.1 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0224-02
教学是一项特殊的活动,在教学过程中,我们把所讲授的知识点作为研究课题,追踪当年发现这些知识的科学大师的足迹,发掘他们的思维脉络,并且在今天的水准上将他们展现出来。一个优秀的教师不仅要将他们创造的成果奉献给学生,更要将他们的创造过程展现给学生。这是一个发散性思维过程。他的潜移默化的作用,将激活蕴藏在学生自身内部的创造潜能。应该相信:每个人都具有这种创造性的潜能。所以,教学也是一项创造性的工作。
为了更加形象地说明“研究式教学”的方法,下面结合《高等数学》课程的实例谈谈“研究式教学”的一些主要内容。
1 点题
研究式教学的第一步是点明研究的课题,即点题。任何一项研究都是有确定目的的,这就是课题,如Newton为了应用他的第二运动定律和万有引力定律于天体运动中,才创立微积分的。然而,教材是按收敛性思维写的,它更注重结构,逻辑和简练。由此而淡化和掩盖了这个目的性。研究式教学首先要揭示这个目的性,使之了然于胸中。
点题是研究式教学中非常重要的步骤,它要求自然而然,顺理成章。
2 科学的洞察力:猜测
在传统的教学中,几乎没有猜测的地位。究其原因在于:教学中的知识点都是已经研究过的,它的结论是已知的,无须再猜测。然而,在知识的发现过程中,在研究的原始过程中,猜测有举足轻重的地位。历史上的科学大师们无不是猜测的行家里手。大数学家Gauss曾讲过:他的许多结论都是由归纳法而猜出来的,以后的证明不过是补行手续而已。美籍华人Nobel奖金获得者杨振宁教授也讲过:“在所有物理与数学的最前沿的研究工作,很大一部分力量要花在猜想上。”研究式教学要展现知识发现的原始过程,猜测是一个必然且重要的过程。
猜测,就是在已有知识的前提下,通过分析、归纳、联想、类比等方法,猜出所研究课题的结论,以及确保该结论成立所需的条件。这是一个发散性思维的过程,是一个极富创造性的心智过程,也是培养创造性人才的重要途径。因此,我们要大力加强这个教学过程,以提高学生的科学洞察力。例如
在“微分中值定理”中,通过速度与平均速度的分析,猜出了Lagrange中值定理的结论。
在“两个重要极限”中,从前n项的归纳中,我们猜出了数列xn的单调递增性。
3 简化
当我们研究问题时,首先考虑的不是如何求解,而是如何简化,这是一个重要的数学思想方法。
化简问题通常用的一个思维模型是:
即当一般问题不易解决时,可以将它特殊化,转化成一个特殊问题。所谓特殊化,也就是根据不同的需要增加一些限制条件。从集合的观点而言,设A是原问题成立的集合,特殊化就是由集合A中划出一个子集A1,则限制在集合A1上的原问题成为一个特殊问题。由于增加了条件,缩小了成立的集合,一般而言,特殊问题比原问题简单,从而达到了简化的目的。例如:在“微分中值定理”中,增加条件f(a)=f(b),将Lagrange中值定理特殊化成Rolle中值定理。
4 探寻本质
探索事物的本质,实在是数学的基本属性。从数与形的抽象,就开始了这种探索。在数学教学中,要逐渐提高学生探求和揭示事物本质的能力,這是一种重要的数学素养。例如:
在“绪论”中,我们通过精彩的三问:一问:尺规的作用是什么？二问:几何作图的本质是什么?三问:尺规作图有解的充要条件是什么？圆满地解决了“古典的几何作图三大难题”。原来几百年来耗尽人们心血和智慧的三大难题,是个不可求解的问题！如果不是解析几何揭示几何作图的本质,这三大难题也许还沉寂在黑暗中。
揭示本质在数学教学中是经常发生的。概念的理解,理论的掌握及知识的应用都要问它的本质是什么？例如:
在“微分中值定理”中,Rolle定理的证明本质是在求最远的折返点。懂得了这一点,就不难理解Rolle定理的全部证明了。书写定理的证明是收敛性思维,当然也需要花力气训练的。
5 集合与泛函
集合论的创立,使数学奠定了更坚实的基础及开辟了更广泛的空间。为了解决某个问题,首先在一个更宽泛的条件下,决定该问题的可行解集合,又称为问题的论域。再研究问题的解在该集合中的位置,由此获得彻底的解决。这是重要的现代数学思想方法。例如:
在“微分中值定理”中,如何寻找Lagrange中值定理的辅助函数呢？Lagrange定理的本质(如图1)是求一条平行于弦AB的切线PT。
如何解决这个问题呢？PT应该满足:
(1) PT∥AB
(2) PT是曲线AB的切线。
这两个条件,难点为第二条。为此,放宽这个条件,将切线换成曲线AB的弦(切线是弦的特例)。这样得到了PT所在的可行集(论域)
PT在何处呢？显然,在S中距AB最远的弦,必为切线PT。因此,可以在s上定义一个泛函:
与CF的距离,
从图1可以看出:
其中
但CD的表达方式较难表示,不妨改成与CD差一个常数因子的CE。由此,泛函成了普通函数。即
这就是Lagrange定理所要的辅助函数。
6 科学的敏感性
科学的敏感性是创造力的表现。缺乏科学敏感性的人常常与真理擦肩而过,失去了历史的机遇而抱恨终身。什么是科学的敏感性？就是从蛛丝马迹的表象中,感受到真理的信息。这里的要点是“敏感”二字。即从这些细微的表象中感到“有戏”。至于“戏”是什么？“戏”在何处？还在其次。因为只有感到“有戏”,就可以深入研究,找出真理来。相反,如果迟钝地感觉不到“有戏”,那就彻底“没戏”了。如果我们在学习过程中,能独立地发现它,这是非常有意义的。要鼓励学生发现问题和提出问题。要培养学生的科学敏感性。一个从来提不出问题的学生不是好学生。同样,一个从来不提问题给学生思考的教师也不是一个好教师。
7 推广
推广,又叫一般化,是学习科学研究的必由之路。推广就是将一个特殊问题,置于一个更一般的条件中研究,变成一个更一般的问题。也即拓宽了问题的论域。推广常常遵循从常量到变量,从变量到函数,从特殊函数到一般函数等等。例如:
在“微分中值定理”中,通过引入积分学的记号,自然而然地将变量x推广到函数g(x)。从而,将Lagrange中值定理推广到Cauchy中值定理。(见图2的左侧)
数学的又一个基本属性是一般化。用最一般的,最统一的方法处理各种问题。而这些问题来源于不同的领域,甚至看似“风马牛不相及”的。在数学发展史上,每一次大的一般化模型的建立,常常伴随着革命性的变化。如速度与面积问题的一般化,诞生了微积分学;Konigsberg七桥问题的一般化,诞生了图论等等。
8 归纳与类比
归纳与类比是重要的发散性思维的方法之一。它常常是发现问题和真理的途径。例如:
在“微分中值定理”中,通过类比导出了证明Cauchy中值定理所需的辅助函数。凡懂得类比的人,看到下图会觉得赏心悦目的。
在教材中,借助参数方程导出了Cauchy定理的辅助函数。这里给了另一种方法。从不同的角度考察同一个问题,正是立体式教学,使得整个教学更加生动和丰满。
9 逼近
逼近的观点是重要的现代数学思维方法。在现代数学中,对于未知量x,往往不再问它等于什么,而问它落在什么范围之中？用不等号代替了等号,用集合代替了一点。问题当然容易求解了。然后,逐渐缩小这个范围,直至或者求出这个未知量,或者求出满足一定精度的近似解。这就是逼近的观点。例如:
在“两个重要极限”中,夹逼定理就是逼近思想的结果。
逼近的思想在《高等数学》中随处可见,极限就是一种无穷逼近,又如区间套、介值定理、收敛半径的Abel定理等等,都是逼近思想的产物。
以上介绍了“研究式教学”的部分内容。当然,很不系统,遗漏很多。如MM方法,RMI方法等等未列其中。《高等数学》虽然只是工科大学一年级的经典课程,但是,素质教育是不讲年龄,不论层次的。在任何一堂课中都是大有作为的。学生期待着我们,祖国期待着我们,未来期待着我们──忠诚的人民教师。
参考文献
[1]Kline M.古今数学思想(1～4册)[M],北京大学数学系数学史翻译组译.上海:上海科技出版社,1979.
[2]Polys G.数学与猜想,第2卷[M],李志光,王月爽,李心灿译.北京:科学出版社,1984.
[3] 王子兴,数学方法论[M],长沙:中南工业大学出版社,1997
[4] 史久一,朱梧贾.化归与归纳、类比、联想[M].南京:江苏教育出版社,1988.
[5]同济大学应用数学系主编,高等数学(第5版,上下册)[M].北京:高等教育出版社,2002.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
他的爱情生活经历充满了曲折,其一生可以考知的恋爱有三次,并且都以悲剧的形式而终结的。第一次是他二十岁的时候,与洛中里娘柳枝的恋爱,根据他的《柳枝的五诗》序中所说柳枝“吹叶嚼蕊,调丝拮管,作天海风涛之曲,幽意怨断之音”是一个极有才情,极富高远韵致的女子。而柳枝听到他的〈燕台诗〉。大为倾慕,并“手断长带”,乞诗相约。结果因为“会所友偕当皆京诗者,戏盗余卧装以先,不果留。”一场期约转而成空,柳枝不久亦被潘镇所娶,这应该是年轻心灵中很有“灵犀”的恋幕,却成了永生的睽隔。第二次,是他在玉阳山学道期间与女冠宋华阳的恋爱。从与之有关的《赠华阳宋真人兼寄清都刘先生》、《月夜重寄宋华阳姊妹》、《赠华阳宋真人》等诗来看,他们有一段浪漫而幽隐的风光。但是好事未久,转瞬又成天涯,留給他心灵的也只是尖锐的创痛与美丽的忧伤。第三次是与妻子王氏的爱情经历。王氏的美丽深情都令诗人陶醉,但是入王茂元幕府,娶王之女,使他的爱情婚姻与牛李党争,官场恩怨无端扭结在一起。他因此而蒙受的人品非难和政治排挤,虽然没有动摇他对爱情的执着,却毕竟使这爱蒙上了阴郁的色彩。因此王氏在世时,他有感于颠沛各地的游幕生活和夫妻的无奈分别;在王氏死后,李商隐还写了不少悼亡诗,有的写的过分悲伤,表现出李商隐对王氏爱情的真挚,他钟情于王氏是在诗中话中随处可以看到的。
不论是李商隐生活的时代大背景,还是他自己的爱情生活经历,都在一定程度上影响和限制了他的爱情诗的艺术手法的选择。在李商隐那些使天下多少痴男怨女为之动情,为之嘘唏落泪的缠绵悲怆的爱之心曲里,掩藏着的是一个刚强与孱弱,退缩与自我进取,向往自我实现而又自我放弃复杂交织的人格特征,而且总是孱弱、退缩和自我放弃占据上上风。在很大程度上决定了他的爱情诗的内容取向和艺术特点。因为真正的诗人无法逃避自己,无法隐遁自己,人格特质因此就必须影响着,甚至决定着诗人的艺术选择。
3 结束语
正因为李商隐有过这样那样的爱情生活经历,以及大唐王朝的时代背景,又加之他的爱情诗在艺术处理上采取了多样的手法。这些手法只是用来表达自己的爱情思想,在那么一个年代里,这种思想的传达是有条件的,含蓄的,委婉的,不可直露。为此李商隐采取了独特的艺术手段进行加工,故他的爱情诗的写法有别于其他诗家的创作,独树一帜,久传不衰,甚至有些爱情诗被改为歌词加以传唱,亦是诗人未曾预料的一大成就。
参考文献
[1] 李商隐诗歌精选.顾之京,范宏杰,姚守梅选注.花山文艺出版社.
[2] 李商隐无题诗爱情说置疑.中秀云,辽宁大学学报,1986年第5期.
[3] 一个弱者的爱情世——李商隐爱情诗的人格阐解,苏涵.
[4] 中国古代文学史,郭预衡.上海古籍出版社.
[5] 谈李商隐无题诗的意境.徐一.
[6] 中国古代文学史游国恩.人大出版社.
[7] 中国古代文学史张培恒.骆玉名.复旦大学出版社.
[8] 李商隐诗歌集解.刘学锴,余恕成.上海古籍出版社.
[9] 李商隐杜牧诗选.李培.世蜀书社.
[10]唐诗评选——王夫之.品诗三种王学太校点.文艺出版社.
[11]李商隐诗类别探源.陈大忠.上海三联出版社.