动点几何问题是中考的热点题型，解决此类问题的基本策略是：动中取静——在运动变化中探索问题中的不变性（这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系）;动静互化——抓住“静”的瞬间，将一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系;以动制动——建立图形中的数量关系，进而解决问题.下面以特殊四边形动点问题为例进行介绍.
　　例1（2020·江苏·扬州）如图1，在矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 11 cm，点P从点D出发向终点A运动，同时点Q从点B出发向终点C运动. 当P，Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP. 设点P，Q运动的时间为t（s）.
　　（1）如图1，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
　　（2）如图2，若点E为边AD上一点，当AE = 3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值;若不能，请说明理由.
　　 [A][P][D][C][Q][B][E] [A][D][B][C]
　　 图1       图2
　　分析：（1）根据矩形的性质可得AP = BQ，进而列方程，解方程即可得解;（2）根据菱形的性质可得PE = CQ = CP，进而列方程，解方程即可得解.
　　解：由题意可得DP = t，BQ = 2t，则AP = 11 - t，CQ = 11 - 2t.
　　（1）若四边形ABQP是矩形，则AP = BQ，
　　∴11 - t = 2t，解得t = [113]，即当t = [113]时，四边形ABQP是矩形.
　　（2）由题意得PE = 11 - 3 - t = 8 - t，CQ = 11 - 2t，CP2 = CD2 + DP2 = 16 + t2，
　　若四边形EQCP为菱形，则PE = CQ = CP，
　　∴（8 - t）2 =  （11 - 2t）2 = t2  + 16，解得t = 3，
　　∴当t = 3时，四边形EQCP为菱形.
　　点评：解题关键是由动转化为静，根据矩形、菱形的性质，构造方程求解.
　　例2（2020·四川·乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点.
　　（1）如图3，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是     .
　　（2）当点P运动到如图4所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立.
　　（3）如图5，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF = 30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系.
　　 [D] [A][C][B][P][E][O][F] [D][A][C][B] [O] [D][A][C][B] [P][O][E][F][P]
　　 图3 图4 图5
　　分析：（1）由“AAS”可证△AEO ≌ △CFO，可得OE = OF;（2）如图6，延长EO交CF于点G，由“ASA”可证△AOE ≌ △COG，可得OE = OG，由直角三角形的性质可得OG = OE = OF;（3）如图7，延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE = CH，OE = OH，由直角三角形的性质可得HF = [12]EH = OE，可得结论.
　　解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO = CO，
　　∵∠AEO = ∠CFO = 90°，∠AOE = ∠COF，∴△AEO ≌ △CFO（AAS），
　　∴OE = OF.
　　（2）补全图形如图6所示.  [A][E][D][C][G][B][F][P][O] [D][C][H][O][A][P][E][B][F]
　　 图6     图7
　　结论仍然成立.
　　理由：延长EO交CF于點G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE[?]CF，∴∠EAO = ∠GCO，
　　∵点O为AC的中点，∴AO = CO，又∵∠AOE = ∠COG，∴△AOE ≌△COG（ASA），
　　∴OE = OG，∵∠GFE = 90°，∴OF = [12]EG = OE.
　　（3）线段CF，AE，OE之间的关系为OE = CF + AE，
　　证明：如图7，延长EO交FC的延长线于点H，
　　由（2）可知△AOE ≌△COH，∴AE = CH，OE = OH，
　　∵∠OEF = 30°，∠HFE = 90°，∴HF = [12]EH = OE，
　　∴OE = CF + CH = CF + AE.
　　即OE = CF + AE.
　　点评：解题关键是添加辅助线构造全等三角形.