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摘 要：在二值命题逻辑系统中给出了公式列按真度收敛的定义，证明了按度量、真度收敛满足收敛的充分以及必要条件，并且证明了收敛极限运算满足、、、逻辑运算法则.
关键词：逻辑度量空间;度量收敛;赋值收敛;真度收敛;逻辑等价
1 引言
数理逻辑的特点在于符号化和形式化，它和计算数学有截然不同的风格：前者注重形式推理而后者注重数值计算.在基于理论的近似推理研究中[14]，经常要考虑能否用公式列去逼近某个公式的问题，因此把公式列作为一个特殊的理论，并合理的定义其敛散性是一个值得研究的课题.文献[15]分别从度量和赋值的角度出发提出了一个公式列按度量收敛以及按赋值收敛的概念，讨论了两种收敛各自的一些初步性质，但对一些更深层次的问题尚未展开研究，比如：度量收敛和赋值收敛的关系如何？能否给出度量收敛和赋值收敛所要满足的条件（尤其是充要条件）？这些都是值得研究的课题.本文在二值命题逻辑系统中，借助文献 [11]提出的公式列按度量收敛以及按赋值收敛的概念，研究了这两种收敛的性质，同时提出了公式列按度量收敛的概念，证明了三中收敛之间的关系，解决了文献[11]提出的问题.
2 预备知识
设，是由生成的型自由代数.中的元叫原子命题，中的元称为公式（或命题）.在中规定：，，当且当，且，则成为一个型代数，称型同态.为的一个赋值.以记上全体赋值之集.
定义1[3] 设是含有个命题变元的合式公式，它是由通过逻辑连接词与等连接而成.设分别由取代中的，并把中的逻辑连接词，，理解Boole代数运算中的，与，则得元函数，记作，称为为所诱导的函数.
定义2[3] 设，若，，则称为重言式，记为：;若，，则称为矛盾式;若，都有，则称与逻辑等价，记作：.
定义3[4] 设，令称为与之间的相似度.
设是相似度函数，令.由文献[4]可知，是上的伪度量，称为逻辑度量空间.
定理1 [4] 设，则以下性质成立：
3 度量收敛理论
定义4[10] 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，若.则称公式序列度量收敛于公式，记且称为的度量极限点.
例1 设是矛盾式，公式序列，则，所以矛盾式是的度量极限点;同理，是一重言式，则，那么是公式序列的度量极限点.
定理2[10] 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列.若，则在逻辑等价的意义下度量极限点是唯一的.
定理3 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，则使得时，，即为理论的型误差小于的结论，记为.
证明为的度量极限点，则即数列的极限值为0，那么，使得时，.又由于，所以
.使得时，，即.为的度量极限点.
定理4 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，若使得时，，则.
此定理显然出成立.
定理5设，中含有限个相同的原子命题，若
证明 ，中含有限个相同的原子命题，不妨设含个原
子命题，因为
定理6 设是伪距离逻辑度量空间，，为公式序列，，是 中的公式.若，分别是公式序列，的度量极限点.则
證明（ⅰ）证明是的度量极限点.
因为，则
当，有，即.
（ⅱ）证明是的度量极限点.因为
，使得时，且.由定理1得
（ⅲ）证明是的度量极限点.
4 结束语
本文在二值命题逻辑系统中，在文献[]提出了公式列按度量、赋值收敛基础上，给出了公式列按真度收敛的定义，研究了三种收敛的性质和它们之间的关系，得到三种收敛关于逻辑运算、、、的运算法则.
参考文献
[1]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].2 版.北京：科学出版社，2006
[2]王国俊，宋建社.命题逻辑中的程度化方法[M].电子学报，2006，34（2）
[3]张乐，裴道武.命题逻辑理论的条件真度[J].山东大学学报（理学版）2012，47（2）
[4]于西昌，陈怀进，谭桂梅.公式的概率真度、相似度与伪距离[J].计算机工程与用，2010，27
[5]李骏，邓富喜.n值S-MTL命题逻辑系统中公式真度的统一理论[J].电子学报，2011，39（8）
关键词：逻辑度量空间;度量收敛;赋值收敛;真度收敛;逻辑等价
1 引言
数理逻辑的特点在于符号化和形式化，它和计算数学有截然不同的风格：前者注重形式推理而后者注重数值计算.在基于理论的近似推理研究中[14]，经常要考虑能否用公式列去逼近某个公式的问题，因此把公式列作为一个特殊的理论，并合理的定义其敛散性是一个值得研究的课题.文献[15]分别从度量和赋值的角度出发提出了一个公式列按度量收敛以及按赋值收敛的概念，讨论了两种收敛各自的一些初步性质，但对一些更深层次的问题尚未展开研究，比如：度量收敛和赋值收敛的关系如何？能否给出度量收敛和赋值收敛所要满足的条件（尤其是充要条件）？这些都是值得研究的课题.本文在二值命题逻辑系统中，借助文献 [11]提出的公式列按度量收敛以及按赋值收敛的概念，研究了这两种收敛的性质，同时提出了公式列按度量收敛的概念，证明了三中收敛之间的关系，解决了文献[11]提出的问题.
2 预备知识
设，是由生成的型自由代数.中的元叫原子命题，中的元称为公式（或命题）.在中规定：，，当且当，且，则成为一个型代数，称型同态.为的一个赋值.以记上全体赋值之集.
定义1[3] 设是含有个命题变元的合式公式，它是由通过逻辑连接词与等连接而成.设分别由取代中的，并把中的逻辑连接词，，理解Boole代数运算中的，与，则得元函数，记作，称为为所诱导的函数.
定义2[3] 设，若，，则称为重言式，记为：;若，，则称为矛盾式;若，都有，则称与逻辑等价，记作：.
定义3[4] 设，令称为与之间的相似度.
设是相似度函数，令.由文献[4]可知，是上的伪度量，称为逻辑度量空间.
定理1 [4] 设，则以下性质成立：
3 度量收敛理论
定义4[10] 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，若.则称公式序列度量收敛于公式，记且称为的度量极限点.
例1 设是矛盾式，公式序列，则，所以矛盾式是的度量极限点;同理，是一重言式，则，那么是公式序列的度量极限点.
定理2[10] 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列.若，则在逻辑等价的意义下度量极限点是唯一的.
定理3 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，则使得时，，即为理论的型误差小于的结论，记为.
证明为的度量极限点，则即数列的极限值为0，那么，使得时，.又由于，所以
.使得时，，即.为的度量极限点.
定理4 设是伪距离逻辑度量空间，是一个公式序列，，若使得时，，则.
此定理显然出成立.
定理5设，中含有限个相同的原子命题，若
证明 ，中含有限个相同的原子命题，不妨设含个原
子命题，因为
定理6 设是伪距离逻辑度量空间，，为公式序列，，是 中的公式.若，分别是公式序列，的度量极限点.则
證明（ⅰ）证明是的度量极限点.
因为，则
当，有，即.
（ⅱ）证明是的度量极限点.因为
，使得时，且.由定理1得
（ⅲ）证明是的度量极限点.
4 结束语
本文在二值命题逻辑系统中，在文献[]提出了公式列按度量、赋值收敛基础上，给出了公式列按真度收敛的定义，研究了三种收敛的性质和它们之间的关系，得到三种收敛关于逻辑运算、、、的运算法则.
参考文献
[1]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].2 版.北京：科学出版社，2006
[2]王国俊，宋建社.命题逻辑中的程度化方法[M].电子学报，2006，34（2）
[3]张乐，裴道武.命题逻辑理论的条件真度[J].山东大学学报（理学版）2012，47（2）
[4]于西昌，陈怀进，谭桂梅.公式的概率真度、相似度与伪距离[J].计算机工程与用，2010，27
[5]李骏，邓富喜.n值S-MTL命题逻辑系统中公式真度的统一理论[J].电子学报，2011，39（8）