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考查圆锥曲线的重点问题是焦半径,热点问题也是焦半径.因为焦半径是连接圆锥曲线第一定义与统一定义的纽带,用普通方法解决这类问题因其计算量大而使学生望而生畏.然而若用三角函数来表示焦半径则可简化运算,起到事半功倍的效果,下面分类说明.
一、椭圆
在教学中,我们常常会遇到这样的问题:过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F任作一直线与椭圆交于A,B两点,求线段AB长的取值范围.一般解法是设直线方程,然后与椭圆方程联立,再用根与系数的关系求解,而且要对直线的斜率是否存在进行分类.理论上讲是能做得出来的,但因其计算量大至少使90%的学生无法通过计算得到结论.
现在来介绍三角解法:设∠AOX=θ,(把射线FX绕点F按逆时针方向旋转到与射线FA重合时的最小正角为θ,若点A在x轴正半轴上规定θ=0,则0≤θ<2π,下文的定义同此)显然点A的坐标为(c+FA•cosθ,FA•sinθ),根据椭圆的第二定义:点A到F的距离AF与点A到右准线x=a2c的距离d=a2c-c-FA•cosθ之比为常数e(0 例题设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F作一直线交椭圆于A,B两点,且AF=3FB,求直线AB的方程(a,b为常数).
分析设∠AFX=θ,AF=b2a-c•cosθ,FB=b2a+c•cosθ.由AF=3FB|AF|=3|FB|b2a-c•cosθ=b2a+c•cosθ×3cosθ=a2c,所以当a>2c时,直线不存在;当a=2c时,直线方程为y=0;当c 二、双曲线
先探索右焦点F2与右支上任一点A的距离PF的长:设∠AF2X=θ,0≤θ<2π,则A(c+AF•cosθ,AF•sinθ),点A到右准线的距离为c+AF•cosθ-a2c,由第二定义知:AF=ec+AF•cosθ-a2c,得AF=b2a-c•cosθ;再探索左支上任一点B到左焦点F1的距离:设∠AF1X=θ,则B(-c+BF•cosθ,BF•sinθ),点B到左准线x=-a2c的距离为-a2c+c-BF•cosθ,由第二定义知BF1=ec+AF•cosθ-a2cBF1=b2a+c•cosθ,关于双曲线的这类问题比较复杂,考试大纲对直线与双曲线的要求是A级,因此只要会简单的则可.
三、抛物线
这是最简单的圆锥曲线,它的焦半径和焦点弦长的三角表示就简单了.设点M是抛物线y2=2px(p为正常数)上任一点,F为其抛物线的焦点,∠MFX=θ(0≤θ<2π),点Mp2+PF•cosθ,PF•sinθ,故点M到准线x=-p2的距离为p+PF•cosθ,故依定义:MF=MF•cosθ+p,故:MF=p1-cosθ,若过焦点F的直线交抛物线y2=2px于两点M,N,则MF=p1-cosθ,NF=p1+cosθ,故焦点弦MN=p1-cosθ+p1+cosθ=2p1-cos2θ=2psin2θ,故当MN与x轴垂直时,MN最小,最小值为2p.即焦点弦长MN∈[2p,+∞).
显然1MF+1NF=2p,这是抛物线中与角θ无关的结论.是不是对任意椭圆都有这样的结论呢?设F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点,过点F的直线交椭圆于两点A,B,问:1AF+1BF是否为定值?
设∠AFX=θ(0≤θ<2π),则有第一类椭圆部分的分析点:AF=b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ1AF+1BF=2ab2(与θ无关).
那么在双曲线中也有类似的结论吗?设点F为双曲线x2a2-y2b2=1(a,b为正常数)的右焦点,过点F作直线l交双曲线于A,B两点,当A,B都位于右支上时,由分析知:设∠AFX=θ,则AF=b2a-c•cosθ,BF=b2a+c•cosθ1AF+1BF=2ab2,即当A,B位于同一支上时1AF+1BF为定值2ab2.
当A,B一个在左支上、一个在右支上时呢?则AF=-b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ,有1AF+1BF=-2cosθb2.这是一个与θ有关的结论.
从上述的分析不难得到这样一个定理:过抛物线、双曲线、椭圆的一个焦点分别作一条直线与它们交于两点(双曲线中两点在同一支上),则焦半径的倒数和为定值.
其实只要我们做个有心人,不停地去探索,我们会发现数学(尤其是高中数学)真的很有趣且奥妙无穷.导数的两大功能及相应误区导数的两大功能及相应误区
◎王波(江苏省淮安市楚州中学223200)
导函数简称导数,是高中数学的一个新增内容,它是连接中等数学与高等数学的一个纽带,因而备受高考命题专家的青睐,成了高考的一个热点问题.归纳起来,导数只具有两大功能.
功能一、求切线的斜率
由导数的几何意义知:曲线y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线在x=x0处切线的斜率k=f′(x0).切点为(x0,f(x0)),故切线方程为:y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
例1设点P是曲线y=ln x上任意一点,求点P到直线y=2x距离的最小值.
图1本题的直接解法为:设点P(x,ln x),其中x>0,则点P到直线y=2x的距离为d=|2x-ln x|5,由线性规则的知识得:d=2x-ln x5,问题转化为求以x(x>0)为自变量的函数d的最小值.由d′≥0得:x≥12,所以函数d在12,+∞上递增,在0,12上递减,故d的最小值为dmin=1+ln 25;如果深入分析,我们还可以采取数形结合的方法来解(如图1),可以将问题这样转化:将直线y=2x向下平移至与曲线y=ln x相切时,两平行线间的距离即为所求,设点P(x0,y0),y′=1x,推出1x0=2(直线平行斜率相等),得x0=12,故点P12,-ln 2,它到直线2x-y=0的距离为d=1+ln 25.
对于曲线的切线概念,我们要消除一个误区,过去我们认为曲线的切线与曲线有且只有一个公共点,这是错误的.真正的定义中应强调两点:第一,切线是曲线的一种特殊的割线.点P(x0,y0)是曲线y=f(x)上一定点,Q(x,y)是曲线上动点,当点x-x0→0时,割线PQ叫作曲线y=f(x)的切线.第二,切线强调的是在某一点处的切线,至于这条切线是否与曲线还有其他的第三个公共点,它未涉及,故可有可无,这就是曲线的一条切线可以与曲线有多个公共点的原因.
功能二、求函数的单调区间
这个问题是大家所熟知的,由f′(x)≥0得到的区间即为函数的增区间,以定义域为全集,增区间的补集所对应的区间为减区间.如:讨论函数f(x)=x3+x2-6ax在区间(1,+∞)上的单调性(a∈R).显然用导数求解:f′(x)=3x2+2x-6a,设f′(x)≥0,则3x2+2x-6a≥0,当6a≤3x2+2x恒成立,即6a≤5a≤56时,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故f(x)在(1,+∞)上递减;当a>56时,3x2+2x-6a≥0(x>1)得:x>-1+18a+13,故f(x)在1,-1+18a+13上递减,在-1+18a+13,+∞上递增.最后分类说明.看到这儿读者们不禁会问:求函数的最值或极值难道不是导数的功能吗?利用导数确实能求出函数的最值和极值,但这能说是导数的第三功能吗?让我们细细品味求函数最值的解题过程:由y′≥0得单调增区间减区间画图,通过图像寫出函数的最大值或极值,不难发现求函数最值,先要求单调区间,只多一步画图写最值,这不能说是导数的第三功能,充其量只是函数单调区间的一个应用或延伸.然而可别小看了这个功能,它恰有两个应用误区:
误区一f′(x)≥0(对应的区间为[a,b])是函数f(x)在[a,b]上递增的充分条件.如函数f(x)=2,x≤0,
x2+2,x>0.显然,当x≤0时,f′(x)=0;当x>0时,f′(x)=2x>0,故x∈R都有f′(x)≥0成立,但f(x)在(-∞,+∞)上却不是递增的,因此,要使f(x)在[a,b]上单调递增还需加一个条件:f′(x)在[a,b]上有有限个零点.即:f′(x)≥0(对应区间为[a,b]且f′(x)在[a,b]上有有限个零点)f(x)在[a,b]上递增,这才是一个定理.
例2若函数f(x)=(a+1)x-1x-1在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
学生看到这个问题感到很亲切,认为太好做了,f′(x)=-a(x+1)2,要使f(x)在(1,+∞)上递增,只需使f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤0.正在学生暗自庆幸、得意忘形之时,已不知不觉地落入陷阱,“a≤0”这个结论是不对的.因为当a=0时,f′(x)=0在(1,+∞)上是恒成立,但是f′(x)=0在(1,+∞)上却有无数个零点,这与定理是矛盾的.若不信可以代入原题检验;当a=0时,f(x)=1,显然不合题意.那么是不是用f′(x)>0来求就可回避这个等号问题呢?也不是.问题:“若函数f(x)=x+ax在(2,+∞)上递增,求实数a的范围.”只用f′(x)>01-ax2>0在(2,+∞)上恒成立,得到a<4,而a=4时也合题意.所以最好的方法仍然是:令f′(x)≥0求解,再检验是否可取等号.
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一、椭圆
在教学中,我们常常会遇到这样的问题:过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F任作一直线与椭圆交于A,B两点,求线段AB长的取值范围.一般解法是设直线方程,然后与椭圆方程联立,再用根与系数的关系求解,而且要对直线的斜率是否存在进行分类.理论上讲是能做得出来的,但因其计算量大至少使90%的学生无法通过计算得到结论.
现在来介绍三角解法:设∠AOX=θ,(把射线FX绕点F按逆时针方向旋转到与射线FA重合时的最小正角为θ,若点A在x轴正半轴上规定θ=0,则0≤θ<2π,下文的定义同此)显然点A的坐标为(c+FA•cosθ,FA•sinθ),根据椭圆的第二定义:点A到F的距离AF与点A到右准线x=a2c的距离d=a2c-c-FA•cosθ之比为常数e(0
分析设∠AFX=θ,AF=b2a-c•cosθ,FB=b2a+c•cosθ.由AF=3FB|AF|=3|FB|b2a-c•cosθ=b2a+c•cosθ×3cosθ=a2c,所以当a>2c时,直线不存在;当a=2c时,直线方程为y=0;当c 二、双曲线
先探索右焦点F2与右支上任一点A的距离PF的长:设∠AF2X=θ,0≤θ<2π,则A(c+AF•cosθ,AF•sinθ),点A到右准线的距离为c+AF•cosθ-a2c,由第二定义知:AF=ec+AF•cosθ-a2c,得AF=b2a-c•cosθ;再探索左支上任一点B到左焦点F1的距离:设∠AF1X=θ,则B(-c+BF•cosθ,BF•sinθ),点B到左准线x=-a2c的距离为-a2c+c-BF•cosθ,由第二定义知BF1=ec+AF•cosθ-a2cBF1=b2a+c•cosθ,关于双曲线的这类问题比较复杂,考试大纲对直线与双曲线的要求是A级,因此只要会简单的则可.
三、抛物线
这是最简单的圆锥曲线,它的焦半径和焦点弦长的三角表示就简单了.设点M是抛物线y2=2px(p为正常数)上任一点,F为其抛物线的焦点,∠MFX=θ(0≤θ<2π),点Mp2+PF•cosθ,PF•sinθ,故点M到准线x=-p2的距离为p+PF•cosθ,故依定义:MF=MF•cosθ+p,故:MF=p1-cosθ,若过焦点F的直线交抛物线y2=2px于两点M,N,则MF=p1-cosθ,NF=p1+cosθ,故焦点弦MN=p1-cosθ+p1+cosθ=2p1-cos2θ=2psin2θ,故当MN与x轴垂直时,MN最小,最小值为2p.即焦点弦长MN∈[2p,+∞).
显然1MF+1NF=2p,这是抛物线中与角θ无关的结论.是不是对任意椭圆都有这样的结论呢?设F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点,过点F的直线交椭圆于两点A,B,问:1AF+1BF是否为定值?
设∠AFX=θ(0≤θ<2π),则有第一类椭圆部分的分析点:AF=b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ1AF+1BF=2ab2(与θ无关).
那么在双曲线中也有类似的结论吗?设点F为双曲线x2a2-y2b2=1(a,b为正常数)的右焦点,过点F作直线l交双曲线于A,B两点,当A,B都位于右支上时,由分析知:设∠AFX=θ,则AF=b2a-c•cosθ,BF=b2a+c•cosθ1AF+1BF=2ab2,即当A,B位于同一支上时1AF+1BF为定值2ab2.
当A,B一个在左支上、一个在右支上时呢?则AF=-b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ,有1AF+1BF=-2cosθb2.这是一个与θ有关的结论.
从上述的分析不难得到这样一个定理:过抛物线、双曲线、椭圆的一个焦点分别作一条直线与它们交于两点(双曲线中两点在同一支上),则焦半径的倒数和为定值.
其实只要我们做个有心人,不停地去探索,我们会发现数学(尤其是高中数学)真的很有趣且奥妙无穷.导数的两大功能及相应误区导数的两大功能及相应误区
◎王波(江苏省淮安市楚州中学223200)
导函数简称导数,是高中数学的一个新增内容,它是连接中等数学与高等数学的一个纽带,因而备受高考命题专家的青睐,成了高考的一个热点问题.归纳起来,导数只具有两大功能.
功能一、求切线的斜率
由导数的几何意义知:曲线y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线在x=x0处切线的斜率k=f′(x0).切点为(x0,f(x0)),故切线方程为:y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
例1设点P是曲线y=ln x上任意一点,求点P到直线y=2x距离的最小值.
图1本题的直接解法为:设点P(x,ln x),其中x>0,则点P到直线y=2x的距离为d=|2x-ln x|5,由线性规则的知识得:d=2x-ln x5,问题转化为求以x(x>0)为自变量的函数d的最小值.由d′≥0得:x≥12,所以函数d在12,+∞上递增,在0,12上递减,故d的最小值为dmin=1+ln 25;如果深入分析,我们还可以采取数形结合的方法来解(如图1),可以将问题这样转化:将直线y=2x向下平移至与曲线y=ln x相切时,两平行线间的距离即为所求,设点P(x0,y0),y′=1x,推出1x0=2(直线平行斜率相等),得x0=12,故点P12,-ln 2,它到直线2x-y=0的距离为d=1+ln 25.
对于曲线的切线概念,我们要消除一个误区,过去我们认为曲线的切线与曲线有且只有一个公共点,这是错误的.真正的定义中应强调两点:第一,切线是曲线的一种特殊的割线.点P(x0,y0)是曲线y=f(x)上一定点,Q(x,y)是曲线上动点,当点x-x0→0时,割线PQ叫作曲线y=f(x)的切线.第二,切线强调的是在某一点处的切线,至于这条切线是否与曲线还有其他的第三个公共点,它未涉及,故可有可无,这就是曲线的一条切线可以与曲线有多个公共点的原因.
功能二、求函数的单调区间
这个问题是大家所熟知的,由f′(x)≥0得到的区间即为函数的增区间,以定义域为全集,增区间的补集所对应的区间为减区间.如:讨论函数f(x)=x3+x2-6ax在区间(1,+∞)上的单调性(a∈R).显然用导数求解:f′(x)=3x2+2x-6a,设f′(x)≥0,则3x2+2x-6a≥0,当6a≤3x2+2x恒成立,即6a≤5a≤56时,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故f(x)在(1,+∞)上递减;当a>56时,3x2+2x-6a≥0(x>1)得:x>-1+18a+13,故f(x)在1,-1+18a+13上递减,在-1+18a+13,+∞上递增.最后分类说明.看到这儿读者们不禁会问:求函数的最值或极值难道不是导数的功能吗?利用导数确实能求出函数的最值和极值,但这能说是导数的第三功能吗?让我们细细品味求函数最值的解题过程:由y′≥0得单调增区间减区间画图,通过图像寫出函数的最大值或极值,不难发现求函数最值,先要求单调区间,只多一步画图写最值,这不能说是导数的第三功能,充其量只是函数单调区间的一个应用或延伸.然而可别小看了这个功能,它恰有两个应用误区:
误区一f′(x)≥0(对应的区间为[a,b])是函数f(x)在[a,b]上递增的充分条件.如函数f(x)=2,x≤0,
x2+2,x>0.显然,当x≤0时,f′(x)=0;当x>0时,f′(x)=2x>0,故x∈R都有f′(x)≥0成立,但f(x)在(-∞,+∞)上却不是递增的,因此,要使f(x)在[a,b]上单调递增还需加一个条件:f′(x)在[a,b]上有有限个零点.即:f′(x)≥0(对应区间为[a,b]且f′(x)在[a,b]上有有限个零点)f(x)在[a,b]上递增,这才是一个定理.
例2若函数f(x)=(a+1)x-1x-1在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
学生看到这个问题感到很亲切,认为太好做了,f′(x)=-a(x+1)2,要使f(x)在(1,+∞)上递增,只需使f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤0.正在学生暗自庆幸、得意忘形之时,已不知不觉地落入陷阱,“a≤0”这个结论是不对的.因为当a=0时,f′(x)=0在(1,+∞)上是恒成立,但是f′(x)=0在(1,+∞)上却有无数个零点,这与定理是矛盾的.若不信可以代入原题检验;当a=0时,f(x)=1,显然不合题意.那么是不是用f′(x)>0来求就可回避这个等号问题呢?也不是.问题:“若函数f(x)=x+ax在(2,+∞)上递增,求实数a的范围.”只用f′(x)>01-ax2>0在(2,+∞)上恒成立,得到a<4,而a=4时也合题意.所以最好的方法仍然是:令f′(x)≥0求解,再检验是否可取等号.
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