论文部分内容阅读
考查圆锥曲线的重点问题是焦半径，热点问题也是焦半径.因为焦半径是连接圆锥曲线第一定义与统一定义的纽带，用普通方法解决这类问题因其计算量大而使学生望而生畏.然而若用三角函数来表示焦半径则可简化运算，起到事半功倍的效果，下面分类说明.
一、椭圆
在教学中，我们常常会遇到这样的问题：过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F任作一直线与椭圆交于A，B两点，求线段AB长的取值范围.一般解法是设直线方程，然后与椭圆方程联立，再用根与系数的关系求解，而且要对直线的斜率是否存在进行分类.理论上讲是能做得出来的，但因其计算量大至少使90%的学生无法通过计算得到结论.
现在来介绍三角解法：设∠AOX=θ，（把射线FX绕点F按逆时针方向旋转到与射线FA重合时的最小正角为θ，若点A在x轴正半轴上规定θ=0，则0≤θ<2π，下文的定义同此）显然点A的坐标为（c+FA•cosθ，FA•sinθ），根据椭圆的第二定义：点A到F的距离AF与点A到右准线x=a2c的距离d=a2c-c-FA•cosθ之比为常数e（0 例题设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F作一直线交椭圆于A，B两点，且AF=3FB，求直线AB的方程（a,b为常数）.
分析设∠AFX=θ,AF=b2a-c•cosθ，FB=b2a+c•cosθ.由AF=3FB|AF|=3|FB|b2a-c•cosθ=b2a+c•cosθ×3cosθ=a2c，所以当a>2c时，直线不存在;当a=2c时，直线方程为y=0;当c 二、双曲线
先探索右焦点F2与右支上任一点A的距离PF的长：设∠AF2X=θ,0≤θ<2π，则A（c+AF•cosθ,AF•sinθ），点A到右准线的距离为c+AF•cosθ-a2c，由第二定义知：AF=ec+AF•cosθ-a2c，得AF=b2a-c•cosθ；再探索左支上任一点B到左焦点F1的距离：设∠AF1X=θ，则B（-c+BF•cosθ,BF•sinθ），点B到左准线x=-a2c的距离为-a2c+c-BF•cosθ，由第二定义知BF1=ec+AF•cosθ-a2cBF1=b2a+c•cosθ，关于双曲线的这类问题比较复杂，考试大纲对直线与双曲线的要求是A级，因此只要会简单的则可.
三、抛物线
这是最简单的圆锥曲线，它的焦半径和焦点弦长的三角表示就简单了.设点M是抛物线y2=2px（p为正常数）上任一点，F为其抛物线的焦点，∠MFX=θ（0≤θ<2π），点Mp2+PF•cosθ,PF•sinθ，故点M到准线x=-p2的距离为p+PF•cosθ，故依定义：MF=MF•cosθ+p,故：MF=p1-cosθ，若过焦点F的直线交抛物线y2=2px于两点M，N，则MF=p1-cosθ，NF=p1+cosθ，故焦点弦MN=p1-cosθ+p1+cosθ=2p1-cos2θ=2psin2θ,故当MN与x轴垂直时，MN最小，最小值为2p.即焦点弦长MN∈［2p,+∞).
显然1MF+1NF=2p，这是抛物线中与角θ无关的结论.是不是对任意椭圆都有这样的结论呢？设F为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点，过点F的直线交椭圆于两点A，B，问：1AF+1BF是否为定值？
设∠AFX=θ(0≤θ<2π），则有第一类椭圆部分的分析点：AF=b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ1AF+1BF=2ab2（与θ无关）.
那么在双曲线中也有类似的结论吗？设点F为双曲线x2a2-y2b2=1（a,b为正常数）的右焦点，过点F作直线l交双曲线于A，B两点，当A，B都位于右支上时，由分析知：设∠AFX=θ,则AF=b2a-c•cosθ，BF=b2a+c•cosθ1AF+1BF=2ab2，即当A，B位于同一支上时1AF+1BF为定值2ab2.
当A，B一个在左支上、一个在右支上时呢？则AF=-b2a+c•cosθ，BF=b2a-c•cosθ，有1AF+1BF=-2cosθb2.这是一个与θ有关的结论.
从上述的分析不难得到这样一个定理：过抛物线、双曲线、椭圆的一个焦点分别作一条直线与它们交于两点（双曲线中两点在同一支上），则焦半径的倒数和为定值.
其实只要我们做个有心人，不停地去探索，我们会发现数学（尤其是高中数学）真的很有趣且奥妙无穷.导数的两大功能及相应误区导数的两大功能及相应误区
◎王波（江苏省淮安市楚州中学223200）
导函数简称导数，是高中数学的一个新增内容，它是连接中等数学与高等数学的一个纽带，因而备受高考命题专家的青睐，成了高考的一个热点问题.归纳起来，导数只具有两大功能.
功能一、求切线的斜率
由导数的几何意义知：曲线y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线在x=x0处切线的斜率k=f′(x0).切点为（x0,f(x0))，故切线方程为：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
例1设点P是曲线y=ln x上任意一点，求点P到直线y=2x距离的最小值.
图1本题的直接解法为：设点P（x,ln x)，其中x>0,则点P到直线y=2x的距离为d=|2x-ln x|5，由线性规则的知识得：d=2x-ln x5，问题转化为求以x(x>0)为自变量的函数d的最小值.由d′≥0得：x≥12，所以函数d在12，+∞上递增，在0，12上递减，故d的最小值为dmin=1+ln 25；如果深入分析，我们还可以采取数形结合的方法来解（如图1），可以将问题这样转化：将直线y=2x向下平移至与曲线y=ln x相切时，两平行线间的距离即为所求，设点P（x0,y0)，y′=1x，推出1x0=2（直线平行斜率相等），得x0=12，故点P12，-ln 2，它到直线2x-y=0的距离为d=1+ln 25.
对于曲线的切线概念，我们要消除一个误区，过去我们认为曲线的切线与曲线有且只有一个公共点，这是错误的.真正的定义中应强调两点：第一，切线是曲线的一种特殊的割线.点P（x0，y0)是曲线y=f(x)上一定点，Q（x，y)是曲线上动点，当点x-x0→0时，割线PQ叫作曲线y=f(x)的切线.第二，切线强调的是在某一点处的切线，至于这条切线是否与曲线还有其他的第三个公共点，它未涉及，故可有可无，这就是曲线的一条切线可以与曲线有多个公共点的原因.
功能二、求函数的单调区间
这个问题是大家所熟知的，由f′(x)≥0得到的区间即为函数的增区间，以定义域为全集，增区间的补集所对应的区间为减区间.如：讨论函数f(x)=x3+x2-6ax在区间（1，+∞）上的单调性（a∈R).显然用导数求解：f′(x)=3x2+2x-6a，设f′(x)≥0，则3x2+2x-6a≥0，当6a≤3x2+2x恒成立，即6a≤5a≤56时,f′(x)≥0在（1，+∞）上恒成立，故f(x)在（1，+∞）上递减；当a＞56时，3x2+2x-6a≥0(x＞1)得：x＞-1+18a+13,故f(x)在1，-1+18a+13上递减，在-1+18a+13，+∞上递增.最后分类说明.看到这儿读者们不禁会问：求函数的最值或极值难道不是导数的功能吗？利用导数确实能求出函数的最值和极值，但这能说是导数的第三功能吗？让我们细细品味求函数最值的解题过程：由y′≥0得单调增区间减区间画图，通过图像寫出函数的最大值或极值，不难发现求函数最值，先要求单调区间，只多一步画图写最值，这不能说是导数的第三功能，充其量只是函数单调区间的一个应用或延伸.然而可别小看了这个功能，它恰有两个应用误区：
误区一f′(x)≥0（对应的区间为［a,b］）是函数f(x)在［a,b］上递增的充分条件.如函数f(x)=2,x≤0,
x2+2,x>0.显然，当x≤0时,f′(x)=0；当x＞0时,f′(x)=2x＞0，故x∈R都有f′(x)≥0成立，但f(x)在（-∞，+∞）上却不是递增的，因此，要使f(x)在［a,b］上单调递增还需加一个条件：f′(x)在［a，b］上有有限个零点.即：f′(x)≥0（对应区间为［a，b］且f′(x)在［a,b］上有有限个零点）f(x)在［a，b］上递增，这才是一个定理.
例2若函数f(x)=(a+1)x-1x-1在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
学生看到这个问题感到很亲切，认为太好做了，f′(x)=-a(x+1)2，要使f(x)在（1，+∞）上递增，只需使f′(x)≥0在（1，+∞）上恒成立，即a≤0.正在学生暗自庆幸、得意忘形之时，已不知不觉地落入陷阱，“a≤0”这个结论是不对的.因为当a=0时，f′(x)=0在（1，+∞）上是恒成立，但是f′(x)=0在（1，+∞）上却有无数个零点，这与定理是矛盾的.若不信可以代入原题检验；当a=0时，f(x)=1，显然不合题意.那么是不是用f′(x)＞0来求就可回避这个等号问题呢？也不是.问题：“若函数f(x)=x+ax在（2，+∞）上递增，求实数a的范围.”只用f′(x)＞01-ax2＞0在（2，+∞）上恒成立，得到a＜4，而a=4时也合题意.所以最好的方法仍然是：令f′(x)≥0求解，再检验是否可取等号.
（下转114页）
一、椭圆
在教学中，我们常常会遇到这样的问题：过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F任作一直线与椭圆交于A，B两点，求线段AB长的取值范围.一般解法是设直线方程，然后与椭圆方程联立，再用根与系数的关系求解，而且要对直线的斜率是否存在进行分类.理论上讲是能做得出来的，但因其计算量大至少使90%的学生无法通过计算得到结论.
现在来介绍三角解法：设∠AOX=θ，（把射线FX绕点F按逆时针方向旋转到与射线FA重合时的最小正角为θ，若点A在x轴正半轴上规定θ=0，则0≤θ<2π，下文的定义同此）显然点A的坐标为（c+FA•cosθ，FA•sinθ），根据椭圆的第二定义：点A到F的距离AF与点A到右准线x=a2c的距离d=a2c-c-FA•cosθ之比为常数e（0
分析设∠AFX=θ,AF=b2a-c•cosθ，FB=b2a+c•cosθ.由AF=3FB|AF|=3|FB|b2a-c•cosθ=b2a+c•cosθ×3cosθ=a2c，所以当a>2c时，直线不存在;当a=2c时，直线方程为y=0;当c
先探索右焦点F2与右支上任一点A的距离PF的长：设∠AF2X=θ,0≤θ<2π，则A（c+AF•cosθ,AF•sinθ），点A到右准线的距离为c+AF•cosθ-a2c，由第二定义知：AF=ec+AF•cosθ-a2c，得AF=b2a-c•cosθ；再探索左支上任一点B到左焦点F1的距离：设∠AF1X=θ，则B（-c+BF•cosθ,BF•sinθ），点B到左准线x=-a2c的距离为-a2c+c-BF•cosθ，由第二定义知BF1=ec+AF•cosθ-a2cBF1=b2a+c•cosθ，关于双曲线的这类问题比较复杂，考试大纲对直线与双曲线的要求是A级，因此只要会简单的则可.
三、抛物线
这是最简单的圆锥曲线，它的焦半径和焦点弦长的三角表示就简单了.设点M是抛物线y2=2px（p为正常数）上任一点，F为其抛物线的焦点，∠MFX=θ（0≤θ<2π），点Mp2+PF•cosθ,PF•sinθ，故点M到准线x=-p2的距离为p+PF•cosθ，故依定义：MF=MF•cosθ+p,故：MF=p1-cosθ，若过焦点F的直线交抛物线y2=2px于两点M，N，则MF=p1-cosθ，NF=p1+cosθ，故焦点弦MN=p1-cosθ+p1+cosθ=2p1-cos2θ=2psin2θ,故当MN与x轴垂直时，MN最小，最小值为2p.即焦点弦长MN∈［2p,+∞).
显然1MF+1NF=2p，这是抛物线中与角θ无关的结论.是不是对任意椭圆都有这样的结论呢？设F为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点，过点F的直线交椭圆于两点A，B，问：1AF+1BF是否为定值？
设∠AFX=θ(0≤θ<2π），则有第一类椭圆部分的分析点：AF=b2a+c•cosθ,BF=b2a-c•cosθ1AF+1BF=2ab2（与θ无关）.
那么在双曲线中也有类似的结论吗？设点F为双曲线x2a2-y2b2=1（a,b为正常数）的右焦点，过点F作直线l交双曲线于A，B两点，当A，B都位于右支上时，由分析知：设∠AFX=θ,则AF=b2a-c•cosθ，BF=b2a+c•cosθ1AF+1BF=2ab2，即当A，B位于同一支上时1AF+1BF为定值2ab2.
当A，B一个在左支上、一个在右支上时呢？则AF=-b2a+c•cosθ，BF=b2a-c•cosθ，有1AF+1BF=-2cosθb2.这是一个与θ有关的结论.
从上述的分析不难得到这样一个定理：过抛物线、双曲线、椭圆的一个焦点分别作一条直线与它们交于两点（双曲线中两点在同一支上），则焦半径的倒数和为定值.
其实只要我们做个有心人，不停地去探索，我们会发现数学（尤其是高中数学）真的很有趣且奥妙无穷.导数的两大功能及相应误区导数的两大功能及相应误区
◎王波（江苏省淮安市楚州中学223200）
导函数简称导数，是高中数学的一个新增内容，它是连接中等数学与高等数学的一个纽带，因而备受高考命题专家的青睐，成了高考的一个热点问题.归纳起来，导数只具有两大功能.
功能一、求切线的斜率
由导数的几何意义知：曲线y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线在x=x0处切线的斜率k=f′(x0).切点为（x0,f(x0))，故切线方程为：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
例1设点P是曲线y=ln x上任意一点，求点P到直线y=2x距离的最小值.
图1本题的直接解法为：设点P（x,ln x)，其中x>0,则点P到直线y=2x的距离为d=|2x-ln x|5，由线性规则的知识得：d=2x-ln x5，问题转化为求以x(x>0)为自变量的函数d的最小值.由d′≥0得：x≥12，所以函数d在12，+∞上递增，在0，12上递减，故d的最小值为dmin=1+ln 25；如果深入分析，我们还可以采取数形结合的方法来解（如图1），可以将问题这样转化：将直线y=2x向下平移至与曲线y=ln x相切时，两平行线间的距离即为所求，设点P（x0,y0)，y′=1x，推出1x0=2（直线平行斜率相等），得x0=12，故点P12，-ln 2，它到直线2x-y=0的距离为d=1+ln 25.
对于曲线的切线概念，我们要消除一个误区，过去我们认为曲线的切线与曲线有且只有一个公共点，这是错误的.真正的定义中应强调两点：第一，切线是曲线的一种特殊的割线.点P（x0，y0)是曲线y=f(x)上一定点，Q（x，y)是曲线上动点，当点x-x0→0时，割线PQ叫作曲线y=f(x)的切线.第二，切线强调的是在某一点处的切线，至于这条切线是否与曲线还有其他的第三个公共点，它未涉及，故可有可无，这就是曲线的一条切线可以与曲线有多个公共点的原因.
功能二、求函数的单调区间
这个问题是大家所熟知的，由f′(x)≥0得到的区间即为函数的增区间，以定义域为全集，增区间的补集所对应的区间为减区间.如：讨论函数f(x)=x3+x2-6ax在区间（1，+∞）上的单调性（a∈R).显然用导数求解：f′(x)=3x2+2x-6a，设f′(x)≥0，则3x2+2x-6a≥0，当6a≤3x2+2x恒成立，即6a≤5a≤56时,f′(x)≥0在（1，+∞）上恒成立，故f(x)在（1，+∞）上递减；当a＞56时，3x2+2x-6a≥0(x＞1)得：x＞-1+18a+13,故f(x)在1，-1+18a+13上递减，在-1+18a+13，+∞上递增.最后分类说明.看到这儿读者们不禁会问：求函数的最值或极值难道不是导数的功能吗？利用导数确实能求出函数的最值和极值，但这能说是导数的第三功能吗？让我们细细品味求函数最值的解题过程：由y′≥0得单调增区间减区间画图，通过图像寫出函数的最大值或极值，不难发现求函数最值，先要求单调区间，只多一步画图写最值，这不能说是导数的第三功能，充其量只是函数单调区间的一个应用或延伸.然而可别小看了这个功能，它恰有两个应用误区：
误区一f′(x)≥0（对应的区间为［a,b］）是函数f(x)在［a,b］上递增的充分条件.如函数f(x)=2,x≤0,
x2+2,x>0.显然，当x≤0时,f′(x)=0；当x＞0时,f′(x)=2x＞0，故x∈R都有f′(x)≥0成立，但f(x)在（-∞，+∞）上却不是递增的，因此，要使f(x)在［a,b］上单调递增还需加一个条件：f′(x)在［a，b］上有有限个零点.即：f′(x)≥0（对应区间为［a，b］且f′(x)在［a,b］上有有限个零点）f(x)在［a，b］上递增，这才是一个定理.
例2若函数f(x)=(a+1)x-1x-1在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
学生看到这个问题感到很亲切，认为太好做了，f′(x)=-a(x+1)2，要使f(x)在（1，+∞）上递增，只需使f′(x)≥0在（1，+∞）上恒成立，即a≤0.正在学生暗自庆幸、得意忘形之时，已不知不觉地落入陷阱，“a≤0”这个结论是不对的.因为当a=0时，f′(x)=0在（1，+∞）上是恒成立，但是f′(x)=0在（1，+∞）上却有无数个零点，这与定理是矛盾的.若不信可以代入原题检验；当a=0时，f(x)=1，显然不合题意.那么是不是用f′(x)＞0来求就可回避这个等号问题呢？也不是.问题：“若函数f(x)=x+ax在（2，+∞）上递增，求实数a的范围.”只用f′(x)＞01-ax2＞0在（2，+∞）上恒成立，得到a＜4，而a=4时也合题意.所以最好的方法仍然是：令f′(x)≥0求解，再检验是否可取等号.
（下转114页）