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思维监控是思维结构中最重要的组成部分．人们在思维活动中能随时作出自我反省、自我判断、自我评价，就数学解题而言，不仅在解题的开始，而且在解题过程的每一个分叉点上都要进行定向，并随之进行控制与调节，对思维作出有效的监控，才能保证解题的顺利进行．
1解题中思维方向的监控
解题中对于思维方向要随时进行监控，评估已实施的、准备实施的思维指向恰当与否．
1．1山穷水尽，才有柳暗花明
学生在解题中经常出现盲目乱闯的现象，往往会钻进死胡同，使问题得不到解决．只有对解题方向实施监控，才能使解题顺利进行．
1．2该出手时再出手
有的题目容易有一般的思路，但实施起来可能极其麻烦，也可能是一条歧路．因此当有了思路时，不要轻易出手，还要考虑其他思路，通过反思、调控、选择，确立了正确的方向后，再出手解题，遵循“先一般，后特殊，优选后再实施”的程序，可使问题得以顺利解决．
图1例2已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离h(如图1）．
本题容易得到解题思路1：确定B在GEF内的射影B′→求出BB′（所要求的h)．不要立即实施，而要反思：这样可行吗？这样做麻烦吗？必须这样做吗？若不作出B′，作其他点的射影替代会好一点吗？……
则可得到改进后的思路2：B到GEF的距离→BD到GEF的距离→O到GEF的距离→确定O在GEF内的射影→求OK（即h)．也不要立即实施，还要反思：能作出K吗？容易作出K吗？……
则可能想到一个新的思路3：B到平面EFG的距离，就是棱锥B-GEF的高h，因为VG-BEF=13S△BEF·GC=13S△GEF·h，只要求出S△BEF与S△GEF就可以求出h．到此，对三个思路比较，可得到较理想的方案：
2解题中思维进程的监控
解题中对思维活动进程要随时监控，实施着对思维进程的自我激励、自我评价、自我控制．
2．1对正确思维活动激励
通过监控，判定解题方案可行时，就会调动一切思维贮存，为克服解题中的障碍提供支持，如激活相关的知识，唤醒解类似问题的方法和技能．
在例1中，一个方程解不出两个未知数α、β，要设法“夹逼”出对解题有用的新式子．
通过监控，判定“夹逼”解题方案可行时，调动一切思维贮存，考虑将cosα+cosβ-cos(α+β)=32处理成常见的（x+a)．2+(y+b)．2=0, a．2≤0, |sinα|≥1等“夹逼”型一一尝试，从而寻找到将变换得到的式子cos．2α+β2-cosα-β2cosα+β2+14=0看成关于cosα+β2的一元二次方程有解，克服了解题中的障碍，解题成功．如果不对正确的思维活动——“夹逼”解题方案激励，就可能半途而废，从而导致解题失败．
2．2对干扰信息进行排除
数学解题中，思维监控可帮助排除干扰信息，删除思维过程中多余或错误的因素，提高思维活动的批判性．
例3任意调换五位数12345各位上数字的位置，所得五位数是质数的个数是（）．
(A) 11(B) 8(C) 12(D) 0
考虑5排在个位是5的倍数，2、4排在个位上是偶数，只能把1、3排在个位上，可能觉得这样的思路正确．但质数无明显特征，只有逐个检验才能知是否为质数，这样太烦．对思维进程的监控，就会怀疑这样能否推动解题思维进程，着手考虑任意调换后的不变性．事实上，各位数字之和为15，总是3的倍数，则可排除“任意调换”这一干扰信息，得到正确解答(D)．
2．3对当前思维进程进行评估
数学解题中，思维监控随时对思维进程进行评估．获得的中间成果接近还是偏离了目标？获得的进展对问题解决很关键还是无足轻重？当前进程离目标的远还是近？这些都会作出相应的评估并给出不同反应：中间成果有失误则发出警报；若偏离目标，则活动对之思维活动抑制；若稍许偏离目标，则进行纠正；若朝目标趋进，则激励和加速思维的进程．
由思维监控告诉我们：此时结果稍许偏离目标，则要进行纠正，需将方程（2）有根t=1时的a=1±22去掉．
但又矫枉过正了，即把方程（2）一根t1=1，另一根t2≠1时的a也去掉了，又要进行纠正，这就左右为难了．
考虑到方程（2）有两不等实根时，必有一根不为1，则此时方程（1）有实根，故只要考虑方程（2）两相等的实根是否为1就行了．
则解题过程如下：
设t=xx-1≠1，方程（1）化为
(a．2-1)t．2-(2a+7)t+1=0(2)
1) 当a=±1时，方程（1）为 -9t+1=0，或 -5t+1=0均有t存在且不等于1，符合要求．
2） 当a≠±1时，若Δ＞0a＞-5328时，方程（2）有两个不相等的实根，必有一根不为1，故方程（1）有实数根，则a＞-5328且a≠±1为所求．
若Δ=0a=-5328时，方程（2）有两个相等的实数t1=t2=2845≠1，故方程（1）有实数根，则a=-5328为所求．
综合以上情况，得a≥-5328时原方程有实数根．
3解题中思维策略的监控
解题过程是一个思维过程，要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的．思维受阻、困惑或失败时，要通过思维策略的监控，才能克服解题中的障碍．
3．1选择恰当的思维策略
思路受阻时，通过思维的监控，元认知的知识可以帮助我们调节思考方向，选择恰当的思维策略．
例5已知sinα+sinβ=a(1)
cosα+cosβ=b(2)，
求cos（α+β）的值．
学生在解这道题时，自然的思路是：
由（1）．2+（2）．2得 2+2cos（α-β）=a．2+b．2
cos(α-β)=a．2+b．2-22(3)
此時，与目标还有差距，同时也做不下去了，思维受阻，此时元认知会促使我们考虑两式的平方差，即由（2）．2-（1）．2得：
cos．2α-sin．2α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos．2α-sin．2β=b．2-a．2
cos2α+2cos(α+β)+cos2β=b．2-a．2
2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=
b．2-a．2,
与目标还有差距，此时元认知会促使我们考虑（3）（4）各对解题有什么帮助，探索思考，会发现把（3）代入（4）就可解决了——是元认知的知识帮助了我们选择恰当的思维策略．
3．2修改思维策略
困惑或失败时，思维过程中的体验，可以促进人们修改原来的思维策略，调整处理方向，走向成功．
例6已知a≥2, b≥2，证明 ab≥a+b．
似乎很简单，求a、b均用2代入，得ab≥4，困惑的是a+b并不≤4（恰恰相反） ，证明无法进行下去．体验一下失败原因，发现在于：ab≥a+b右边有两个变元，不能简单地把左边换成常数4，要修改原来的思维策略，调整思路．
考虑保留b,将a换成2，得到ab≥2b，采用分析的方法：要证ab≥a+b，如果2b≥a+b，即b≥a就行了．
虽然还没有b≥a成立，但我们已看到处理问题的新方式和成功的希望——采用讨论的方法：先解决问题的一部分，即在b≥a的情况下，问题获证；在a≥b情况下可同样处理．
这样就得到了完整的证明：根据对称性，不妨设a≥b，由a≥2, b≥2得ab≥2a≥a+b，即 ab≥a+b．
此外还有利用运算、结论等对思维进行监控．不过监控只是解题中思维的辅助手段，要做到有效的思维，还要充分地利用相关信息，积极地尝试、反馈与探索．
参考文献
1罗增儒．一道竞赛题的逻辑漏洞［J］．数学通报，2005（1）
2尤善培．反思与监控［M］．郑州：大象出版社，2000（10）
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1解题中思维方向的监控
解题中对于思维方向要随时进行监控，评估已实施的、准备实施的思维指向恰当与否．
1．1山穷水尽，才有柳暗花明
学生在解题中经常出现盲目乱闯的现象，往往会钻进死胡同，使问题得不到解决．只有对解题方向实施监控，才能使解题顺利进行．
1．2该出手时再出手
有的题目容易有一般的思路，但实施起来可能极其麻烦，也可能是一条歧路．因此当有了思路时，不要轻易出手，还要考虑其他思路，通过反思、调控、选择，确立了正确的方向后，再出手解题，遵循“先一般，后特殊，优选后再实施”的程序，可使问题得以顺利解决．
图1例2已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离h(如图1）．
本题容易得到解题思路1：确定B在GEF内的射影B′→求出BB′（所要求的h)．不要立即实施，而要反思：这样可行吗？这样做麻烦吗？必须这样做吗？若不作出B′，作其他点的射影替代会好一点吗？……
则可得到改进后的思路2：B到GEF的距离→BD到GEF的距离→O到GEF的距离→确定O在GEF内的射影→求OK（即h)．也不要立即实施，还要反思：能作出K吗？容易作出K吗？……
则可能想到一个新的思路3：B到平面EFG的距离，就是棱锥B-GEF的高h，因为VG-BEF=13S△BEF·GC=13S△GEF·h，只要求出S△BEF与S△GEF就可以求出h．到此，对三个思路比较，可得到较理想的方案：
2解题中思维进程的监控
解题中对思维活动进程要随时监控，实施着对思维进程的自我激励、自我评价、自我控制．
2．1对正确思维活动激励
通过监控，判定解题方案可行时，就会调动一切思维贮存，为克服解题中的障碍提供支持，如激活相关的知识，唤醒解类似问题的方法和技能．
在例1中，一个方程解不出两个未知数α、β，要设法“夹逼”出对解题有用的新式子．
通过监控，判定“夹逼”解题方案可行时，调动一切思维贮存，考虑将cosα+cosβ-cos(α+β)=32处理成常见的（x+a)．2+(y+b)．2=0, a．2≤0, |sinα|≥1等“夹逼”型一一尝试，从而寻找到将变换得到的式子cos．2α+β2-cosα-β2cosα+β2+14=0看成关于cosα+β2的一元二次方程有解，克服了解题中的障碍，解题成功．如果不对正确的思维活动——“夹逼”解题方案激励，就可能半途而废，从而导致解题失败．
2．2对干扰信息进行排除
数学解题中，思维监控可帮助排除干扰信息，删除思维过程中多余或错误的因素，提高思维活动的批判性．
例3任意调换五位数12345各位上数字的位置，所得五位数是质数的个数是（）．
(A) 11(B) 8(C) 12(D) 0
考虑5排在个位是5的倍数，2、4排在个位上是偶数，只能把1、3排在个位上，可能觉得这样的思路正确．但质数无明显特征，只有逐个检验才能知是否为质数，这样太烦．对思维进程的监控，就会怀疑这样能否推动解题思维进程，着手考虑任意调换后的不变性．事实上，各位数字之和为15，总是3的倍数，则可排除“任意调换”这一干扰信息，得到正确解答(D)．
2．3对当前思维进程进行评估
数学解题中，思维监控随时对思维进程进行评估．获得的中间成果接近还是偏离了目标？获得的进展对问题解决很关键还是无足轻重？当前进程离目标的远还是近？这些都会作出相应的评估并给出不同反应：中间成果有失误则发出警报；若偏离目标，则活动对之思维活动抑制；若稍许偏离目标，则进行纠正；若朝目标趋进，则激励和加速思维的进程．
由思维监控告诉我们：此时结果稍许偏离目标，则要进行纠正，需将方程（2）有根t=1时的a=1±22去掉．
但又矫枉过正了，即把方程（2）一根t1=1，另一根t2≠1时的a也去掉了，又要进行纠正，这就左右为难了．
考虑到方程（2）有两不等实根时，必有一根不为1，则此时方程（1）有实根，故只要考虑方程（2）两相等的实根是否为1就行了．
则解题过程如下：
设t=xx-1≠1，方程（1）化为
(a．2-1)t．2-(2a+7)t+1=0(2)
1) 当a=±1时，方程（1）为 -9t+1=0，或 -5t+1=0均有t存在且不等于1，符合要求．
2） 当a≠±1时，若Δ＞0a＞-5328时，方程（2）有两个不相等的实根，必有一根不为1，故方程（1）有实数根，则a＞-5328且a≠±1为所求．
若Δ=0a=-5328时，方程（2）有两个相等的实数t1=t2=2845≠1，故方程（1）有实数根，则a=-5328为所求．
综合以上情况，得a≥-5328时原方程有实数根．
3解题中思维策略的监控
解题过程是一个思维过程，要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的．思维受阻、困惑或失败时，要通过思维策略的监控，才能克服解题中的障碍．
3．1选择恰当的思维策略
思路受阻时，通过思维的监控，元认知的知识可以帮助我们调节思考方向，选择恰当的思维策略．
例5已知sinα+sinβ=a(1)
cosα+cosβ=b(2)，
求cos（α+β）的值．
学生在解这道题时，自然的思路是：
由（1）．2+（2）．2得 2+2cos（α-β）=a．2+b．2
cos(α-β)=a．2+b．2-22(3)
此時，与目标还有差距，同时也做不下去了，思维受阻，此时元认知会促使我们考虑两式的平方差，即由（2）．2-（1）．2得：
cos．2α-sin．2α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos．2α-sin．2β=b．2-a．2
cos2α+2cos(α+β)+cos2β=b．2-a．2
2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=
b．2-a．2,
与目标还有差距，此时元认知会促使我们考虑（3）（4）各对解题有什么帮助，探索思考，会发现把（3）代入（4）就可解决了——是元认知的知识帮助了我们选择恰当的思维策略．
3．2修改思维策略
困惑或失败时，思维过程中的体验，可以促进人们修改原来的思维策略，调整处理方向，走向成功．
例6已知a≥2, b≥2，证明 ab≥a+b．
似乎很简单，求a、b均用2代入，得ab≥4，困惑的是a+b并不≤4（恰恰相反） ，证明无法进行下去．体验一下失败原因，发现在于：ab≥a+b右边有两个变元，不能简单地把左边换成常数4，要修改原来的思维策略，调整思路．
考虑保留b,将a换成2，得到ab≥2b，采用分析的方法：要证ab≥a+b，如果2b≥a+b，即b≥a就行了．
虽然还没有b≥a成立，但我们已看到处理问题的新方式和成功的希望——采用讨论的方法：先解决问题的一部分，即在b≥a的情况下，问题获证；在a≥b情况下可同样处理．
这样就得到了完整的证明：根据对称性，不妨设a≥b，由a≥2, b≥2得ab≥2a≥a+b，即 ab≥a+b．
此外还有利用运算、结论等对思维进行监控．不过监控只是解题中思维的辅助手段，要做到有效的思维，还要充分地利用相关信息，积极地尝试、反馈与探索．
参考文献
1罗增儒．一道竞赛题的逻辑漏洞［J］．数学通报，2005（1）
2尤善培．反思与监控［M］．郑州：大象出版社，2000（10）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”