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思维监控是思维结构中最重要的组成部分.人们在思维活动中能随时作出自我反省、自我判断、自我评价,就数学解题而言,不仅在解题的开始,而且在解题过程的每一个分叉点上都要进行定向,并随之进行控制与调节,对思维作出有效的监控,才能保证解题的顺利进行.
1解题中思维方向的监控
解题中对于思维方向要随时进行监控,评估已实施的、准备实施的思维指向恰当与否.
1.1山穷水尽,才有柳暗花明
学生在解题中经常出现盲目乱闯的现象,往往会钻进死胡同,使问题得不到解决.只有对解题方向实施监控,才能使解题顺利进行.
1.2该出手时再出手
有的题目容易有一般的思路,但实施起来可能极其麻烦,也可能是一条歧路.因此当有了思路时,不要轻易出手,还要考虑其他思路,通过反思、调控、选择,确立了正确的方向后,再出手解题,遵循“先一般,后特殊,优选后再实施”的程序,可使问题得以顺利解决.
图1例2已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离h(如图1).
本题容易得到解题思路1:确定B在GEF内的射影B′→求出BB′(所要求的h).不要立即实施,而要反思:这样可行吗?这样做麻烦吗?必须这样做吗?若不作出B′,作其他点的射影替代会好一点吗?……
则可得到改进后的思路2:B到GEF的距离→BD到GEF的距离→O到GEF的距离→确定O在GEF内的射影→求OK(即h).也不要立即实施,还要反思:能作出K吗?容易作出K吗?……
则可能想到一个新的思路3:B到平面EFG的距离,就是棱锥B-GEF的高h,因为VG-BEF=13S△BEF·GC=13S△GEF·h,只要求出S△BEF与S△GEF就可以求出h.到此,对三个思路比较,可得到较理想的方案:
2解题中思维进程的监控
解题中对思维活动进程要随时监控,实施着对思维进程的自我激励、自我评价、自我控制.
2.1对正确思维活动激励
通过监控,判定解题方案可行时,就会调动一切思维贮存,为克服解题中的障碍提供支持,如激活相关的知识,唤醒解类似问题的方法和技能.
在例1中,一个方程解不出两个未知数α、β,要设法“夹逼”出对解题有用的新式子.
通过监控,判定“夹逼”解题方案可行时,调动一切思维贮存,考虑将cosα+cosβ-cos(α+β)=32处理成常见的(x+a).2+(y+b).2=0, a.2≤0, |sinα|≥1等“夹逼”型一一尝试,从而寻找到将变换得到的式子cos.2α+β2-cosα-β2cosα+β2+14=0看成关于cosα+β2的一元二次方程有解,克服了解题中的障碍,解题成功.如果不对正确的思维活动——“夹逼”解题方案激励,就可能半途而废,从而导致解题失败.
2.2对干扰信息进行排除
数学解题中,思维监控可帮助排除干扰信息,删除思维过程中多余或错误的因素,提高思维活动的批判性.
例3任意调换五位数12345各位上数字的位置,所得五位数是质数的个数是().
(A) 11(B) 8(C) 12(D) 0
考虑5排在个位是5的倍数,2、4排在个位上是偶数,只能把1、3排在个位上,可能觉得这样的思路正确.但质数无明显特征,只有逐个检验才能知是否为质数,这样太烦.对思维进程的监控,就会怀疑这样能否推动解题思维进程,着手考虑任意调换后的不变性.事实上,各位数字之和为15,总是3的倍数,则可排除“任意调换”这一干扰信息,得到正确解答(D).
2.3对当前思维进程进行评估
数学解题中,思维监控随时对思维进程进行评估.获得的中间成果接近还是偏离了目标?获得的进展对问题解决很关键还是无足轻重?当前进程离目标的远还是近?这些都会作出相应的评估并给出不同反应:中间成果有失误则发出警报;若偏离目标,则活动对之思维活动抑制;若稍许偏离目标,则进行纠正;若朝目标趋进,则激励和加速思维的进程.
由思维监控告诉我们:此时结果稍许偏离目标,则要进行纠正,需将方程(2)有根t=1时的a=1±22去掉.
但又矫枉过正了,即把方程(2)一根t1=1,另一根t2≠1时的a也去掉了,又要进行纠正,这就左右为难了.
考虑到方程(2)有两不等实根时,必有一根不为1,则此时方程(1)有实根,故只要考虑方程(2)两相等的实根是否为1就行了.
则解题过程如下:
设t=xx-1≠1,方程(1)化为
(a.2-1)t.2-(2a+7)t+1=0(2)
1) 当a=±1时,方程(1)为 -9t+1=0,或 -5t+1=0均有t存在且不等于1,符合要求.
2) 当a≠±1时,若Δ>0a>-5328时,方程(2)有两个不相等的实根,必有一根不为1,故方程(1)有实数根,则a>-5328且a≠±1为所求.
若Δ=0a=-5328时,方程(2)有两个相等的实数t1=t2=2845≠1,故方程(1)有实数根,则a=-5328为所求.
综合以上情况,得a≥-5328时原方程有实数根.
3解题中思维策略的监控
解题过程是一个思维过程,要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的.思维受阻、困惑或失败时,要通过思维策略的监控,才能克服解题中的障碍.
3.1选择恰当的思维策略
思路受阻时,通过思维的监控,元认知的知识可以帮助我们调节思考方向,选择恰当的思维策略.
例5已知sinα+sinβ=a(1)
cosα+cosβ=b(2),
求cos(α+β)的值.
学生在解这道题时,自然的思路是:
由(1).2+(2).2得 2+2cos(α-β)=a.2+b.2
cos(α-β)=a.2+b.2-22(3)
此時,与目标还有差距,同时也做不下去了,思维受阻,此时元认知会促使我们考虑两式的平方差,即由(2).2-(1).2得:
cos.2α-sin.2α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos.2α-sin.2β=b.2-a.2
cos2α+2cos(α+β)+cos2β=b.2-a.2
2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=
b.2-a.2,
与目标还有差距,此时元认知会促使我们考虑(3)(4)各对解题有什么帮助,探索思考,会发现把(3)代入(4)就可解决了——是元认知的知识帮助了我们选择恰当的思维策略.
3.2修改思维策略
困惑或失败时,思维过程中的体验,可以促进人们修改原来的思维策略,调整处理方向,走向成功.
例6已知a≥2, b≥2,证明 ab≥a+b.
似乎很简单,求a、b均用2代入,得ab≥4,困惑的是a+b并不≤4(恰恰相反) ,证明无法进行下去.体验一下失败原因,发现在于:ab≥a+b右边有两个变元,不能简单地把左边换成常数4,要修改原来的思维策略,调整思路.
考虑保留b,将a换成2,得到ab≥2b,采用分析的方法:要证ab≥a+b,如果2b≥a+b,即b≥a就行了.
虽然还没有b≥a成立,但我们已看到处理问题的新方式和成功的希望——采用讨论的方法:先解决问题的一部分,即在b≥a的情况下,问题获证;在a≥b情况下可同样处理.
这样就得到了完整的证明:根据对称性,不妨设a≥b,由a≥2, b≥2得ab≥2a≥a+b,即 ab≥a+b.
此外还有利用运算、结论等对思维进行监控.不过监控只是解题中思维的辅助手段,要做到有效的思维,还要充分地利用相关信息,积极地尝试、反馈与探索.
参考文献
1罗增儒.一道竞赛题的逻辑漏洞[J].数学通报,2005(1)
2尤善培.反思与监控[M].郑州:大象出版社,2000(10)
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1解题中思维方向的监控
解题中对于思维方向要随时进行监控,评估已实施的、准备实施的思维指向恰当与否.
1.1山穷水尽,才有柳暗花明
学生在解题中经常出现盲目乱闯的现象,往往会钻进死胡同,使问题得不到解决.只有对解题方向实施监控,才能使解题顺利进行.
1.2该出手时再出手
有的题目容易有一般的思路,但实施起来可能极其麻烦,也可能是一条歧路.因此当有了思路时,不要轻易出手,还要考虑其他思路,通过反思、调控、选择,确立了正确的方向后,再出手解题,遵循“先一般,后特殊,优选后再实施”的程序,可使问题得以顺利解决.
图1例2已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离h(如图1).
本题容易得到解题思路1:确定B在GEF内的射影B′→求出BB′(所要求的h).不要立即实施,而要反思:这样可行吗?这样做麻烦吗?必须这样做吗?若不作出B′,作其他点的射影替代会好一点吗?……
则可得到改进后的思路2:B到GEF的距离→BD到GEF的距离→O到GEF的距离→确定O在GEF内的射影→求OK(即h).也不要立即实施,还要反思:能作出K吗?容易作出K吗?……
则可能想到一个新的思路3:B到平面EFG的距离,就是棱锥B-GEF的高h,因为VG-BEF=13S△BEF·GC=13S△GEF·h,只要求出S△BEF与S△GEF就可以求出h.到此,对三个思路比较,可得到较理想的方案:
2解题中思维进程的监控
解题中对思维活动进程要随时监控,实施着对思维进程的自我激励、自我评价、自我控制.
2.1对正确思维活动激励
通过监控,判定解题方案可行时,就会调动一切思维贮存,为克服解题中的障碍提供支持,如激活相关的知识,唤醒解类似问题的方法和技能.
在例1中,一个方程解不出两个未知数α、β,要设法“夹逼”出对解题有用的新式子.
通过监控,判定“夹逼”解题方案可行时,调动一切思维贮存,考虑将cosα+cosβ-cos(α+β)=32处理成常见的(x+a).2+(y+b).2=0, a.2≤0, |sinα|≥1等“夹逼”型一一尝试,从而寻找到将变换得到的式子cos.2α+β2-cosα-β2cosα+β2+14=0看成关于cosα+β2的一元二次方程有解,克服了解题中的障碍,解题成功.如果不对正确的思维活动——“夹逼”解题方案激励,就可能半途而废,从而导致解题失败.
2.2对干扰信息进行排除
数学解题中,思维监控可帮助排除干扰信息,删除思维过程中多余或错误的因素,提高思维活动的批判性.
例3任意调换五位数12345各位上数字的位置,所得五位数是质数的个数是().
(A) 11(B) 8(C) 12(D) 0
考虑5排在个位是5的倍数,2、4排在个位上是偶数,只能把1、3排在个位上,可能觉得这样的思路正确.但质数无明显特征,只有逐个检验才能知是否为质数,这样太烦.对思维进程的监控,就会怀疑这样能否推动解题思维进程,着手考虑任意调换后的不变性.事实上,各位数字之和为15,总是3的倍数,则可排除“任意调换”这一干扰信息,得到正确解答(D).
2.3对当前思维进程进行评估
数学解题中,思维监控随时对思维进程进行评估.获得的中间成果接近还是偏离了目标?获得的进展对问题解决很关键还是无足轻重?当前进程离目标的远还是近?这些都会作出相应的评估并给出不同反应:中间成果有失误则发出警报;若偏离目标,则活动对之思维活动抑制;若稍许偏离目标,则进行纠正;若朝目标趋进,则激励和加速思维的进程.
由思维监控告诉我们:此时结果稍许偏离目标,则要进行纠正,需将方程(2)有根t=1时的a=1±22去掉.
但又矫枉过正了,即把方程(2)一根t1=1,另一根t2≠1时的a也去掉了,又要进行纠正,这就左右为难了.
考虑到方程(2)有两不等实根时,必有一根不为1,则此时方程(1)有实根,故只要考虑方程(2)两相等的实根是否为1就行了.
则解题过程如下:
设t=xx-1≠1,方程(1)化为
(a.2-1)t.2-(2a+7)t+1=0(2)
1) 当a=±1时,方程(1)为 -9t+1=0,或 -5t+1=0均有t存在且不等于1,符合要求.
2) 当a≠±1时,若Δ>0a>-5328时,方程(2)有两个不相等的实根,必有一根不为1,故方程(1)有实数根,则a>-5328且a≠±1为所求.
若Δ=0a=-5328时,方程(2)有两个相等的实数t1=t2=2845≠1,故方程(1)有实数根,则a=-5328为所求.
综合以上情况,得a≥-5328时原方程有实数根.
3解题中思维策略的监控
解题过程是一个思维过程,要求思维一定成功、思路畅通无阻是不现实的.思维受阻、困惑或失败时,要通过思维策略的监控,才能克服解题中的障碍.
3.1选择恰当的思维策略
思路受阻时,通过思维的监控,元认知的知识可以帮助我们调节思考方向,选择恰当的思维策略.
例5已知sinα+sinβ=a(1)
cosα+cosβ=b(2),
求cos(α+β)的值.
学生在解这道题时,自然的思路是:
由(1).2+(2).2得 2+2cos(α-β)=a.2+b.2
cos(α-β)=a.2+b.2-22(3)
此時,与目标还有差距,同时也做不下去了,思维受阻,此时元认知会促使我们考虑两式的平方差,即由(2).2-(1).2得:
cos.2α-sin.2α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos.2α-sin.2β=b.2-a.2
cos2α+2cos(α+β)+cos2β=b.2-a.2
2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=
b.2-a.2,
与目标还有差距,此时元认知会促使我们考虑(3)(4)各对解题有什么帮助,探索思考,会发现把(3)代入(4)就可解决了——是元认知的知识帮助了我们选择恰当的思维策略.
3.2修改思维策略
困惑或失败时,思维过程中的体验,可以促进人们修改原来的思维策略,调整处理方向,走向成功.
例6已知a≥2, b≥2,证明 ab≥a+b.
似乎很简单,求a、b均用2代入,得ab≥4,困惑的是a+b并不≤4(恰恰相反) ,证明无法进行下去.体验一下失败原因,发现在于:ab≥a+b右边有两个变元,不能简单地把左边换成常数4,要修改原来的思维策略,调整思路.
考虑保留b,将a换成2,得到ab≥2b,采用分析的方法:要证ab≥a+b,如果2b≥a+b,即b≥a就行了.
虽然还没有b≥a成立,但我们已看到处理问题的新方式和成功的希望——采用讨论的方法:先解决问题的一部分,即在b≥a的情况下,问题获证;在a≥b情况下可同样处理.
这样就得到了完整的证明:根据对称性,不妨设a≥b,由a≥2, b≥2得ab≥2a≥a+b,即 ab≥a+b.
此外还有利用运算、结论等对思维进行监控.不过监控只是解题中思维的辅助手段,要做到有效的思维,还要充分地利用相关信息,积极地尝试、反馈与探索.
参考文献
1罗增儒.一道竞赛题的逻辑漏洞[J].数学通报,2005(1)
2尤善培.反思与监控[M].郑州:大象出版社,2000(10)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”