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DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.18.163
摘 要：白正国先生是浙江大学微分几何学派的重要代表人物之一。科研上，他解决了国际射影微分几何学界非常关注的Fubini问题，对苏锥面进行了研究并拓广了其性质，给出了戈德织面序列的一个新定义，推广了著名的W.Fenchel定理，解决了独立保圆变换的黎曼空间的尺度形式问题等；学科建设上，他与陈建功、徐瑞云等人一起使得杭州大学数学系在短短的几年间成为国内具有重要影响的数学学科之一，对浙江大学数学系的建设起到重要作用；教学上，他先后培养了70多名硕士与博士，为光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
关键词：白正国 浙江大学 微分几何学派 科研 教学
中图分类号：O186 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）06（c）-0163-04
Bai Zhengguo and Zhejiang University School of Differential Geometry
Xue Youcai1，2 Dong Jie1，2
（1.Zhejiang university of science and technology， School of science， Hangzhou Zhejiang，310023，China；2.Institute for History of Science and Technology， Inter Mongolia Normal University， Hohhot Neimenggu， 010022，China）
Abstract：Mr Bai Zhengguo is one of the important representatives of Zhejiang university school of differential geometry. He solved the problem of the famous Fubini， given a generalization of Su’s associate quadrics of a surface and A new definition of the Godeaux sequence of quadrics. He promote the famous W.F enchel theorem and solved the problem of circle-preserving transformation of Riemann space， etc. Together with Chen jiangong， Xu Ruiyun makes hangzhou university math department in a few short years become one of the most important influence on mathematics in the domestic， play an important role on construction of department of mathematics of zhejiang university. He has trained more than 70 master and doctor， for everbright differential geometry school of zhejiang university has made an important contribution.
Key Words：Bai Zhengguo；Zhejiang university；School of differential geometry；The scientific research；Teaching
在20世纪30至40年代，以陈建功、苏步青为首的浙江大学数学学派是与当时的意大利罗马数学学派、美国芝加哥数学学派三足鼎立的举世公认的著名数学学派，白正国（1916年12月至2015年1月）教授是这个学派的重要人物之一。20世纪50年代以后，白先生参与了浙江师范学院数学系、杭州大学数学系的建设与领导工作以及四校合并后的浙江大学数学系的建设，为承继与光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
2015年1月27日凌晨，我国著名数学家，浙江大学微分几何学派重要代表人物之一的白正国教授在杭州家中逝世。今年是白先生诞辰100周年，谨以此文深切怀念白正国先生。
1 学术成就
以苏步青为代表的浙江大学微分几何学派首期的工作集中在射影微分几何方面，苏步青先生当时的工作已在国际上具有相当大的影响。所以，白正国的研究也从射影微分几何开始。
在苏步青先生的影响下，白正国的研究从开始就瞄向世界一流水平。
当时在国际射影微分几何学界有一个非常关注的Fubini问题。C.T.Sullivan在1914年给出：当一个直纹面的非直线的主切曲线全属于线性丛时，这些曲线是互为射影等价的。W.Blaschke于1926年把这一结果扩充到非直纹曲面上：
定理1[2]如果一曲面的一系主切曲线全属于线性丛，那么这系主切曲线在下述意义下是射影等价的，就是说：把这系一条主切曲线移到另一条去的直射变换，常把前者上每一点移到后者的那一点去，使得变换后的点在另一系的同一主切曲线上。
意大利著名数学家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆问题，即如果一族渐近曲线是射影等价的，则此族是否必属于线形丛？Fubini自己解决了当曲面为直纹面时的情况，得到了问题的肯定回答。由此，Fubini进一步提问：除了一族渐近曲线属于线形丛的曲面以外，是否还有非直纹面的曲面，它的一族渐近曲线是互相射影等价的？白正国经过潜心研究，圆满地解决了此问题。回答是肯定的[3]： 定理2[2]除了单系或双系主切曲线全属于线性丛的曲面外，还有这样的曲面使其一系的主切曲线在定理1的意义下是射影等价的。这种曲面只限于射影极小的一致曲面，且从而其另外一系主切曲线也是射影等价的。
从定理1，2可得
定理3[2]如果一曲面上有一系且只有一系主切曲线是在定理1的意义下射影等价的，那么这系主切曲线全属于线性丛，而且反过来也成立。
苏步青先生的另一得意门生方德植与白正国都没有出国留学经历，但是他们在微分几何领域都做出了世界一流的成绩。方德植先生1933年毕业于浙江大学数学系留校任教，仅仅一年多时间就发表了一篇论文《定挠曲线的一个特征》，对法国著名数学家达尔布的一个公式做了重要改进，引起许多国内外数学家的关注。方德植与白正国的成就极大地鼓舞了中国学生自力更生，积极创新突破的信心。
1842年著名数学家索夫斯·李（S.Lie）引入了李织面（在曲面的各个正常点常可决定一个织面使与曲面是射影协变的，称该织面为李织面）。“自从索夫斯·李发现李织面以后，中间过了60余年，几乎无人注意到这个重要元素。直到1908年，德穆兰（A.Demoulin）才做出系统的研究，因此，得到了以他命名的射影协变四边形”[2]。苏步青先生在1935年前后对李织面与德穆兰四边形进行了系列研究，发现了以苏步青命名的苏织面——伴随织面（德穆兰四边形的四边和伴随二次曲线相较于四个弯节点，它们确定了唯一的一织面，使它过德穆兰四边形和）。苏先生给出了伴随织面的系列重要性质：
定理4如果一曲面的伴随织面是固定的织面，那么的主切曲线全属于线性丛，而且反过来也成立[2]。
定理5如果一曲面的李织面常与固定织面相切于四点，那么的主切曲线必须全属于线性丛[2]。
白正国对苏锥面进行了研究并拓广了其性质，有结果
定理6如果一曲面的所有主切曲线都属于线性丛，那么每条曲线的所有弯节切线必在（仅仅和有关的）同一织面上，并且反过来也成立[2，4]。
（注：是曲面上过任意点M的两主切曲线）
应用对于苏锥面性质研究的方法，白先生还给出了戈德织面序列的一个新定义[5]：
定理7利用主密切线丛，就能简单地作出伴随曲面上一点的戈德织面序列的定义[2]。
定理8按照曲面上一点的伴随主切直纹面的密切曲线从，也能作出戈德织面序列的定义[2]。
白正国先生在射影微分几何的曲面曲线论等方面有许多独创性的工作。例如：关于Moutard二次曲面的研究[6]、Jonas曲面[7]、并对直纹空间中曲面的射影理论作了系统性的研究[8-9]等，这些论文先后发表于40年代美国数学会的有关杂志上。
1952年，全国高等院校学习前苏联经验，实行院系调整。陈建功、苏步青等大批浙江大学数学教师分别调整到复旦大学、厦门大学等院校。白正国先生先后在新成立的浙江师范学院、杭州大学等校工作，研究方向也转向一般空间微分几何学的研究工作。1957年，他发表了论文“关于空间曲线多边形的全曲率”[10]，推广了著名的W.Fenchel定理：
定理9设C是空间一曲线多边形，具有内角θ，则它的全曲率满足下列不等式：
其中等号当且仅当由凸曲线弧连接而成的平面曲线多边形时成立。
这一成果被载入《中国数学十年》一书等著作中。
从20世纪60年代起，白正国与他的学生们在黎曼几何研究上取得系列突破，特别是完美地解决了日本著名几何学家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干独立保圆变换的黎曼空间的尺度形式问题[11]，这是保圆几何中一个关键性问题。这一时期，白正先生还研究了黎曼空间中子流形的Codazzi-Ricci方程与Gauss方程的相关性[12]，共形平坦黎曼空间及常曲率空间的曲率张量的特征[13]，共形平坦黎曼空间中的共形平坦超曲面[14]等，得到许多重要结果。
从20世纪70年代后期始，白先生的研究方向转向研究黎曼流形的整体性质。他对拟常曲率流形做了系统研究，例如，他证明了：可以等距嵌入两个不同常曲率流形的黎曼流形必是拟常曲率流形，其逆亦真[15]。另外，他在整体子流形几何方面也给出了很好的结果[16-18]。
2 对浙江大学数学学派的贡献
1952年，国家进行高等院校院系调整，浙江大学数学系建制被撤销，陈建功、苏步青等浙江大学数学学派的主要精英离开了浙江大学。白正国来到新建的杭州师范学院，与系主任徐瑞云一起，一面执教，一面培养教师队伍，组建教师研讨班，经过几年不懈的努力，使得浙江师范学院数学系从一穷二白的基础上取得突破，教学科研很快都上了一个很大台阶。
1958年杭州大学成立，随后浙江师范学院合并于杭州大学，陈建功先生也回到杭州大学担任副校长。白先生作为数学系的主要负责人，在陈建功、徐瑞云等人的支持下，承继浙江大学数学学派的优良传统，积极组织教师参与各种科研活动，数学基础教学与研究性教学互相融合，互相促进，取得积极成果。正是由于陈建功、徐瑞云、白正国等先生的不懈努力，杭州大学数学系在“文化大革命”前夕，教学和科研在国内已经达到较高水平、可跻身于国内名牌大学数学系之列；同时，在国际上也逐渐引起影响。1965年在制定国家十二年科学规划中，杭州大学数学系的几何学和函数论都成为有关该项目的重点执行单位之一。可以说，经过这一阶段陈建功、徐瑞云、白正国等数学家的努力工作，新时期浙江大学数学学派的杭州大学分支基本形成。
1962年，经国务院批准，白正国开始招收研究生。他的研究生如今不少已成为国内外卓有成就的研究人员，如：浙江大学博士生导师沈一兵教授，南昌大学数学系主任欧阳崇珍教授，杭州师范学院图书馆馆长蔡开仁教授等。1978年后，他又培养了许多硕士与博士，使得浙江大学微分几何学派不断发扬光大。白先生终生共培养了70多名硕士和博士研究生，他们中大部分成为国内外数学专业的佼佼者，如：硕士生王国芳，博士生莫小欢、东瑜昕、朱小华、傅吉祥等。 学生沈一兵1987年起任浙江大学数学系教授，1993年被国务院学位委员会批准为基础数学专业博士生导师。曾多次获省部级科技成果奖，1992年起享受国务院特殊津贴，2006年获浙江省教学名师。
学生欧阳崇珍1992年南昌大学任教授，数学研究所副所长，1995—2002年任数学系主任兼数学研究所所长，1996—2002年兼决策科学系主任。1992年10月享受国务院特殊津贴。其主要研究成果“关于利齐循环空间和利齐对称空间”获1990年江西省科技进步奖二等奖，合作研究成果“关于可展曲面的研究”获1980年江西省科技成果奖三等奖（第二），“格拉斯曼流形的极小子流形研究”获2004年江西省自然科学奖二等奖（第二）。
学生盛为民是白先生的第四个博士生，浙江大学数学系教授，博士生导师，美国数学会会员，美国数学评论评论员，他在具有一定几何或物理背景的微分几何和偏微分方程，包括预定曲率问题，k-Yamabe问题，以及曲率流问题等方面做出了贡献。
学生傅吉祥是白正国与沈一兵共同培养的博士生，目前是复旦大学教授，博士生导师，第五届晨兴数学银奖（2010）获得者，长江学者特聘教授（2011），曾应邀在2010印度召开的国际数学家大会上作45分钟特邀报告，他与国际数学大师丘成桐先生合作在微分几何领域取得了世界一流成果，他们研究的几何空间被国际上命名为Fu—Yau流形。
白正国与沈一兵等先生撰写的教材《黎曼几何初步》从1992年出版以来，受到研究生与数学研究者的喜爱，被教育部研究生工作办公室推荐为全国研究生教学用书，为我国研究生教育做出重要贡献。
白正国的其他学生如硕士生王国芳，博士生莫小欢、东瑜昕、朱小华等，都在毕业后做出了可喜的成绩，为整体微分几何这一研究领域增添了光彩。
3 评价
在20世纪30至40年代，以苏步青为代表的浙江大学微分射影几何学派是举世公认的数学学派，白正国、张素诚、方德植等人都是这一学派的重要代表人物。如上所述，白先生在20世纪40年代发表的系列有关射影几何文章，为浙江大学微分几何学派鼎立于世起到了积极作用。
1952年全国高校院系调正以后，浙江大学微分几何学派的重要代表人物苏步青、谷超豪等人去了复旦大学，方德植40年代即去了厦门大学，张素诚到北京中国科学院数学研究所任研究员等。白正国先生到新成立的浙江师范学院数学系工作，后来到杭州大学工作，四校合并后再到浙江大学。如何在杭州承继与发扬浙江大学微分几何学派成为白先生的不二责任。所以，不论他调到那里，都丝毫不敢忘记继承与发扬光大浙江大学微分几何学派的重任。他继承陈建功、苏步青先生倡导的读书讨论班，论文报告会等优良传统，带领他的学生在射影微分几何、一般空间微分几何学的黎曼几何上都做出了重要贡献，并且培养出了众多优秀的微分几何人才，如上所述的沈一兵、傅吉祥等学生，都为光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
一般的说，狭义的浙江大学数学学派即指20世纪30至40年代的浙江大学数学家群体；广义的说，浙江大学数学学派包括20世纪50年代以后的复旦大学数学家群体（复旦分支）与包括杭州大学在内的浙江大学数学家群体（杭州分支）。由上可知，在20世纪50年代以后，特别是20世纪80年代以后，白先生无疑是新时期浙江大学数学学派特别是微分几何学派杭州分支的主要代表人物之一。他为新时期浙江大学数学学派的建设付出了巨大心血，贡献巨大。
白先生一生从事数学教学与科研。教学上，不论是在20世纪40年代的浙江大学，在20世纪50年代的浙江师范学院还是在杭州大学，他教书育人，诲人不倦，积极参与领导学科建设，为浙江大学数学学派的学科建设做出巨大贡献。科研上，白先生一生坚持不懈，直到90多岁还在坚持研究。他在自己95岁大寿生日会上发言称：“最近几年没有做研究，我落伍了，感觉很惭愧。”[20]其精神境界令所有年轻一辈感叹不已。正如中科院院士、复旦大学教授谷超豪与胡和生在庆贺老师八十华诞的贺信中所写：
1952年院系调整后，浙江省的数学研究和教学遇到一定困难，您继续发扬浙江大学数学系原来的精神和风格，和同事们一起奋斗了40多年，在杭州大学建设了一个高水平的数学系，成为我国数学研究和培养人才的重要基地之一，这是您的重要贡献。您一贯坚持微分几何的研究，早期在射影微分几何方面做了很出色的成果。近年来适应国际发展潮流，在领导研究和培养人才方面又取得很大成就，优秀中青年人才不断成长，成为整体微分几何方面的坚强的新生力量。您诚恳谦虚，实事求是，专心致志于学术，具有中国知识分子的传统美德，发扬这种美德，对于今天的中国是十分必要的。
4 结语
白正国先生一生科研成就突出，为浙江大学微分几何学派的繁荣与承继做出巨大贡献；学科建设上为原浙江大学、浙江师范学院、杭州大学、新浙江大学数学学科建设呕心沥血，功勋卓著；在教学上教书育人，兢兢业业，培养了70多名硕士与博士，为数学人才队伍建设付出毕生精力；他一生严以律己，为人正直，品德高尚，堪为人模。今年是白先生诞辰100周年，谨以此文纪念白先生，并希望白先生的精神万古长青，照耀后人，使浙江大学数学学派在新时期能够有更好成就，为建设中国数学强国做出新贡献。
参考文献
[1] Zhengguo Bai.An analogue of Darboux pencil of quadrics[J]. Acad.Sinica Science Record， 1942（1）：65-69.
[2] 苏步青.射影曲面概论[M].北京：科学出版社，1954：187-188.
[3] Zhengguo Bai.On the surfaces whose asymptotic curves of one system are projectively equivalent[J]. Univ. Nac.Tucuman.Revista A，1942（3）：341-349. [4] Zhengguo Bai.A generalization of associate quadrics of a surface[J]. Amer.J.Math，1944（66）：115-121.
[5] Zhengguo Bai. A new definition of the Godeaux sequence of quadrics[J]. Amer.J.Math，1947（69）：117-120.
[6] Zhengguo Bai.On the quadrics of Moutard. Univ.Nac.Tucuman[J].Revista A.，1941（2）：67-77.
[7] Zhengguo Bai.A transformation of Jonas surfaces[J]. Bull.Amer.Math.Soc，1943（49）：793-796.
[8] Zhengguo Bai. The projective theory of surfaces in ruled space.I[J]. Amer.J.Math，1943（65）：712-736.
[9] Zhengguo Bai. The projective theory of surfaces in ruled space.II[J]. Amer.J.Math，1944（66）：101-114.
[10] Zhengguo Bai. On the integral curvature of a curvilinear polygon[J].（Chinese） Acta Math.Sinica，1957（7）：277-284.
[11] 白正国.存在若干独立保圆变换的黎曼空间[J].数学学报，1964，14（1）：62-74.
[12] 白正国.黎曼空间中子空间的柯达齐-利齐方程和高斯方程的相关性[J].数学学报，1964，14（6）：781-789.
[13] 白正国.共形平坦黎曼空间及常曲率空间的曲率张量的特征[J].数学进展，1966（2）：175-182.
[14] 白正国.共形平坦黎曼空间的共形平坦超曲面[J].杭州大学学报，1966（1）.
[15] 白正国.拟常曲率黎曼流形在常曲率空间中的等距嵌入[J].数学年刊，1986（4）.
[16] 白正国.常曲率黎曼流形的极小子流形[J].数学年刊，1987（3）.
[17] 白正国.关于拟常曲率流形中子流形的不等式[J].数学年刊，1988（6）：704-708.
[18] 白正国.紧的黎曼流形的调和形式[J].数学年刊，1990（5）：639-644.
[19] 沈一兵.白正国先生简传[EB/OL].www.docin.com...896.html，2009-05-02.
[20]徐洁，张冰清.浙大数学系白正国教授逝世追悼会上来了三位院士[N].钱江晚报，2015-02-03.
摘 要：白正国先生是浙江大学微分几何学派的重要代表人物之一。科研上，他解决了国际射影微分几何学界非常关注的Fubini问题，对苏锥面进行了研究并拓广了其性质，给出了戈德织面序列的一个新定义，推广了著名的W.Fenchel定理，解决了独立保圆变换的黎曼空间的尺度形式问题等；学科建设上，他与陈建功、徐瑞云等人一起使得杭州大学数学系在短短的几年间成为国内具有重要影响的数学学科之一，对浙江大学数学系的建设起到重要作用；教学上，他先后培养了70多名硕士与博士，为光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
关键词：白正国 浙江大学 微分几何学派 科研 教学
中图分类号：O186 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）06（c）-0163-04
Bai Zhengguo and Zhejiang University School of Differential Geometry
Xue Youcai1，2 Dong Jie1，2
（1.Zhejiang university of science and technology， School of science， Hangzhou Zhejiang，310023，China；2.Institute for History of Science and Technology， Inter Mongolia Normal University， Hohhot Neimenggu， 010022，China）
Abstract：Mr Bai Zhengguo is one of the important representatives of Zhejiang university school of differential geometry. He solved the problem of the famous Fubini， given a generalization of Su’s associate quadrics of a surface and A new definition of the Godeaux sequence of quadrics. He promote the famous W.F enchel theorem and solved the problem of circle-preserving transformation of Riemann space， etc. Together with Chen jiangong， Xu Ruiyun makes hangzhou university math department in a few short years become one of the most important influence on mathematics in the domestic， play an important role on construction of department of mathematics of zhejiang university. He has trained more than 70 master and doctor， for everbright differential geometry school of zhejiang university has made an important contribution.
Key Words：Bai Zhengguo；Zhejiang university；School of differential geometry；The scientific research；Teaching
在20世纪30至40年代，以陈建功、苏步青为首的浙江大学数学学派是与当时的意大利罗马数学学派、美国芝加哥数学学派三足鼎立的举世公认的著名数学学派，白正国（1916年12月至2015年1月）教授是这个学派的重要人物之一。20世纪50年代以后，白先生参与了浙江师范学院数学系、杭州大学数学系的建设与领导工作以及四校合并后的浙江大学数学系的建设，为承继与光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
2015年1月27日凌晨，我国著名数学家，浙江大学微分几何学派重要代表人物之一的白正国教授在杭州家中逝世。今年是白先生诞辰100周年，谨以此文深切怀念白正国先生。
1 学术成就
以苏步青为代表的浙江大学微分几何学派首期的工作集中在射影微分几何方面，苏步青先生当时的工作已在国际上具有相当大的影响。所以，白正国的研究也从射影微分几何开始。
在苏步青先生的影响下，白正国的研究从开始就瞄向世界一流水平。
当时在国际射影微分几何学界有一个非常关注的Fubini问题。C.T.Sullivan在1914年给出：当一个直纹面的非直线的主切曲线全属于线性丛时，这些曲线是互为射影等价的。W.Blaschke于1926年把这一结果扩充到非直纹曲面上：
定理1[2]如果一曲面的一系主切曲线全属于线性丛，那么这系主切曲线在下述意义下是射影等价的，就是说：把这系一条主切曲线移到另一条去的直射变换，常把前者上每一点移到后者的那一点去，使得变换后的点在另一系的同一主切曲线上。
意大利著名数学家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆问题，即如果一族渐近曲线是射影等价的，则此族是否必属于线形丛？Fubini自己解决了当曲面为直纹面时的情况，得到了问题的肯定回答。由此，Fubini进一步提问：除了一族渐近曲线属于线形丛的曲面以外，是否还有非直纹面的曲面，它的一族渐近曲线是互相射影等价的？白正国经过潜心研究，圆满地解决了此问题。回答是肯定的[3]： 定理2[2]除了单系或双系主切曲线全属于线性丛的曲面外，还有这样的曲面使其一系的主切曲线在定理1的意义下是射影等价的。这种曲面只限于射影极小的一致曲面，且从而其另外一系主切曲线也是射影等价的。
从定理1，2可得
定理3[2]如果一曲面上有一系且只有一系主切曲线是在定理1的意义下射影等价的，那么这系主切曲线全属于线性丛，而且反过来也成立。
苏步青先生的另一得意门生方德植与白正国都没有出国留学经历，但是他们在微分几何领域都做出了世界一流的成绩。方德植先生1933年毕业于浙江大学数学系留校任教，仅仅一年多时间就发表了一篇论文《定挠曲线的一个特征》，对法国著名数学家达尔布的一个公式做了重要改进，引起许多国内外数学家的关注。方德植与白正国的成就极大地鼓舞了中国学生自力更生，积极创新突破的信心。
1842年著名数学家索夫斯·李（S.Lie）引入了李织面（在曲面的各个正常点常可决定一个织面使与曲面是射影协变的，称该织面为李织面）。“自从索夫斯·李发现李织面以后，中间过了60余年，几乎无人注意到这个重要元素。直到1908年，德穆兰（A.Demoulin）才做出系统的研究，因此，得到了以他命名的射影协变四边形”[2]。苏步青先生在1935年前后对李织面与德穆兰四边形进行了系列研究，发现了以苏步青命名的苏织面——伴随织面（德穆兰四边形的四边和伴随二次曲线相较于四个弯节点，它们确定了唯一的一织面，使它过德穆兰四边形和）。苏先生给出了伴随织面的系列重要性质：
定理4如果一曲面的伴随织面是固定的织面，那么的主切曲线全属于线性丛，而且反过来也成立[2]。
定理5如果一曲面的李织面常与固定织面相切于四点，那么的主切曲线必须全属于线性丛[2]。
白正国对苏锥面进行了研究并拓广了其性质，有结果
定理6如果一曲面的所有主切曲线都属于线性丛，那么每条曲线的所有弯节切线必在（仅仅和有关的）同一织面上，并且反过来也成立[2，4]。
（注：是曲面上过任意点M的两主切曲线）
应用对于苏锥面性质研究的方法，白先生还给出了戈德织面序列的一个新定义[5]：
定理7利用主密切线丛，就能简单地作出伴随曲面上一点的戈德织面序列的定义[2]。
定理8按照曲面上一点的伴随主切直纹面的密切曲线从，也能作出戈德织面序列的定义[2]。
白正国先生在射影微分几何的曲面曲线论等方面有许多独创性的工作。例如：关于Moutard二次曲面的研究[6]、Jonas曲面[7]、并对直纹空间中曲面的射影理论作了系统性的研究[8-9]等，这些论文先后发表于40年代美国数学会的有关杂志上。
1952年，全国高等院校学习前苏联经验，实行院系调整。陈建功、苏步青等大批浙江大学数学教师分别调整到复旦大学、厦门大学等院校。白正国先生先后在新成立的浙江师范学院、杭州大学等校工作，研究方向也转向一般空间微分几何学的研究工作。1957年，他发表了论文“关于空间曲线多边形的全曲率”[10]，推广了著名的W.Fenchel定理：
定理9设C是空间一曲线多边形，具有内角θ，则它的全曲率满足下列不等式：
其中等号当且仅当由凸曲线弧连接而成的平面曲线多边形时成立。
这一成果被载入《中国数学十年》一书等著作中。
从20世纪60年代起，白正国与他的学生们在黎曼几何研究上取得系列突破，特别是完美地解决了日本著名几何学家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干独立保圆变换的黎曼空间的尺度形式问题[11]，这是保圆几何中一个关键性问题。这一时期，白正先生还研究了黎曼空间中子流形的Codazzi-Ricci方程与Gauss方程的相关性[12]，共形平坦黎曼空间及常曲率空间的曲率张量的特征[13]，共形平坦黎曼空间中的共形平坦超曲面[14]等，得到许多重要结果。
从20世纪70年代后期始，白先生的研究方向转向研究黎曼流形的整体性质。他对拟常曲率流形做了系统研究，例如，他证明了：可以等距嵌入两个不同常曲率流形的黎曼流形必是拟常曲率流形，其逆亦真[15]。另外，他在整体子流形几何方面也给出了很好的结果[16-18]。
2 对浙江大学数学学派的贡献
1952年，国家进行高等院校院系调整，浙江大学数学系建制被撤销，陈建功、苏步青等浙江大学数学学派的主要精英离开了浙江大学。白正国来到新建的杭州师范学院，与系主任徐瑞云一起，一面执教，一面培养教师队伍，组建教师研讨班，经过几年不懈的努力，使得浙江师范学院数学系从一穷二白的基础上取得突破，教学科研很快都上了一个很大台阶。
1958年杭州大学成立，随后浙江师范学院合并于杭州大学，陈建功先生也回到杭州大学担任副校长。白先生作为数学系的主要负责人，在陈建功、徐瑞云等人的支持下，承继浙江大学数学学派的优良传统，积极组织教师参与各种科研活动，数学基础教学与研究性教学互相融合，互相促进，取得积极成果。正是由于陈建功、徐瑞云、白正国等先生的不懈努力，杭州大学数学系在“文化大革命”前夕，教学和科研在国内已经达到较高水平、可跻身于国内名牌大学数学系之列；同时，在国际上也逐渐引起影响。1965年在制定国家十二年科学规划中，杭州大学数学系的几何学和函数论都成为有关该项目的重点执行单位之一。可以说，经过这一阶段陈建功、徐瑞云、白正国等数学家的努力工作，新时期浙江大学数学学派的杭州大学分支基本形成。
1962年，经国务院批准，白正国开始招收研究生。他的研究生如今不少已成为国内外卓有成就的研究人员，如：浙江大学博士生导师沈一兵教授，南昌大学数学系主任欧阳崇珍教授，杭州师范学院图书馆馆长蔡开仁教授等。1978年后，他又培养了许多硕士与博士，使得浙江大学微分几何学派不断发扬光大。白先生终生共培养了70多名硕士和博士研究生，他们中大部分成为国内外数学专业的佼佼者，如：硕士生王国芳，博士生莫小欢、东瑜昕、朱小华、傅吉祥等。 学生沈一兵1987年起任浙江大学数学系教授，1993年被国务院学位委员会批准为基础数学专业博士生导师。曾多次获省部级科技成果奖，1992年起享受国务院特殊津贴，2006年获浙江省教学名师。
学生欧阳崇珍1992年南昌大学任教授，数学研究所副所长，1995—2002年任数学系主任兼数学研究所所长，1996—2002年兼决策科学系主任。1992年10月享受国务院特殊津贴。其主要研究成果“关于利齐循环空间和利齐对称空间”获1990年江西省科技进步奖二等奖，合作研究成果“关于可展曲面的研究”获1980年江西省科技成果奖三等奖（第二），“格拉斯曼流形的极小子流形研究”获2004年江西省自然科学奖二等奖（第二）。
学生盛为民是白先生的第四个博士生，浙江大学数学系教授，博士生导师，美国数学会会员，美国数学评论评论员，他在具有一定几何或物理背景的微分几何和偏微分方程，包括预定曲率问题，k-Yamabe问题，以及曲率流问题等方面做出了贡献。
学生傅吉祥是白正国与沈一兵共同培养的博士生，目前是复旦大学教授，博士生导师，第五届晨兴数学银奖（2010）获得者，长江学者特聘教授（2011），曾应邀在2010印度召开的国际数学家大会上作45分钟特邀报告，他与国际数学大师丘成桐先生合作在微分几何领域取得了世界一流成果，他们研究的几何空间被国际上命名为Fu—Yau流形。
白正国与沈一兵等先生撰写的教材《黎曼几何初步》从1992年出版以来，受到研究生与数学研究者的喜爱，被教育部研究生工作办公室推荐为全国研究生教学用书，为我国研究生教育做出重要贡献。
白正国的其他学生如硕士生王国芳，博士生莫小欢、东瑜昕、朱小华等，都在毕业后做出了可喜的成绩，为整体微分几何这一研究领域增添了光彩。
3 评价
在20世纪30至40年代，以苏步青为代表的浙江大学微分射影几何学派是举世公认的数学学派，白正国、张素诚、方德植等人都是这一学派的重要代表人物。如上所述，白先生在20世纪40年代发表的系列有关射影几何文章，为浙江大学微分几何学派鼎立于世起到了积极作用。
1952年全国高校院系调正以后，浙江大学微分几何学派的重要代表人物苏步青、谷超豪等人去了复旦大学，方德植40年代即去了厦门大学，张素诚到北京中国科学院数学研究所任研究员等。白正国先生到新成立的浙江师范学院数学系工作，后来到杭州大学工作，四校合并后再到浙江大学。如何在杭州承继与发扬浙江大学微分几何学派成为白先生的不二责任。所以，不论他调到那里，都丝毫不敢忘记继承与发扬光大浙江大学微分几何学派的重任。他继承陈建功、苏步青先生倡导的读书讨论班，论文报告会等优良传统，带领他的学生在射影微分几何、一般空间微分几何学的黎曼几何上都做出了重要贡献，并且培养出了众多优秀的微分几何人才，如上所述的沈一兵、傅吉祥等学生，都为光大浙江大学微分几何学派做出了重要贡献。
一般的说，狭义的浙江大学数学学派即指20世纪30至40年代的浙江大学数学家群体；广义的说，浙江大学数学学派包括20世纪50年代以后的复旦大学数学家群体（复旦分支）与包括杭州大学在内的浙江大学数学家群体（杭州分支）。由上可知，在20世纪50年代以后，特别是20世纪80年代以后，白先生无疑是新时期浙江大学数学学派特别是微分几何学派杭州分支的主要代表人物之一。他为新时期浙江大学数学学派的建设付出了巨大心血，贡献巨大。
白先生一生从事数学教学与科研。教学上，不论是在20世纪40年代的浙江大学，在20世纪50年代的浙江师范学院还是在杭州大学，他教书育人，诲人不倦，积极参与领导学科建设，为浙江大学数学学派的学科建设做出巨大贡献。科研上，白先生一生坚持不懈，直到90多岁还在坚持研究。他在自己95岁大寿生日会上发言称：“最近几年没有做研究，我落伍了，感觉很惭愧。”[20]其精神境界令所有年轻一辈感叹不已。正如中科院院士、复旦大学教授谷超豪与胡和生在庆贺老师八十华诞的贺信中所写：
1952年院系调整后，浙江省的数学研究和教学遇到一定困难，您继续发扬浙江大学数学系原来的精神和风格，和同事们一起奋斗了40多年，在杭州大学建设了一个高水平的数学系，成为我国数学研究和培养人才的重要基地之一，这是您的重要贡献。您一贯坚持微分几何的研究，早期在射影微分几何方面做了很出色的成果。近年来适应国际发展潮流，在领导研究和培养人才方面又取得很大成就，优秀中青年人才不断成长，成为整体微分几何方面的坚强的新生力量。您诚恳谦虚，实事求是，专心致志于学术，具有中国知识分子的传统美德，发扬这种美德，对于今天的中国是十分必要的。
4 结语
白正国先生一生科研成就突出，为浙江大学微分几何学派的繁荣与承继做出巨大贡献；学科建设上为原浙江大学、浙江师范学院、杭州大学、新浙江大学数学学科建设呕心沥血，功勋卓著；在教学上教书育人，兢兢业业，培养了70多名硕士与博士，为数学人才队伍建设付出毕生精力；他一生严以律己，为人正直，品德高尚，堪为人模。今年是白先生诞辰100周年，谨以此文纪念白先生，并希望白先生的精神万古长青，照耀后人，使浙江大学数学学派在新时期能够有更好成就，为建设中国数学强国做出新贡献。
参考文献
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