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警示一 点的坐标与向量的坐标的区别和联系
例1 己知[M(3,-2),N(-5,-1)]且[NP]=[12][MN]，则点[P]的坐标为( )
A. (-8，1) B. (-9，-[12]) C.( 1，[12]) D. (8，-1)
解析 设点[P]的坐标[(x，y)]，则[NP=(x+5，y+1),][MN]=(-8,1)，由[NP]=[12][MN]得，
[x+5=-4,y+1=12.]∴[x=-9,y=-12.]
答案 B
点拨 注意点的坐标与向量的坐标间的转化.向量坐标是表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，点的坐标才是向量的坐标.
警示二 混淆两个向量共线与垂直的坐标公式
例2 己知[a]=(1，2)，[b]=(-3，2).
(1)当[k]为何值时，[ka]+[b]与[a]-3[b]平行；
(2)当[k]为何值时，[ka]+[b]与[a]-3[b]垂直.
解析 由条件可知：[ka]+[b]=([k]-3，[2k]+2)，
[a]-[3b]=(10，-4).
（1）若([ka]+[b])∥([a]-3[b])，
[∴](-4)([k]-3)-10(2[k]+2)=0，解得[k]=[-13].
故当[k]=[-13]时，[k][a]+[b]与[a]-3[b]平行.
（2）若([k][a]+[b])⊥([a]-3[b])，
[∴]10([k]-3)+(-4)(2[k]+2)=0，解得[k]=19.
故当[k]=19时，[ka]+[b]与[a]-3[b]垂直.
点拨 设[a=(x1，y1)]，[b=(x2，y2)]，其中[b]≠[0]，则[a]∥[b][⇔][x1y2-x2y1=0]（不要错记为[x1x2-y1y2=0]或[x1y2+x2y1=0]），[a]⊥[b][⇔][x1x2+y1y2=0]，这两者千万不可混淆.
警示三 对向量夹角的定义及范围理解不准确
例3 已知[a]=(1，2)，[b]=(1，1)，且[a]与[a]+[λb]的夹角为锐角，求实数[λ]的取值范围.
解析 [∵ a]与[a]+[λb]均不是零向量，夹角为锐角，
∴[a]·([a]+[λb])>0. 故[λ]>[-53].
当[a]与[a]+[λb]共线时，存在实数[m]，使[a]+[λb]=[ma]，即(1+[λ]，2+[λ])=[m](1，2)，
∴[1+λ=m2+λ=2m]即[λ=0m=1]，[a]与[a]+[λb]同向，∴[λ]≠0.
故[λ]的范围为([-53]，0)∪(0，+∞).
点拨 向量的夹角首先要共起点，其次范围是[0，π]，[a]·[b]>0[⇔]夹角为[0，[π2]) ，而本题中锐角为(0，[π2])，不含0，故需讨论[a]与[a]+[λb]共线时是否为同向.试求[a]=(1，2)，[b]=(1，[λ])，当[a]与[b]的夹角为钝角时，[λ]的取值范围.
警示四 惯性思维，导致漏解
例4 已知点[A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2)]，求以[A、B、C]为顶点的平行四边形的第四个顶点[D]的坐标.
解析 “以[A、B、C]为顶点的平行四边形”有三种情况：[▱ABCD]，[▱ADBC]，[▱ABDC].
设[D]的坐标为[(x，y)].
（1）若是[▱ABCD]，则[AB=DC]，
得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-[(x，y)]，
即[(-1，2)=(-1-x,-2-y).]
[1-x=-1,-2-y=2.] ∴[x=0,y=-4.]
∴[D]点的坐标为(0，-4).
（2）若是[▱ADBC]，则由[AD=CB]，求得[D(2，4).]
（3）若是[▱ABDC]，则由[AB=CD]，求得[D(-2，0).]
综上所述，所求[D]的坐标为(0，-4)或(2，4)或(-2，0).
点拨 要加强以向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，同时分析问题要全面，该题可能受惯性思维的影响，很多同学只考虑四边形[ABCD]是平行四边形的情况，而漏掉其它两解.
警示五 函数与方程思想应用错误
例5 已知向量[a]≠[e]，|[e]|=1，满足：对任意[t∈R]，恒有|[a]-t[e]|[≥]|[a]-[e]|，则( )
A. [a]⊥[e] B. [a]⊥([a]-[e])
C. [e]⊥([a]-[e]) D. ([a]+[e])⊥([a]-[e])
解析 ∵|[a]-[te]|[≥]|[a]-[e]| ，
∴|[a]|2-[2ta]·[e]+[t2]|[e]|2[≥]|[a]|2-[2a]·[e]+|[e]|2.
∵|[e]|=1，∴[t2]-[2ta]·[e]+2[a]·[e]-1[≥]0对任意[t∈R]恒成立，
Δ=4([a]·[e])2-4([2a]·[e]-1)[≤]0，即([a]·[e]-1)2[≤]0 .
∴[a]·[e]=1. 即[a]·[e]=[e]2.
∴([a]-[e])·[e]=0. 故[e]⊥([a]-[e]).
答案 C
点拨 误区1：不等式整理成[t2]-[2a]·[et]+[2a]·[e]-1[≥]0后，不能把[a]·[e]看成一个整体、一个参数，而忽视了该不等式对[∀][t∈R]恒成立的充要条件是Δ[≤]0.
误区2：[a]·[e]=1，而答案中没有这一选项，大家不会变通，把“1”看成|[e]|2，而总以为自己做错了.
警示六 向量与向量模相互转化出错
例6 已知点[A(-1，6)]和[B(3，0)]，在直线[AB]上求一点[P]，使得[|AP|=13|AB|].
解析 设[P(x，y)].
（1）若[AP=13AB]，则由[(x+1,y-6)=13](4，-6) 得，
[x+1=43,y-6=-2.] 解得[x=13,y=4.]
此时点[P]的坐标为([13]，4).
（2）若[AP=-13AB]，则由[(x+1,y-6)=-13](4，-6)得，
[x+1=43,y-6=2.] 解得[x=-73,y=8.]
此时点[P]的坐标为([-73]，8).
综上所述，[P(13]，4)或([-73]，8).
点拨 [a]=[λb][⇒]|[a]|=|[λb]|=|[λ]||[b]|，但|[a]|=[λ]|[b]|([a]与[b]共线)[⇒][a]=±[λb]，后者包含同向或反向两种情况，容易出错，应引起同学们的注意.
警示七 忽视向量投影，陷入困境
例7 已知[O]是[△ABC]的外心，[AB=2]，[AC=1]，[∠BAC=120°]，设[AB]=[a]，[AC]=[b]，若[AO]=[λ1a]+[λ2b]，则[λ1+λ2]等于( )
A. 1 B. 2 C. [136] D. 3
解析 ∵[AO]=[λ1a]+[λ2b]，
∴[AO]·[a]=[λ1|a|2]+[λ2a]·[b].
∴[a][AO]cos<[AO]，[a]>=4[λ1]+[λ2][a][b]cos<[a]·[b]>.
如图过[O]点作[OD⊥AB]于[D]，因[O]为外心，所以[D]为[AB]的中点.
故[AO]cos<[AO]，[a]>=[AO]cos[∠BAO=AD=1].
∴4[λ1]-[λ2]=2 ①，
同理[AO]·[b]=[λ1a]·[b]+[λ2|b|2]，得[-λ1]+[λ2]=[12]②，
由①②解得[λ1=56]，[λ2=43].
故[λ1]+[λ2]=[136]，选C.
点拨 此题因[AO]、[cos∠BAO]均未知，计算因此陷入困境，实质上[AOcos∠BAO]就是[AO]在[AB](即[a])方向上的投影即数值1，从而问题迎刃而解.弄清[b]在[a]方向上的投影为[b]cos<[a]·[b]>，它是一个数值，可正可负也可以是零.
例1 己知[M(3,-2),N(-5,-1)]且[NP]=[12][MN]，则点[P]的坐标为( )
A. (-8，1) B. (-9，-[12]) C.( 1，[12]) D. (8，-1)
解析 设点[P]的坐标[(x，y)]，则[NP=(x+5，y+1),][MN]=(-8,1)，由[NP]=[12][MN]得，
[x+5=-4,y+1=12.]∴[x=-9,y=-12.]
答案 B
点拨 注意点的坐标与向量的坐标间的转化.向量坐标是表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，点的坐标才是向量的坐标.
警示二 混淆两个向量共线与垂直的坐标公式
例2 己知[a]=(1，2)，[b]=(-3，2).
(1)当[k]为何值时，[ka]+[b]与[a]-3[b]平行；
(2)当[k]为何值时，[ka]+[b]与[a]-3[b]垂直.
解析 由条件可知：[ka]+[b]=([k]-3，[2k]+2)，
[a]-[3b]=(10，-4).
（1）若([ka]+[b])∥([a]-3[b])，
[∴](-4)([k]-3)-10(2[k]+2)=0，解得[k]=[-13].
故当[k]=[-13]时，[k][a]+[b]与[a]-3[b]平行.
（2）若([k][a]+[b])⊥([a]-3[b])，
[∴]10([k]-3)+(-4)(2[k]+2)=0，解得[k]=19.
故当[k]=19时，[ka]+[b]与[a]-3[b]垂直.
点拨 设[a=(x1，y1)]，[b=(x2，y2)]，其中[b]≠[0]，则[a]∥[b][⇔][x1y2-x2y1=0]（不要错记为[x1x2-y1y2=0]或[x1y2+x2y1=0]），[a]⊥[b][⇔][x1x2+y1y2=0]，这两者千万不可混淆.
警示三 对向量夹角的定义及范围理解不准确
例3 已知[a]=(1，2)，[b]=(1，1)，且[a]与[a]+[λb]的夹角为锐角，求实数[λ]的取值范围.
解析 [∵ a]与[a]+[λb]均不是零向量，夹角为锐角，
∴[a]·([a]+[λb])>0. 故[λ]>[-53].
当[a]与[a]+[λb]共线时，存在实数[m]，使[a]+[λb]=[ma]，即(1+[λ]，2+[λ])=[m](1，2)，
∴[1+λ=m2+λ=2m]即[λ=0m=1]，[a]与[a]+[λb]同向，∴[λ]≠0.
故[λ]的范围为([-53]，0)∪(0，+∞).
点拨 向量的夹角首先要共起点，其次范围是[0，π]，[a]·[b]>0[⇔]夹角为[0，[π2]) ，而本题中锐角为(0，[π2])，不含0，故需讨论[a]与[a]+[λb]共线时是否为同向.试求[a]=(1，2)，[b]=(1，[λ])，当[a]与[b]的夹角为钝角时，[λ]的取值范围.
警示四 惯性思维，导致漏解
例4 已知点[A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2)]，求以[A、B、C]为顶点的平行四边形的第四个顶点[D]的坐标.
解析 “以[A、B、C]为顶点的平行四边形”有三种情况：[▱ABCD]，[▱ADBC]，[▱ABDC].
设[D]的坐标为[(x，y)].
（1）若是[▱ABCD]，则[AB=DC]，
得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-[(x，y)]，
即[(-1，2)=(-1-x,-2-y).]
[1-x=-1,-2-y=2.] ∴[x=0,y=-4.]
∴[D]点的坐标为(0，-4).
（2）若是[▱ADBC]，则由[AD=CB]，求得[D(2，4).]
（3）若是[▱ABDC]，则由[AB=CD]，求得[D(-2，0).]
综上所述，所求[D]的坐标为(0，-4)或(2，4)或(-2，0).
点拨 要加强以向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，同时分析问题要全面，该题可能受惯性思维的影响，很多同学只考虑四边形[ABCD]是平行四边形的情况，而漏掉其它两解.
警示五 函数与方程思想应用错误
例5 已知向量[a]≠[e]，|[e]|=1，满足：对任意[t∈R]，恒有|[a]-t[e]|[≥]|[a]-[e]|，则( )
A. [a]⊥[e] B. [a]⊥([a]-[e])
C. [e]⊥([a]-[e]) D. ([a]+[e])⊥([a]-[e])
解析 ∵|[a]-[te]|[≥]|[a]-[e]| ，
∴|[a]|2-[2ta]·[e]+[t2]|[e]|2[≥]|[a]|2-[2a]·[e]+|[e]|2.
∵|[e]|=1，∴[t2]-[2ta]·[e]+2[a]·[e]-1[≥]0对任意[t∈R]恒成立，
Δ=4([a]·[e])2-4([2a]·[e]-1)[≤]0，即([a]·[e]-1)2[≤]0 .
∴[a]·[e]=1. 即[a]·[e]=[e]2.
∴([a]-[e])·[e]=0. 故[e]⊥([a]-[e]).
答案 C
点拨 误区1：不等式整理成[t2]-[2a]·[et]+[2a]·[e]-1[≥]0后，不能把[a]·[e]看成一个整体、一个参数，而忽视了该不等式对[∀][t∈R]恒成立的充要条件是Δ[≤]0.
误区2：[a]·[e]=1，而答案中没有这一选项，大家不会变通，把“1”看成|[e]|2，而总以为自己做错了.
警示六 向量与向量模相互转化出错
例6 已知点[A(-1，6)]和[B(3，0)]，在直线[AB]上求一点[P]，使得[|AP|=13|AB|].
解析 设[P(x，y)].
（1）若[AP=13AB]，则由[(x+1,y-6)=13](4，-6) 得，
[x+1=43,y-6=-2.] 解得[x=13,y=4.]
此时点[P]的坐标为([13]，4).
（2）若[AP=-13AB]，则由[(x+1,y-6)=-13](4，-6)得，
[x+1=43,y-6=2.] 解得[x=-73,y=8.]
此时点[P]的坐标为([-73]，8).
综上所述，[P(13]，4)或([-73]，8).
点拨 [a]=[λb][⇒]|[a]|=|[λb]|=|[λ]||[b]|，但|[a]|=[λ]|[b]|([a]与[b]共线)[⇒][a]=±[λb]，后者包含同向或反向两种情况，容易出错，应引起同学们的注意.
警示七 忽视向量投影，陷入困境
例7 已知[O]是[△ABC]的外心，[AB=2]，[AC=1]，[∠BAC=120°]，设[AB]=[a]，[AC]=[b]，若[AO]=[λ1a]+[λ2b]，则[λ1+λ2]等于( )
A. 1 B. 2 C. [136] D. 3
解析 ∵[AO]=[λ1a]+[λ2b]，
∴[AO]·[a]=[λ1|a|2]+[λ2a]·[b].
∴[a][AO]cos<[AO]，[a]>=4[λ1]+[λ2][a][b]cos<[a]·[b]>.
如图过[O]点作[OD⊥AB]于[D]，因[O]为外心，所以[D]为[AB]的中点.
故[AO]cos<[AO]，[a]>=[AO]cos[∠BAO=AD=1].
∴4[λ1]-[λ2]=2 ①，
同理[AO]·[b]=[λ1a]·[b]+[λ2|b|2]，得[-λ1]+[λ2]=[12]②，
由①②解得[λ1=56]，[λ2=43].
故[λ1]+[λ2]=[136]，选C.
点拨 此题因[AO]、[cos∠BAO]均未知，计算因此陷入困境，实质上[AOcos∠BAO]就是[AO]在[AB](即[a])方向上的投影即数值1，从而问题迎刃而解.弄清[b]在[a]方向上的投影为[b]cos<[a]·[b]>，它是一个数值，可正可负也可以是零.