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教材分析:(一)教材的地位与作用。本节内容选自于北师大版选修2—1第三章第四節的第二小节。是学习完三种圆锥曲线几何性质之后的总结,总结的是三种圆锥曲线的几何条件,标准方程及性质,然后从中归纳它们的共同性质,使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点,以及它们之间的区别与联系;(二)学生状况分析。根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题和主要目的,本节以类比迁移、坐标法及数形结合的思想方法贯穿始终,使本节课形象,直观,可接受性强。因此学习过程中必须充分调动学生学习的主动性,做到真正提高能力,而不是把现成的结论直接抛给学生,从而为学生进行研究性学习打 下基础;(三)教学目标。1. 知识与技能:(1)了解圆锥曲线的共同特征并能够解决简单问题;(2)能够熟练求曲线方程;2. 过程与方法:通过问题设置,让学生经历观察、猜想、探索、归纳的过程,在自主思考、合作探究中学习;3. 情感态度与价值观:通过亲身体验,增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神;(四)教学重点、难点 :本节课的知识重点是圆锥曲线的共同特征的推导,难点是对圆锥曲线的共同特征的探索和应用。由于我们刚学习了三种圆锥曲线有关问题,学生已经熟悉了图形——方程 ——性质的研究过程,学生已具有由方程研究曲线性质的基本能力,本节课我以问题串的形式,提出了问题,然后将问题逐步引伸,解决问题。让学生在论证中交流,在交流中获得认识和能力的提高。
教学重点:圆锥曲线的共同特征及简单运用;教学难点:圆锥曲线的共同特征的探索研究。
教学方法:讲授法、启发式、自主探究与合作交流相结合。学法指导:以“探索发现—大胆猜想—深入探究—证明—形成结论—抽象概念”的探究方法为主导,认知层次层层深入,探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、动脑思中愉悦的学习知识。教学手段:多媒体辅助教学、实物投影。
教学过程:
一、创设情境,引入新课
椭圆、双曲线、抛物线都可以用平面去截圆锥得到,这是它们图形上的共同特征,因此称为圆锥曲线。前面我们分别学习了圆锥曲线的标准方程及其性质。请同学们回忆以下知识:
1.求曲线方程的步骤。2.椭圆、双曲线、抛物线的定义;3.椭圆、双曲线、抛物线的离心率;
二、合作交流,探究新知
(一)探索发现
问题1:问题1:曲线上点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线 x=8的距离的比是常数1,这个曲线是什么曲线?你能求出它的方程吗?(学生完成,实物投影展示,画出图形,体会定点、定直线的几何意义)问题2:曲线上的点M(x,y)到定点F(2,0)距离和它到定直线x=8的距离的比是常数1/2 ,求曲线方程。学生求解讨论。你发现了什么?由此可见:椭圆也是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的曲线,这样就与抛物线有了共同的特征。
(二)大胆猜想
猜想:任意椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e的点的集合。那么,曲线分别为椭圆、双曲线时,常数的取值范围分别是什么?学生的猜想结论:当常数0<<1 时,曲线为椭圆;当常数>1时,曲线为双曲线。
(三)深入探究
问题:能否用前面所学知识验证猜想结论呢?定点、定直线、常数有何意义?(接下来,我们结合前面学习的推导椭圆、双曲线标准方程的部分步骤验证这一结论)。1.椭圆(略);2.双曲线(略)。
(四)形成结论(略)
(五)抽象概括,形成概念
(我们可以发现,圆锥曲线也可以如下来定义)平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l(l不过定点F)的距离的比等于常数的点的轨迹。当0<<1时,它是椭圆;当>1时,它是双曲线;当 时,它是抛物线.定点F是焦点,定直线l是与焦点相应的准线,常数是离心率。我们把它称为圆锥曲线的统一定义,曲线为椭圆、双曲线时,也称为椭圆、双曲线的第二定义,前面学习的定义为第一定义。接下来让学生类比得出:椭圆、双曲线的焦点在y轴时的准线方程。
三、学以致用,巩固提高
(一)例题讲解:(略)设d是点P到左准线的距离, 由双曲线的第二定义得:得,又双曲线的两准线间的距离是,则点P到右准线的距离是:(学生先自主思考,求出方程后在组内交流,推举代表到讲台前利用实物投影仪展示并分析解题过程,其他小组可做补充。)
(二)练习巩固
1.方程(略)表示的曲线是( )A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线2.中心在原点,准线方程为,离心率为的椭圆方程是____________;3.椭圆(略)上一点P到一个焦点F(3,0)的距离等于3,则点P到直线x=10的距离为_________.
三、回顾反思
本节课,你学习了哪些知识?运用到了哪些数学思想方法?我们是如何探究知识的?1.圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线(直线不过定点)的距离之比等于常数.当0<<1时,它是椭圆;当>1时,它是双曲线;当=1时,它是抛物线;2.求轨迹方程的常用方法:直接法、定义法;3.数学思想方法:数形结合、类比等.
四、作业
必做题:1.P87练习:2;2.已知椭圆(略)上一点P到右准线的距离为10,求点P到左准线的距离。
选做题:已知点,设点F为椭圆(略)的右焦点,点M为椭圆上动点,求MA+2MF的最小值,并求此时点M的坐标。
教学重点:圆锥曲线的共同特征及简单运用;教学难点:圆锥曲线的共同特征的探索研究。
教学方法:讲授法、启发式、自主探究与合作交流相结合。学法指导:以“探索发现—大胆猜想—深入探究—证明—形成结论—抽象概念”的探究方法为主导,认知层次层层深入,探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、动脑思中愉悦的学习知识。教学手段:多媒体辅助教学、实物投影。
教学过程:
一、创设情境,引入新课
椭圆、双曲线、抛物线都可以用平面去截圆锥得到,这是它们图形上的共同特征,因此称为圆锥曲线。前面我们分别学习了圆锥曲线的标准方程及其性质。请同学们回忆以下知识:
1.求曲线方程的步骤。2.椭圆、双曲线、抛物线的定义;3.椭圆、双曲线、抛物线的离心率;
二、合作交流,探究新知
(一)探索发现
问题1:问题1:曲线上点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线 x=8的距离的比是常数1,这个曲线是什么曲线?你能求出它的方程吗?(学生完成,实物投影展示,画出图形,体会定点、定直线的几何意义)问题2:曲线上的点M(x,y)到定点F(2,0)距离和它到定直线x=8的距离的比是常数1/2 ,求曲线方程。学生求解讨论。你发现了什么?由此可见:椭圆也是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的曲线,这样就与抛物线有了共同的特征。
(二)大胆猜想
猜想:任意椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e的点的集合。那么,曲线分别为椭圆、双曲线时,常数的取值范围分别是什么?学生的猜想结论:当常数0<<1 时,曲线为椭圆;当常数>1时,曲线为双曲线。
(三)深入探究
问题:能否用前面所学知识验证猜想结论呢?定点、定直线、常数有何意义?(接下来,我们结合前面学习的推导椭圆、双曲线标准方程的部分步骤验证这一结论)。1.椭圆(略);2.双曲线(略)。
(四)形成结论(略)
(五)抽象概括,形成概念
(我们可以发现,圆锥曲线也可以如下来定义)平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l(l不过定点F)的距离的比等于常数的点的轨迹。当0<<1时,它是椭圆;当>1时,它是双曲线;当 时,它是抛物线.定点F是焦点,定直线l是与焦点相应的准线,常数是离心率。我们把它称为圆锥曲线的统一定义,曲线为椭圆、双曲线时,也称为椭圆、双曲线的第二定义,前面学习的定义为第一定义。接下来让学生类比得出:椭圆、双曲线的焦点在y轴时的准线方程。
三、学以致用,巩固提高
(一)例题讲解:(略)设d是点P到左准线的距离, 由双曲线的第二定义得:得,又双曲线的两准线间的距离是,则点P到右准线的距离是:(学生先自主思考,求出方程后在组内交流,推举代表到讲台前利用实物投影仪展示并分析解题过程,其他小组可做补充。)
(二)练习巩固
1.方程(略)表示的曲线是( )A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线2.中心在原点,准线方程为,离心率为的椭圆方程是____________;3.椭圆(略)上一点P到一个焦点F(3,0)的距离等于3,则点P到直线x=10的距离为_________.
三、回顾反思
本节课,你学习了哪些知识?运用到了哪些数学思想方法?我们是如何探究知识的?1.圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线(直线不过定点)的距离之比等于常数.当0<<1时,它是椭圆;当>1时,它是双曲线;当=1时,它是抛物线;2.求轨迹方程的常用方法:直接法、定义法;3.数学思想方法:数形结合、类比等.
四、作业
必做题:1.P87练习:2;2.已知椭圆(略)上一点P到右准线的距离为10,求点P到左准线的距离。
选做题:已知点,设点F为椭圆(略)的右焦点,点M为椭圆上动点,求MA+2MF的最小值,并求此时点M的坐标。