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2008年江苏物理高考题第14题：在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图1所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g.求：(1)小球运动到任意位置P(x，y)的速率v.(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E(E>mgq)的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm.
解法一高考参考答案：
(1)洛伦兹力不做功，由动能定理得
mgy=12mv2(1)
得v=2gy(2)
(2)设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有
qvmB-mg=mv2mR(3)
且由(2)知vm=2gym(4)
由(3)、(4)及R=2ym得ym=2m2gq2B2(5)
(3)小球运动如图2所示，
由动能定理
(qE-mg)|ym|=12mv2m(6)
由圆周运动
qvmB mg-qE=mv2mR(7)
且由(6)、(7)及R=2|ym|解得
vm=2qB(qE-mg).
命题特点首先，本题是针对习惯思维的逆向选择(平时我们研究的粒子，一般都是不计重力，而本题选择的是带电小球，重力不能忽略)；其次，本题题干以及第(1)问的情景不是很陌生，但是第(2)问利用曲率半径、把向心力的关系作为一条解决问题的渠道，这是比较新颖的；再有，第(3)问，引入电场是对原题很好的一个变式.
解题困难“曲率半径”这个概念对考生来说比较陌生.高中物理教材中并没有出现过有关“曲率半径”的内容，而笔者询问了本校几位数学教师，回答也都是“没有讲过”.只是有这样的情况，有些教师在讲解 “卫星变轨”问题时，作为拓展，会讲一讲“曲率半径”的问题，而且也要看学生的程度，若是一般的普通高中，老师基本上是不会讲的.考试中不少学生正是由于不知“曲率半径”是何物而无法求解.
当然，命题者也许并非默认考生都是知道“曲率半径”这个概念的，而是要求学生综合题中各种信息，从圆周运动中的“半径”概念迁移到本题中的“曲率半径”来，如果是这样，那对学生的知识迁移能力是很高的要求.
另外，仔细阅读此题，“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍”这个条件是在仅有磁场和重力场的情境下给出的，那么对于第(3)问中进一步引入电场的变式，这个条件是否仍然成立，要进行类比才能确定，难度也是很大的.
当然，作为试题的研究，我们可以不把“曲率半径”当作“华山一条道”，仍然能够通过其它方法求解.下面介绍两种解法，均不需要用到题中“曲率半径”的条件.
解法二第(1)问略.
设小球在运动过程中第一次下降的最大距离对应的位置为点Q，如图3所示.
对切点Q有yQ=ym,(vy)Q=0(1)
洛伦兹力不做功，由动能定理
mgym=12m(vx)2q(2)
取运动轨迹上某一点P，小球位于P时，它所受到的x方向的力是
Fx=qvyB,
这个力提供了小球在x方向的加速度，
qvyB=max(3)
注意到(3)式对小球运动过程中各个时刻都是成立的，它可以写成
qBΔyiΔti=mΔ(vx)iΔti,
亦即qBΔyi=mΔ(vx)i(4)
把小球从O点到Q点运动过程中所有小段的关系式全部加起来有
∑i(qBΔyi)=∑i［mΔ(vx)i］(5)
由于∑iyi=yQ-yO=ym,
∑iΔ(vx)=(vx)Q-(vx)O=(vx)Q,
代入(5)式得qBym=m(vx)Q(6)
联立(2)、(6)式得ym=2m2gq2B2且(vx)Q=2mgqB.
由动能定理知，(vx)Q=2mgqB即是小球静止释放后获得的最大速率vm，对于第(3)问，只要利用等效替代的方法，令“等效场”为mg效=qE-mg，马上就可以求得结果，其最大速率为
vm=2mg效qB=2(qE-mg)qB.
解法三第(1)问略.
按题意，小球由静止释放，即初速度为零.设想此时小球具有如图4所示的x方向的速度 v0和-v0，使 v0这个速度引起的洛伦兹力正好与小球所受的重力相平衡，即v0的大小满足qv0B=mg，或写成v0=mgqB，这个值是恒定的.
照此设想，小球在其后的运动过程中将受到三个力，一个是沿y轴正方向的重力，一个是由于小球沿x轴向右运动而产生的y轴负方向的洛伦兹力(图4中已画出)，另一个是小球向左运动产生的y轴正方向的洛伦兹力(图4中未画出).这第三个力所相应的加速度引起小球速度的改变，它和原来小球向左运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而小球向右运动的这个分速度没有改变，也就是说，它所引起的洛伦兹力和重力始终保持平衡.于是，小球的运动结合起来，可视为是一个速度为v0的向右运动和一个速率为v0的匀速圆周运动(逆时针方向)的合成，如图5所示.对匀速圆周运动，有
qv0B=mv20R,
得R=mv0qB,
又v0=mgqB,
所以R=mqB
解法一高考参考答案：
(1)洛伦兹力不做功，由动能定理得
mgy=12mv2(1)
得v=2gy(2)
(2)设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有
qvmB-mg=mv2mR(3)
且由(2)知vm=2gym(4)
由(3)、(4)及R=2ym得ym=2m2gq2B2(5)
(3)小球运动如图2所示，
由动能定理
(qE-mg)|ym|=12mv2m(6)
由圆周运动
qvmB mg-qE=mv2mR(7)
且由(6)、(7)及R=2|ym|解得
vm=2qB(qE-mg).
命题特点首先，本题是针对习惯思维的逆向选择(平时我们研究的粒子，一般都是不计重力，而本题选择的是带电小球，重力不能忽略)；其次，本题题干以及第(1)问的情景不是很陌生，但是第(2)问利用曲率半径、把向心力的关系作为一条解决问题的渠道，这是比较新颖的；再有，第(3)问，引入电场是对原题很好的一个变式.
解题困难“曲率半径”这个概念对考生来说比较陌生.高中物理教材中并没有出现过有关“曲率半径”的内容，而笔者询问了本校几位数学教师，回答也都是“没有讲过”.只是有这样的情况，有些教师在讲解 “卫星变轨”问题时，作为拓展，会讲一讲“曲率半径”的问题，而且也要看学生的程度，若是一般的普通高中，老师基本上是不会讲的.考试中不少学生正是由于不知“曲率半径”是何物而无法求解.
当然，命题者也许并非默认考生都是知道“曲率半径”这个概念的，而是要求学生综合题中各种信息，从圆周运动中的“半径”概念迁移到本题中的“曲率半径”来，如果是这样，那对学生的知识迁移能力是很高的要求.
另外，仔细阅读此题，“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍”这个条件是在仅有磁场和重力场的情境下给出的，那么对于第(3)问中进一步引入电场的变式，这个条件是否仍然成立，要进行类比才能确定，难度也是很大的.
当然，作为试题的研究，我们可以不把“曲率半径”当作“华山一条道”，仍然能够通过其它方法求解.下面介绍两种解法，均不需要用到题中“曲率半径”的条件.
解法二第(1)问略.
设小球在运动过程中第一次下降的最大距离对应的位置为点Q，如图3所示.
对切点Q有yQ=ym,(vy)Q=0(1)
洛伦兹力不做功，由动能定理
mgym=12m(vx)2q(2)
取运动轨迹上某一点P，小球位于P时，它所受到的x方向的力是
Fx=qvyB,
这个力提供了小球在x方向的加速度，
qvyB=max(3)
注意到(3)式对小球运动过程中各个时刻都是成立的，它可以写成
qBΔyiΔti=mΔ(vx)iΔti,
亦即qBΔyi=mΔ(vx)i(4)
把小球从O点到Q点运动过程中所有小段的关系式全部加起来有
∑i(qBΔyi)=∑i［mΔ(vx)i］(5)
由于∑iyi=yQ-yO=ym,
∑iΔ(vx)=(vx)Q-(vx)O=(vx)Q,
代入(5)式得qBym=m(vx)Q(6)
联立(2)、(6)式得ym=2m2gq2B2且(vx)Q=2mgqB.
由动能定理知，(vx)Q=2mgqB即是小球静止释放后获得的最大速率vm，对于第(3)问，只要利用等效替代的方法，令“等效场”为mg效=qE-mg，马上就可以求得结果，其最大速率为
vm=2mg效qB=2(qE-mg)qB.
解法三第(1)问略.
按题意，小球由静止释放，即初速度为零.设想此时小球具有如图4所示的x方向的速度 v0和-v0，使 v0这个速度引起的洛伦兹力正好与小球所受的重力相平衡，即v0的大小满足qv0B=mg，或写成v0=mgqB，这个值是恒定的.
照此设想，小球在其后的运动过程中将受到三个力，一个是沿y轴正方向的重力，一个是由于小球沿x轴向右运动而产生的y轴负方向的洛伦兹力(图4中已画出)，另一个是小球向左运动产生的y轴正方向的洛伦兹力(图4中未画出).这第三个力所相应的加速度引起小球速度的改变，它和原来小球向左运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而小球向右运动的这个分速度没有改变，也就是说，它所引起的洛伦兹力和重力始终保持平衡.于是，小球的运动结合起来，可视为是一个速度为v0的向右运动和一个速率为v0的匀速圆周运动(逆时针方向)的合成，如图5所示.对匀速圆周运动，有
qv0B=mv20R,
得R=mv0qB,
又v0=mgqB,
所以R=mqB