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摘要：在数学学习中，对知识的理解要远比对知识的掌握重要，只有深刻的理解所学的知识，才能完全掌握知识，才能灵活自如的运用知识。然而，数学又是抽象的，不像物理、化学等学科可以通过直观的实验进行学习。因此在数学学习中，学生只有了解了相关知识的来龙去脉，才能够顺利的将知识融会贯通，并同化到自己的知识结构中。
关键词：数列；通项公式；函数思想
英国学者P.欧内斯特说：“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……”可见，对于数学教学者来说，掌握数学本质，了解数学是什么至关重要。通过分析各种数学研究可以看出，数学本质不仅包括隐藏在客观事物背后的数学知识和数学规律，还包括隐藏在这些数学知识、规律背后的本质属性。另外，数学本质还涉及统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。在数学教学中，教师要学会引导学生正确认识数学本质，引导学生了解数学知识的形成和发展过程，从而让学生更好的感受隐藏在数学知识背后的思想和方法，使学习达到事半功倍的效果。
然而在实践中，我发现，大部分教师只倾向于知识的灌输，不重视对学生的引导，导致学生无法真正理解知识，进而无法灵活运用数学知识解答问题。本人不禁思考：教学过程中，教师应该进行如何溯本追源呢？
本人认为，在课堂的教学中教师要引导学生从追求“是什么”“为什么”“相同点”“精华处”的过程中，寻找数学的本质。下面结合本人在教学中碰到的问题谈谈如何围绕数学本质进行设计并开展教学。
问题1：已知等差数列{an}中，a2=4，a4 a7=15，
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 设bn=2an-2 n，求b1 b2 b3 … b10。
该题是在一次学校高三第一轮复习后统考的一个解答题，大部分学生的解答情况如下：
学生解答：（1） a4 a7=a2 2d a2 5d=2a2 7d=15
∵a2=4，代入上式得8 7d=15，∴d=1
∴an=a2 （n-2）d=4 （n-2）=n 2
（2） bn=2n n
∴b1=3，b2=6，b3=11，b4=20，b5=37，……
大部分同學都是上面的解答，解到一半没能继续下去，有极个别同学能算到b10并求出最后正确的答案。
学生为什么会出现这样的情况，究其原因，学生对数列的通项公式并没有真正的理解，只是知道等差、等比数列的通项公式，并没有真正深入的掌握数列通项公式的本质。更为严重的是，许多教师并没有主动引导学生深入探究思考通项公式的本质，致使学生只能从表面上理解数列通项公式，做不到真正的融会贯通和灵活运用。
一、 异中求同，寻通法
本人认为，解题教学中的本质是不同题目之间的相同点。教师在进行解题教学时，不能仅仅局限于题目本身，教会学生解题方法，而是要引导学生观察、思考不同题目，从而发现不同题目中蕴含的相同点。这样的教学方式，不仅锻炼激活了学生的思维，而且还能帮助学生抓住一类问题背后蕴藏的数学本质，进而自如应对不同的问题，达到“授人以鱼不如授人以渔”的教学效果。
等差数列通项公式为an=a1 （n-1）d，而决定等差数列的两个基本量为a1和d，等比数列通项公式为an=a1·qn-1，决定等比数列的两个基本量为a1和q，如果我们在教学中真正落实了学生对两个基本量的理解。那么对于（1）中的问题，可以采用两个基本量来解，如下：
a2=a1 d=4（1）
a4 a7=a1 3d a1 6d=15（2）
由（1）（2）两式解得a1=3
d=1，∴an=n 2
这样的解法就抓住了等差数列的两个基本量a1和d，采用方程的思想解决这一问题。
如：1. 在等差数列{an}中，a1 a2=40，a4 a5=60，求a5 a6。
2. 在公差d≠0的等差数列{an}中，已知a1=4，且a1，a7，a10成等比数列，
（1） 求等差数列{an}的通项公式；
（2） 求以a1，a7，a10为前三项的等比数列的前n项和。
我们都可以采用基本量法，转化为方程组的办法来解决。
再如：（3） 在等差数列{an}中，a3 a8=10，求3a5 a7的值。学生很容易就想到用基本量法来解决，得到a3 a8=a1 2d a1 7d=10，即2a1 9d=10，两个未知数a1和d，一个方程无法解，由方程思想可以知道，此题必须要整体求解，这是方程思想指导思维，再由3a5 a7=3（a1 4d） a1 6d=4a1 18d，整体代换可求得。
在等差、等比数列中，只要抓住两个基本量，就抓住了数列的本质。只要让学生理解了等差、等比数列的两个基本量的本质，学生在解题时，就不会终止在起点。
二、 层层剖析，觅本质
数学学习中讲究“返璞归真”：当学生经历了大量的同类题目后，会在某个时刻“恍然大悟”，掌握这类问题的“本质”。因此对于一个数学教师来说，是否能够把握数学本质，是衡量他的专业素养的关键。那么对于教师而言，应该怎样引导学生揭示数学本质呢？多问几个为什么，在解决为什么的过程中，清晰推理，追寻本质。
在问题1第（2）问的解答中，学生已经求得bn=2n n，而又对b1，b2，b3…进行逐项求出，想通过b1，b2，b3…，寻找数列{bn}的规律。学生出现这样的情况，不是因为没掌握分组求和的方法，而是不认识通项公式bn=2n n的结构特征，对等差、等比数列的通项公式的学习只是对公式的记忆，没有深入到本质，没有掌握等差、等比数列通项公式的结构特征。
等差数列an=a1 （n-1）d=dn a1-d，设d=k，a1-d=b，则an=kn b，an是关于n的离散型一次函数；等比数列an=a1·qn-1=a1q×qn，设a1q=k，则an=k·qn，an是关于n的离散型指数型函数。在数学课堂上，对等差、等比数列通项公式进行层层剖析，引导学生进行深入地研究，掌握等差、等比数列通项公式的本质。那么对于问题1第（2）问bn=22 n，学生就会认识数列{bn}是由等比数列与等差数列组合而成，从而就很容易想到要进行分组求和。总之，要想让学生从心里接受数学知识，进一步理解，并真正将知识同化，就必须让学生了解知识的来龙去脉。因此，在数列教学过程中，要注重以下两个方面的教学： 1. 理清数列知识结构
数学知识呈现的形式化是数学抽象性这一特点的表现之一。在教学中，如果教师要想将形式化的数学知识转化为学生更容易接受的教育形式，就必须深入理解数学知识本质。如果做不到这一点，教学就很容易陷入照本宣科的窠臼，只会把书上的内容重复一遍，造成索然无味的数学课堂。这种无趣的课堂必然难以引起学生学习数学的兴趣，更别谈学好数学了。教师要想打好有效教学的基础和前提，就必须要理解数学，而要想更好的理解数学，就必须要理清知识的联系和结构，这是数学教学的一个重要方面。数列知识网络图如下：
2. 建立数列概念与函数的联系
在数学教学中，教师必须要认识到数学知识体系具有内在逻辑联系的系统性结构特点。基于这一特点，在教学时，教师若想引导学生理解数学，就必须要让学生知道每个数学知识点从哪里发展而来，又延伸出什么知识，只有这样学生才能准确把握知识的来龙去脉。就拿数列来说，数列的上位概念是函数，数列的下位概念有等差数列与等比数列等。因此在数列教学中，教师要想让学生真正了解掌握数列知识，就必须引导学生将所学过的函数、等差数列、等比数列等知识串联起来，并与已有知识结构进行结合，完善学生的认知结构。通过这样的教学和学习，学生才能准确的理解数列的来龙去脉，才能掌握数列的通项与项数之间的变化关系，认识到数列是一种函数，函数关系才是数列的本质。
三、 函数思想，拓思维
从前文的分析中，我们已经知道数列本质上属于函数，具备函数的某些性质，因此在数列教学中，教师可以引进函数思想。教师应该引导学生利用已经掌握的函数知识及函数学习方法来学习数列——观察图像发现性质。学生通过图像的观察可以直观的看清楚数列的变化趋势，进而掌握数列的单调性特点，找到使数列达到最值时所对应的项数。等差数列前n项和公式Sn可以看作关于自然数n的函数，图像是抛物线上的点。因此，等差数列前n项和公式Sn的性质可以用前面学习的二次函数性质来研究。
问题2：等差数列{an}中，a1=-20，S9=S12，求该数列前多少项和最小。
分析：由基本量法得a1=-209a1 9×82d=12a1 12×112d，解得a1=-20d=2，∴an=2n-22。
再由an=2n-22≤0，解得n≤11，故数列{an}前10项或前11项和最小。这是寻求数列通项的方法解决前n项和最小值。
如果我们把前n项和最值与函数的最值建立联系，根据题目可求得Sn=n2-21n，就可以将数列{an}前n项和最小值转化为离散型二次函数y=x2-21x（x∈N ）的最小值。
在数列这一章教学中，我们不能只讲题型与方法，让学生被动的接受。本人认为，在这一章的教学中，教师要引导学生学会利用函数思想解决数列问题，学会将函数与数列进行联系，掌握解决数列问题的不同思维角度。这样不仅能够拓展学生的思维，而且还能提高学生观察、分析、解决问题的能力。
四、 圖形辅助，显真谛
众所周知，合理利用图像是解决数学问题的重要手段。图像可以让抽象的数学知识变得直观生动，可以将抽象的概念转化为具体的图像，而学生可以通过图像的变化更好的了解掌握数学知识，进而解决一些抽象数学问题。
在问题2中，我们先对等差数列前n项和公式进一步深入的探究，Sn=na1 n×（n-1）2d=d2n2 a1-d2n，令d2=A，a1-d2=B，则Sn=An2 Bn，故等差数列{an}前n项和公式是关于n的离散型二次函数且不含常数项。如果学生理解了等差数列前n项和公式与函数的联系，那么就可以直接把问题2中的问题转化为二次函数问题来解决，设等差数列前n项和Sn=An2 Bn，∵a1<0，求Sn的最小值，∴d>0，即A>0，∴二次函数图像抛物线开口向上，且经过原点，如图1：
根据图像可知等差数列{an}前10项和或前11项和最小。
再如，已知数列{an}是等差数列，Sn是前n项和，Sq=Sp（p 分析：此题利用代数方法，根据等差数列前n项和公式，可设Sn=An2 Bn，再将Sq=Sp代入，得到系数A，B与项数p，q的关系，再求出Sp q这个过程繁琐，且容易出错。如果能够意识到数列的函数本质，画出前n项和Sn=An2 Bn函数图像，如图2，由Sp=Sq，知图像对称轴为x=p q2，再由对称性知，x=0与x=p q关于对称轴x=p q2对称，故Sp q=0。
作为研究数量关系变化的一种模型，数列隐藏的本质其实就是函数关系。因此，在解决数列问题时，教师可以引导学生从函数角度看待数列，利用函数内容和方法研究解决一些特殊的数列问题。例如：函数图像。从解决上述问题的方法中可以看出，利用函数图像不仅可以避免答题过程繁琐、计算复杂这样的弊端，使问题得到快速解决，而且还可以升华数列内涵，扩充函数的外延。更重要的是，这样的解答方法充分体现了数学教学中的数形结合思想以及数学的对称美。
本文研究提醒我们，高中数学教学不能再停留在传统的记结论、套公式等方法中，教师要培养学生的联想、探索以及归纳总结能力，要重点教会学生创新。另外，在平时教学工作中，教师要善于挖掘数学知识本身蕴含的数学思想，并将其渗透给学生。只有通过这样的教学，学生的数学思维才能得到扩展，思维主动性和思维潜能才能得到激发，思维品质才能得到提高，学生才能真正认识到数学思想的重要性，运用数学思想解决问题的意识和能力才能得到增强。
参考文献：
[1]徐世风.追源数学揭秘数学[J].数学教学探索，2016.
[2]刘铁龙.利用函数思想解释数列通项公式求法[J].廷边教育学院学报，2015.
[3]吴丹.“追本溯源，激发生命体验”的语文教学[J].教学研究，2016.
[4]高书玲.追本溯源揭秘奇函数的对称特性[J].中学数学研究，2014.
作者简介：
王海平，浙江省温岭市，浙江省温岭市职业中等专业学校。
关键词：数列；通项公式；函数思想
英国学者P.欧内斯特说：“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……”可见，对于数学教学者来说，掌握数学本质，了解数学是什么至关重要。通过分析各种数学研究可以看出，数学本质不仅包括隐藏在客观事物背后的数学知识和数学规律，还包括隐藏在这些数学知识、规律背后的本质属性。另外，数学本质还涉及统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。在数学教学中，教师要学会引导学生正确认识数学本质，引导学生了解数学知识的形成和发展过程，从而让学生更好的感受隐藏在数学知识背后的思想和方法，使学习达到事半功倍的效果。
然而在实践中，我发现，大部分教师只倾向于知识的灌输，不重视对学生的引导，导致学生无法真正理解知识，进而无法灵活运用数学知识解答问题。本人不禁思考：教学过程中，教师应该进行如何溯本追源呢？
本人认为，在课堂的教学中教师要引导学生从追求“是什么”“为什么”“相同点”“精华处”的过程中，寻找数学的本质。下面结合本人在教学中碰到的问题谈谈如何围绕数学本质进行设计并开展教学。
问题1：已知等差数列{an}中，a2=4，a4 a7=15，
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 设bn=2an-2 n，求b1 b2 b3 … b10。
该题是在一次学校高三第一轮复习后统考的一个解答题，大部分学生的解答情况如下：
学生解答：（1） a4 a7=a2 2d a2 5d=2a2 7d=15
∵a2=4，代入上式得8 7d=15，∴d=1
∴an=a2 （n-2）d=4 （n-2）=n 2
（2） bn=2n n
∴b1=3，b2=6，b3=11，b4=20，b5=37，……
大部分同學都是上面的解答，解到一半没能继续下去，有极个别同学能算到b10并求出最后正确的答案。
学生为什么会出现这样的情况，究其原因，学生对数列的通项公式并没有真正的理解，只是知道等差、等比数列的通项公式，并没有真正深入的掌握数列通项公式的本质。更为严重的是，许多教师并没有主动引导学生深入探究思考通项公式的本质，致使学生只能从表面上理解数列通项公式，做不到真正的融会贯通和灵活运用。
一、 异中求同，寻通法
本人认为，解题教学中的本质是不同题目之间的相同点。教师在进行解题教学时，不能仅仅局限于题目本身，教会学生解题方法，而是要引导学生观察、思考不同题目，从而发现不同题目中蕴含的相同点。这样的教学方式，不仅锻炼激活了学生的思维，而且还能帮助学生抓住一类问题背后蕴藏的数学本质，进而自如应对不同的问题，达到“授人以鱼不如授人以渔”的教学效果。
等差数列通项公式为an=a1 （n-1）d，而决定等差数列的两个基本量为a1和d，等比数列通项公式为an=a1·qn-1，决定等比数列的两个基本量为a1和q，如果我们在教学中真正落实了学生对两个基本量的理解。那么对于（1）中的问题，可以采用两个基本量来解，如下：
a2=a1 d=4（1）
a4 a7=a1 3d a1 6d=15（2）
由（1）（2）两式解得a1=3
d=1，∴an=n 2
这样的解法就抓住了等差数列的两个基本量a1和d，采用方程的思想解决这一问题。
如：1. 在等差数列{an}中，a1 a2=40，a4 a5=60，求a5 a6。
2. 在公差d≠0的等差数列{an}中，已知a1=4，且a1，a7，a10成等比数列，
（1） 求等差数列{an}的通项公式；
（2） 求以a1，a7，a10为前三项的等比数列的前n项和。
我们都可以采用基本量法，转化为方程组的办法来解决。
再如：（3） 在等差数列{an}中，a3 a8=10，求3a5 a7的值。学生很容易就想到用基本量法来解决，得到a3 a8=a1 2d a1 7d=10，即2a1 9d=10，两个未知数a1和d，一个方程无法解，由方程思想可以知道，此题必须要整体求解，这是方程思想指导思维，再由3a5 a7=3（a1 4d） a1 6d=4a1 18d，整体代换可求得。
在等差、等比数列中，只要抓住两个基本量，就抓住了数列的本质。只要让学生理解了等差、等比数列的两个基本量的本质，学生在解题时，就不会终止在起点。
二、 层层剖析，觅本质
数学学习中讲究“返璞归真”：当学生经历了大量的同类题目后，会在某个时刻“恍然大悟”，掌握这类问题的“本质”。因此对于一个数学教师来说，是否能够把握数学本质，是衡量他的专业素养的关键。那么对于教师而言，应该怎样引导学生揭示数学本质呢？多问几个为什么，在解决为什么的过程中，清晰推理，追寻本质。
在问题1第（2）问的解答中，学生已经求得bn=2n n，而又对b1，b2，b3…进行逐项求出，想通过b1，b2，b3…，寻找数列{bn}的规律。学生出现这样的情况，不是因为没掌握分组求和的方法，而是不认识通项公式bn=2n n的结构特征，对等差、等比数列的通项公式的学习只是对公式的记忆，没有深入到本质，没有掌握等差、等比数列通项公式的结构特征。
等差数列an=a1 （n-1）d=dn a1-d，设d=k，a1-d=b，则an=kn b，an是关于n的离散型一次函数；等比数列an=a1·qn-1=a1q×qn，设a1q=k，则an=k·qn，an是关于n的离散型指数型函数。在数学课堂上，对等差、等比数列通项公式进行层层剖析，引导学生进行深入地研究，掌握等差、等比数列通项公式的本质。那么对于问题1第（2）问bn=22 n，学生就会认识数列{bn}是由等比数列与等差数列组合而成，从而就很容易想到要进行分组求和。总之，要想让学生从心里接受数学知识，进一步理解，并真正将知识同化，就必须让学生了解知识的来龙去脉。因此，在数列教学过程中，要注重以下两个方面的教学： 1. 理清数列知识结构
数学知识呈现的形式化是数学抽象性这一特点的表现之一。在教学中，如果教师要想将形式化的数学知识转化为学生更容易接受的教育形式，就必须深入理解数学知识本质。如果做不到这一点，教学就很容易陷入照本宣科的窠臼，只会把书上的内容重复一遍，造成索然无味的数学课堂。这种无趣的课堂必然难以引起学生学习数学的兴趣，更别谈学好数学了。教师要想打好有效教学的基础和前提，就必须要理解数学，而要想更好的理解数学，就必须要理清知识的联系和结构，这是数学教学的一个重要方面。数列知识网络图如下：
2. 建立数列概念与函数的联系
在数学教学中，教师必须要认识到数学知识体系具有内在逻辑联系的系统性结构特点。基于这一特点，在教学时，教师若想引导学生理解数学，就必须要让学生知道每个数学知识点从哪里发展而来，又延伸出什么知识，只有这样学生才能准确把握知识的来龙去脉。就拿数列来说，数列的上位概念是函数，数列的下位概念有等差数列与等比数列等。因此在数列教学中，教师要想让学生真正了解掌握数列知识，就必须引导学生将所学过的函数、等差数列、等比数列等知识串联起来，并与已有知识结构进行结合，完善学生的认知结构。通过这样的教学和学习，学生才能准确的理解数列的来龙去脉，才能掌握数列的通项与项数之间的变化关系，认识到数列是一种函数，函数关系才是数列的本质。
三、 函数思想，拓思维
从前文的分析中，我们已经知道数列本质上属于函数，具备函数的某些性质，因此在数列教学中，教师可以引进函数思想。教师应该引导学生利用已经掌握的函数知识及函数学习方法来学习数列——观察图像发现性质。学生通过图像的观察可以直观的看清楚数列的变化趋势，进而掌握数列的单调性特点，找到使数列达到最值时所对应的项数。等差数列前n项和公式Sn可以看作关于自然数n的函数，图像是抛物线上的点。因此，等差数列前n项和公式Sn的性质可以用前面学习的二次函数性质来研究。
问题2：等差数列{an}中，a1=-20，S9=S12，求该数列前多少项和最小。
分析：由基本量法得a1=-209a1 9×82d=12a1 12×112d，解得a1=-20d=2，∴an=2n-22。
再由an=2n-22≤0，解得n≤11，故数列{an}前10项或前11项和最小。这是寻求数列通项的方法解决前n项和最小值。
如果我们把前n项和最值与函数的最值建立联系，根据题目可求得Sn=n2-21n，就可以将数列{an}前n项和最小值转化为离散型二次函数y=x2-21x（x∈N ）的最小值。
在数列这一章教学中，我们不能只讲题型与方法，让学生被动的接受。本人认为，在这一章的教学中，教师要引导学生学会利用函数思想解决数列问题，学会将函数与数列进行联系，掌握解决数列问题的不同思维角度。这样不仅能够拓展学生的思维，而且还能提高学生观察、分析、解决问题的能力。
四、 圖形辅助，显真谛
众所周知，合理利用图像是解决数学问题的重要手段。图像可以让抽象的数学知识变得直观生动，可以将抽象的概念转化为具体的图像，而学生可以通过图像的变化更好的了解掌握数学知识，进而解决一些抽象数学问题。
在问题2中，我们先对等差数列前n项和公式进一步深入的探究，Sn=na1 n×（n-1）2d=d2n2 a1-d2n，令d2=A，a1-d2=B，则Sn=An2 Bn，故等差数列{an}前n项和公式是关于n的离散型二次函数且不含常数项。如果学生理解了等差数列前n项和公式与函数的联系，那么就可以直接把问题2中的问题转化为二次函数问题来解决，设等差数列前n项和Sn=An2 Bn，∵a1<0，求Sn的最小值，∴d>0，即A>0，∴二次函数图像抛物线开口向上，且经过原点，如图1：
根据图像可知等差数列{an}前10项和或前11项和最小。
再如，已知数列{an}是等差数列，Sn是前n项和，Sq=Sp（p
作为研究数量关系变化的一种模型，数列隐藏的本质其实就是函数关系。因此，在解决数列问题时，教师可以引导学生从函数角度看待数列，利用函数内容和方法研究解决一些特殊的数列问题。例如：函数图像。从解决上述问题的方法中可以看出，利用函数图像不仅可以避免答题过程繁琐、计算复杂这样的弊端，使问题得到快速解决，而且还可以升华数列内涵，扩充函数的外延。更重要的是，这样的解答方法充分体现了数学教学中的数形结合思想以及数学的对称美。
本文研究提醒我们，高中数学教学不能再停留在传统的记结论、套公式等方法中，教师要培养学生的联想、探索以及归纳总结能力，要重点教会学生创新。另外，在平时教学工作中，教师要善于挖掘数学知识本身蕴含的数学思想，并将其渗透给学生。只有通过这样的教学，学生的数学思维才能得到扩展，思维主动性和思维潜能才能得到激发，思维品质才能得到提高，学生才能真正认识到数学思想的重要性，运用数学思想解决问题的意识和能力才能得到增强。
参考文献：
[1]徐世风.追源数学揭秘数学[J].数学教学探索，2016.
[2]刘铁龙.利用函数思想解释数列通项公式求法[J].廷边教育学院学报，2015.
[3]吴丹.“追本溯源，激发生命体验”的语文教学[J].教学研究，2016.
[4]高书玲.追本溯源揭秘奇函数的对称特性[J].中学数学研究，2014.
作者简介：
王海平，浙江省温岭市，浙江省温岭市职业中等专业学校。