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密铺,又称镶嵌,是拼图游戏中常见的一种,也是多边形在实际问题中应用的具体表现之一,同时又是近几年中考命题的热点,考查的主要对象有以下几种.
一、考查正多边形能否密铺的判定
例1小明家装修房屋,用同样的正多边形瓷砖铺地,顶点连着顶点,为铺满地面而不重叠,瓷砖的形状可能有()
A.正三角形、正方形、正六边形
B.正三角形、正方形、正五边形
C.正方形、正五边形
D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形
分析:这是个密铺问题,要使几个正多边形在顶点处能够铺满,则这几个正多边形的内角之和应等于360°,由于正五边形的每个内角为108°,用三块拼出来的角之和为324°,用四块拼出来的角之和为432°,可见不论用多少块都不能拼成周角360°,故瓷砖的形状不可能是正五边形,选A.
二、考查密铺的原理
例2用正三角形与正方形作平面镶嵌,则在它的每个顶点周围有3个正三角形和个正方形.
分析:平面镶嵌时,在多边形的每个顶点处的角之和应为360°,由于3个正三角形的三个角之和已有180°,还需要可拼成180°的角,而正方形的每个内角为90°,因此还需要2个正方形.
三、考查拆与拼的互逆思维
例3用边长为1的正方形纸板,制成一副七巧板(如图①),将它拼成“小天鹅”图案(如图②),其中阴影部分的面积是()
分析:直接从“小天鹅”入手较难,注意到它来自图①的七巧板,其阴影部分恰好是七巧板中的梯形ABCD,易知梯形ABCD的面积为3/8,故选A.
四、考查由密铺探索图形的性质
例4图③是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案,则这个图案中的等腰梯形的底角(指锐角)是度.
分析:密铺就是镶嵌,多边形的镶嵌是指几个多边在某一点拼合在一起时,这些多边形既不重叠,又
不留缝隙.从三个等腰三角形的底角(钝角)恰好拼成一个圆周角可知等腰梯形的底角(钝角)是120°,所以另外一个底角(锐角)是60°.
五、考查动手操作能力
例5已知现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块,试用这些纸片(每种至少用一次)在下面的虚线方框中拼成一个矩形(每两个纸片之间既不重叠,也无缝隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使拼出的矩形面积为2a2+5ab+2b2,并标出此矩形的长和宽.
分析:要确保矩形的面积为2a2+5ab+2b2,显然需要a×a的正方形2块,b×b的正方形2块,a×b的矩形5块,通过动手操作可知拼出的矩形如下图,其中长为a+2b,宽为2a+b,此图验证了等式(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
初编辑/徐柏楠
一、考查正多边形能否密铺的判定
例1小明家装修房屋,用同样的正多边形瓷砖铺地,顶点连着顶点,为铺满地面而不重叠,瓷砖的形状可能有()
A.正三角形、正方形、正六边形
B.正三角形、正方形、正五边形
C.正方形、正五边形
D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形
分析:这是个密铺问题,要使几个正多边形在顶点处能够铺满,则这几个正多边形的内角之和应等于360°,由于正五边形的每个内角为108°,用三块拼出来的角之和为324°,用四块拼出来的角之和为432°,可见不论用多少块都不能拼成周角360°,故瓷砖的形状不可能是正五边形,选A.
二、考查密铺的原理
例2用正三角形与正方形作平面镶嵌,则在它的每个顶点周围有3个正三角形和个正方形.
分析:平面镶嵌时,在多边形的每个顶点处的角之和应为360°,由于3个正三角形的三个角之和已有180°,还需要可拼成180°的角,而正方形的每个内角为90°,因此还需要2个正方形.
三、考查拆与拼的互逆思维
例3用边长为1的正方形纸板,制成一副七巧板(如图①),将它拼成“小天鹅”图案(如图②),其中阴影部分的面积是()
分析:直接从“小天鹅”入手较难,注意到它来自图①的七巧板,其阴影部分恰好是七巧板中的梯形ABCD,易知梯形ABCD的面积为3/8,故选A.
四、考查由密铺探索图形的性质
例4图③是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案,则这个图案中的等腰梯形的底角(指锐角)是度.
分析:密铺就是镶嵌,多边形的镶嵌是指几个多边在某一点拼合在一起时,这些多边形既不重叠,又
不留缝隙.从三个等腰三角形的底角(钝角)恰好拼成一个圆周角可知等腰梯形的底角(钝角)是120°,所以另外一个底角(锐角)是60°.
五、考查动手操作能力
例5已知现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块,试用这些纸片(每种至少用一次)在下面的虚线方框中拼成一个矩形(每两个纸片之间既不重叠,也无缝隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使拼出的矩形面积为2a2+5ab+2b2,并标出此矩形的长和宽.
分析:要确保矩形的面积为2a2+5ab+2b2,显然需要a×a的正方形2块,b×b的正方形2块,a×b的矩形5块,通过动手操作可知拼出的矩形如下图,其中长为a+2b,宽为2a+b,此图验证了等式(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
初编辑/徐柏楠