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摘 要：线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段，在日常的经济活动中有着广泛的应用。我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。二元一次方程组在经济活动的预算，审计中有着广泛的运用，能够解决很多我们需要你解决的问题。所谓反问题，是指已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。在本文中，我们通过与线性方程组的反问题结合工程预算中的一些现象加以说明，了解其在工程预算活动中的应用。
关键词：线性方程组；求解反问题；在工程预算中的应用
线性方程组是指在方程中，所有的未知数都是一次的方程组，在解决问题所列出的方程组中，未知数的数目可能不止一个，但式子中出现的所有未知量必须都是一次的，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。线性方程组在代数中，是最简单但是也是最重要的一类方程组，线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段，许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成线性方程组，所以线性方程组对于计算数学是极其重要的。
线性方程组在日常经济活动中的应用及其广泛主要运用在工程预算和会计审计的工作当中。
工程预算这项工作是必须要用到线性方程组的，工程在预算中，假设出成本的值，在成本值的基础上预算原材料的用量，利用线性方程的计算方法，计算出需要的原料的大约数量，根据计算所得的数字进行备料施工，能够大大节约施工周期的准备时间，缩短施工时间，节约成本让利润有限的最大化。
所谓线性方程组中的反问题，是相对于对应线性方程组的“正问题”而言的。比如说，我们先知道有一个需要列线性方程组解的正面问题是一个矩阵的向量乘法问题，假定为：已知矩阵A和x，要求出矩阵b，使得b=A*x。这是比较容易求出b的。但是，在有一些情况下，应用中会要求你求出与之相似的反向问题。比如上文中的式子对应的反面问题就是求解反向线性方程组了，即：已知矩阵A和矩阵b，求一个x，使得b=A*x。这样的问题是一种反问题的形式。
相应地，在线性代数中，特征值问题也可以产生反问题，比如我们先是已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。
工程预算中，建筑安装，设备购置费，并参与该项目的唯一时间因素，作为一个静态投资等支出的建设成本的一部分，涉及的因素非常的多，如价格，汇率，利率等的部分，全部为动态投资的有可能遇上的变化。为了估计全部投资，不留缺口，不仅要准确计算静态投资，同时也考虑到动态投资部分以及流动性的估计，这种估计以充分反映项目结构的成本，提供为项目决策提供可靠的依据。投资估算方法通常用在静态投资估算指标，根据不同的估计投资指标，预计单位工程投资。投资估算指标的形式较多，如：元/平方米，元/立方米元/千瓦等等。根据这些估计的指标，由所需的面积，体积，容积（量）来计算等等，我们可以估算出相应的工程成本，排水工程投资，照明，采暖工程，供配电工程等工程单位。这就需要用到线性方程组的反问题来推演，根据给出的一系列已知条件，推演出静态投资和动态投资所需的资本金，为投资企业置备资金提前做好准备。
在此基础上可以预估成本并且计算一个投资项目所需要的储备金。用这种方法，应该注意，指标和所适用的标准和条件之间是不同的具体项目，应该部分转化和调整；另一方面要注意的是，使用的固定目标应与实际工程单位特性紧密结合，以便正确地反映其设计参数，应用它们并不是盲目简单地套用一个单元的索引。应当指出的是，这里提到的静态投资有一定的定时，推定所述投资充分考虑其使用的时间的影响。动态投资包括价格变动可能增加的投资额，建设期利息和固定资产投资的投资方向调节税三部分，如果是国外的项目应计算汇率的影响。应当指出的是需要评估动态投资计划，应根据资金使用金额为基础的基准年计算各种可变因素，而不是在投资的静态基础上计算编制静态投资。对于价格的变化可能会增加，估计差异的应急投资金额，根据国家的具体规定或执行的主管部门。为了确保每个阶段的投资比例的精确估计，要对价格平均变化率进行准确预测，做好动态分析，同时使流动性预期。在这些活动中需要用到的是线性方程的正向计算，此外，应考虑到资金和稳定性的来源，做好各种风险分析和防范措施。确定和工程项目的成本设计阶段的质量控制，不仅决定了项目的艺术美感，而且也决定了工程造价的高低。实践表明，以确保安全和可靠的基础上，适当的提高设计标准和使用条件，并减少潜在的成本，对作用非常大，通常为5%-10%，有的高达10%-20%。因此，为了降低工程造价，好的设计应该先放一放。在设计阶段，工程造价积极主动的，积极的控制是至关重要的。在计算这些成本的时候需要用到的是线性方程组的反向计算。
而采用线性方程组的计算方式，工程预算中的明显作用有以下几点：第一，促进企业内部经济核算和专业化分包。内部施工总承包企业有很多专业的机构，既可以为分支机构和独立的评估，也可以对个别项目对方评估，相互独立，互不统属。第二，便于结算工程。项目建设周期较长，资金流量大，一般在批量结算工程批次通过实际完成。使用量价分离，可以最大限度地减少时间对项目的直接成本和间接成本的影响。第三，促进国际交流。当GB招标，数量和价格一般都是用分离的方法，即承包工程量清单报价的业主，由单价并根据工程结算的顺利完成量的实际建设成本计算，包括承包商。但就目前而言，由于没有统一的规则计量使用量价分离工程需要的人工，材料，机械消耗的精确计算，还需要收集相应的实际价格，因而工作量，复杂的计算在一些公司很难使用。结束语：线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段。线性方程组是指在方程中，所有的未知数都是一次的方程组，方程组中的未知数可能不止一个，但所有出现的未知量必须都是一次的，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。所谓反问题，是指已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。或者是在已知b和x的情况下，需要人为构造一个矩阵A，使其具有某种特殊的性质，比如该矩阵是对称正定矩阵，并且可以满足：b=A*x。在本文中，我们通过与线性方程组的反问题相关的两组例题，了解了每道例题的解题方法，以及该问题中涉及到的对于线性方程组反问题的应用，还有一些相关的定理和推论的证明以及应用。
（作者单位：沈阳师范大学）
参考文献：
[1] 利用矩阵方程研究两类线性方程反问题-张宝善，蒋永泉-《Journal of Mathematical Research with Applications》-1997；
[2] 论非齐次线性方程组的又一类反问题-刘建国-《葛洲坝水电工程学院学报》-1996；
[3] 一类线性方程反问题的显式通解及其应用-张君敏-《河南师范大学学报：自然科学版》-2000；
关键词：线性方程组；求解反问题；在工程预算中的应用
线性方程组是指在方程中，所有的未知数都是一次的方程组，在解决问题所列出的方程组中，未知数的数目可能不止一个，但式子中出现的所有未知量必须都是一次的，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。线性方程组在代数中，是最简单但是也是最重要的一类方程组，线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段，许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成线性方程组，所以线性方程组对于计算数学是极其重要的。
线性方程组在日常经济活动中的应用及其广泛主要运用在工程预算和会计审计的工作当中。
工程预算这项工作是必须要用到线性方程组的，工程在预算中，假设出成本的值，在成本值的基础上预算原材料的用量，利用线性方程的计算方法，计算出需要的原料的大约数量，根据计算所得的数字进行备料施工，能够大大节约施工周期的准备时间，缩短施工时间，节约成本让利润有限的最大化。
所谓线性方程组中的反问题，是相对于对应线性方程组的“正问题”而言的。比如说，我们先知道有一个需要列线性方程组解的正面问题是一个矩阵的向量乘法问题，假定为：已知矩阵A和x，要求出矩阵b，使得b=A*x。这是比较容易求出b的。但是，在有一些情况下，应用中会要求你求出与之相似的反向问题。比如上文中的式子对应的反面问题就是求解反向线性方程组了，即：已知矩阵A和矩阵b，求一个x，使得b=A*x。这样的问题是一种反问题的形式。
相应地，在线性代数中，特征值问题也可以产生反问题，比如我们先是已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。
工程预算中，建筑安装，设备购置费，并参与该项目的唯一时间因素，作为一个静态投资等支出的建设成本的一部分，涉及的因素非常的多，如价格，汇率，利率等的部分，全部为动态投资的有可能遇上的变化。为了估计全部投资，不留缺口，不仅要准确计算静态投资，同时也考虑到动态投资部分以及流动性的估计，这种估计以充分反映项目结构的成本，提供为项目决策提供可靠的依据。投资估算方法通常用在静态投资估算指标，根据不同的估计投资指标，预计单位工程投资。投资估算指标的形式较多，如：元/平方米，元/立方米元/千瓦等等。根据这些估计的指标，由所需的面积，体积，容积（量）来计算等等，我们可以估算出相应的工程成本，排水工程投资，照明，采暖工程，供配电工程等工程单位。这就需要用到线性方程组的反问题来推演，根据给出的一系列已知条件，推演出静态投资和动态投资所需的资本金，为投资企业置备资金提前做好准备。
在此基础上可以预估成本并且计算一个投资项目所需要的储备金。用这种方法，应该注意，指标和所适用的标准和条件之间是不同的具体项目，应该部分转化和调整；另一方面要注意的是，使用的固定目标应与实际工程单位特性紧密结合，以便正确地反映其设计参数，应用它们并不是盲目简单地套用一个单元的索引。应当指出的是，这里提到的静态投资有一定的定时，推定所述投资充分考虑其使用的时间的影响。动态投资包括价格变动可能增加的投资额，建设期利息和固定资产投资的投资方向调节税三部分，如果是国外的项目应计算汇率的影响。应当指出的是需要评估动态投资计划，应根据资金使用金额为基础的基准年计算各种可变因素，而不是在投资的静态基础上计算编制静态投资。对于价格的变化可能会增加，估计差异的应急投资金额，根据国家的具体规定或执行的主管部门。为了确保每个阶段的投资比例的精确估计，要对价格平均变化率进行准确预测，做好动态分析，同时使流动性预期。在这些活动中需要用到的是线性方程的正向计算，此外，应考虑到资金和稳定性的来源，做好各种风险分析和防范措施。确定和工程项目的成本设计阶段的质量控制，不仅决定了项目的艺术美感，而且也决定了工程造价的高低。实践表明，以确保安全和可靠的基础上，适当的提高设计标准和使用条件，并减少潜在的成本，对作用非常大，通常为5%-10%，有的高达10%-20%。因此，为了降低工程造价，好的设计应该先放一放。在设计阶段，工程造价积极主动的，积极的控制是至关重要的。在计算这些成本的时候需要用到的是线性方程组的反向计算。
而采用线性方程组的计算方式，工程预算中的明显作用有以下几点：第一，促进企业内部经济核算和专业化分包。内部施工总承包企业有很多专业的机构，既可以为分支机构和独立的评估，也可以对个别项目对方评估，相互独立，互不统属。第二，便于结算工程。项目建设周期较长，资金流量大，一般在批量结算工程批次通过实际完成。使用量价分离，可以最大限度地减少时间对项目的直接成本和间接成本的影响。第三，促进国际交流。当GB招标，数量和价格一般都是用分离的方法，即承包工程量清单报价的业主，由单价并根据工程结算的顺利完成量的实际建设成本计算，包括承包商。但就目前而言，由于没有统一的规则计量使用量价分离工程需要的人工，材料，机械消耗的精确计算，还需要收集相应的实际价格，因而工作量，复杂的计算在一些公司很难使用。结束语：线性方程组是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段。线性方程组是指在方程中，所有的未知数都是一次的方程组，方程组中的未知数可能不止一个，但所有出现的未知量必须都是一次的，即方程的最高次数是一次，比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的线性方程组了。所谓反问题，是指已知有一组复数，之后要求构造一个矩阵A，使其具有某种性质，并且求得的矩阵A的特征值也恰好是我们之前知道的那组复数。或者是在已知b和x的情况下，需要人为构造一个矩阵A，使其具有某种特殊的性质，比如该矩阵是对称正定矩阵，并且可以满足：b=A*x。在本文中，我们通过与线性方程组的反问题相关的两组例题，了解了每道例题的解题方法，以及该问题中涉及到的对于线性方程组反问题的应用，还有一些相关的定理和推论的证明以及应用。
（作者单位：沈阳师范大学）
参考文献：
[1] 利用矩阵方程研究两类线性方程反问题-张宝善，蒋永泉-《Journal of Mathematical Research with Applications》-1997；
[2] 论非齐次线性方程组的又一类反问题-刘建国-《葛洲坝水电工程学院学报》-1996；
[3] 一类线性方程反问题的显式通解及其应用-张君敏-《河南师范大学学报：自然科学版》-2000；