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HPM视角下的教学案例编写,既是HPM领域未来的研究重点,也是数学教学研究的重要组成部分。正弦定理是人教A 版必修5第1章第1节内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切关系,与判定三角形的全等也有密切关系,在日常生活和工业生产中也有解三角形的问题。因此,下面以HPM 视角下正弦定理的设计和实施为例,阐述HPM 视角下数学教学的设计方法,帮助学生理解数学和数学活动的本质,创造学生的学习动机。
教学目标
知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。
情感态度价值观:在HPM视域下,使学生体验知识的形成过程,培养学生合情推理、探索数学规律的数学思想能力。
教学过程
導入
在初中,我们已经能够借助于勾股定理、正弦和余弦的定义解决有关直角三角形的一些测量问题。但是在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题。我们知道,在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边角关系准确的量化表示呢?这就是今天我们要学习的正弦定理。
新课讲解
早在公元2世纪,正弦定理已为古希腊天文学家托勒密所知。中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al-Biruni,973~1048)也知道该定理。(Smith,1925,630)但是,最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁(Nasir-Eddin,1201~1274)。
英国数学家哈里斯(J.Harris,1667~1719)最早采用了直角三角形法。(Harris,1706,31-33)如图1,在中,AD是BC边上的高,利用直角三角形边角关系有:
从上面的讨论和探究得到以下定理:
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asin A=bsin B=csin C。
正弦定理可以变形为:
1. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;2. a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;3. sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R等形式,以解决不同的三角形问题。
问题:结合之前学过的知识,还有没有其他的方法证明正弦定理呢?
辅助直径法
19世纪,有人开始不再拘泥于上述的证法而采用了辅助直径法,如Nixon(1892)。
如图2所示,为底边上的高,
过作直径,连和,易证,于是有。
但,
故得。
小结
1.正弦定理的内容;2.正弦定理的证明方法;3.正弦定理解决的两类问题:(a)已知两角一边;(b)已知两边和其中一边的对角。
结语
本节课将数学史融入课堂教学,再现英国哈里斯证明正弦定理的过程,让学生经历了正弦定理的发生、发展过程,使正弦定理的生成符合学生的认知规律,并激发学生的学习动机。感受数学来源于生活,数学就在身边,拉近了学生与古代数学家的距离。通过充分挖掘正弦定理的育人价值,促进了数学学科“立德树人”目标的有效达成。
基金项目:黑龙江省学位与研究生教育教学改革研究项目(项目编号:JGXM_HLJ_2016095);佳木斯大学校长创新基金项目(项目编号:rwsk2017-35);佳木斯市教育科学规划重点课题“HPM视域下中学数学教学案例设计与实践研究”(项目编号:JZ1317002)
教学目标
知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。
情感态度价值观:在HPM视域下,使学生体验知识的形成过程,培养学生合情推理、探索数学规律的数学思想能力。
教学过程
導入
在初中,我们已经能够借助于勾股定理、正弦和余弦的定义解决有关直角三角形的一些测量问题。但是在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题。我们知道,在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边角关系准确的量化表示呢?这就是今天我们要学习的正弦定理。
新课讲解
早在公元2世纪,正弦定理已为古希腊天文学家托勒密所知。中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al-Biruni,973~1048)也知道该定理。(Smith,1925,630)但是,最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁(Nasir-Eddin,1201~1274)。
英国数学家哈里斯(J.Harris,1667~1719)最早采用了直角三角形法。(Harris,1706,31-33)如图1,在中,AD是BC边上的高,利用直角三角形边角关系有:
从上面的讨论和探究得到以下定理:
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asin A=bsin B=csin C。
正弦定理可以变形为:
1. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;2. a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;3. sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R等形式,以解决不同的三角形问题。
问题:结合之前学过的知识,还有没有其他的方法证明正弦定理呢?
辅助直径法
19世纪,有人开始不再拘泥于上述的证法而采用了辅助直径法,如Nixon(1892)。
如图2所示,为底边上的高,
过作直径,连和,易证,于是有。
但,
故得。
小结
1.正弦定理的内容;2.正弦定理的证明方法;3.正弦定理解决的两类问题:(a)已知两角一边;(b)已知两边和其中一边的对角。
结语
本节课将数学史融入课堂教学,再现英国哈里斯证明正弦定理的过程,让学生经历了正弦定理的发生、发展过程,使正弦定理的生成符合学生的认知规律,并激发学生的学习动机。感受数学来源于生活,数学就在身边,拉近了学生与古代数学家的距离。通过充分挖掘正弦定理的育人价值,促进了数学学科“立德树人”目标的有效达成。
基金项目:黑龙江省学位与研究生教育教学改革研究项目(项目编号:JGXM_HLJ_2016095);佳木斯大学校长创新基金项目(项目编号:rwsk2017-35);佳木斯市教育科学规划重点课题“HPM视域下中学数学教学案例设计与实践研究”(项目编号:JZ1317002)