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【摘要】“立体几何”是高中学生较难理解的内容之一，究其原因，主要是学生缺乏空间想象能力和逻辑思维能力导致空间概念淡薄.笔者认为要培养学生的空间想象能力，除了用实物和模型进行教学外，更重要的还要从遵循学生的认知规律上入手.笔者就结合“直线与平面垂直”这节课谈谈认知规律在教学中的应用.
【关键词】认知；垂直；概念教学；思想方法
教育心理学认为，从学生的认知特点和心理特点上来看，中学生的认知规律有以下四条：1.学生的知识活动是通过主体活动构建的，而认知活动是与感情活动、意志活动及个性心理倾向相互促进、协同发展；2.学生的认知活动总是遵循从具体到抽象、再到具体的顺序，螺旋式上升；3.学生自身的认知结构是继续学习活动的出发点与归宿；4.学生的认知发展是稳定性与可变性、阶段性与持续性，量变与质变的辩证统一.要想让学生学好数学，尤其是立体几何这一部分，就应该从学生的认知规律出发，以学生已有知识为基础，以启发学生思维为核心，引导学生从已知开始去探索未知的知识，进而建立知识体系.
一、创设贴近生活情境 直观形象地引入概念
（一）创设情境，引入新课
在前面我们已经学过直线与平面的位置关系：①直线在平面上；②直线与平面平行；③直线与平面相交.我们已经研究过直线在平面上和直线与平面平行，今天我们来学习直线与平面相交.
师：大家想想看生活中有哪些直线与平面相交的例子？
生：旗杆与地面，门柱与地面，圆锥的轴与底面，比萨斜塔……（PPT展示）
师：（适当补充）直线与平面相交有没有哪种位置关系比较特殊？大家现在利用手中的笔和桌面比画一下.
生：（学生利用手中的笔和桌面操作感知）垂直.
师：刚才的例子中旗杆与地面，门柱与地面都是垂直的，今天我们就来研究直线与平面垂直.
（二）感知实例，归纳概念
师：大家回忆一下直线与平面平行的思路，现在我们要研究直线与平面垂直，那么我们要研究哪些内容？
生：（师生达成共识）定义—判定—性质—应用.
师：空间中两直线垂直我们是如何研究的？（启发学生用“降维”和“平面化”的思想来思考直线与平面垂直的问题.将研究直线与平面垂直问题转化为直线与平面内直线的位置关系）.
师：（引导学生回顾圆锥的形成过程，旋转轴所在直线SO与底面圆所在的平面α内经过点O的直线都是垂直的，引导学生根据异面直线所成角的概念得出轴所在直线与底面内的任意一条直线都垂直）.现在我们来给直线与平面垂直下个定义？
生：（学生给出定义，老师给出严格的定义及相关概念）如果直线l与平面α内的任意一条（所有）直线都垂直，则直线l与平面α垂直.
图像语言（在画图时，把直线画成与横边垂直能体现出“线面垂直”的直观效果，在画法中也体现了“线线垂直”）
符号语言m是平面α内的任意一条直线l⊥ml⊥α.
（三）辨析讨论，深化概念
思考：①定义中的“任意一条直线”能改为“无数条直线”吗？由此可知定义中的关键词有哪些？
生：不能，反例：
②一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直吗？
生：垂直.
师：由此可知定义具有双向性，线线垂直可以得到线面垂直，而线面垂直也可以得到线线垂直.
二、以问题为出发点，引导学生动手操作主动探究
我们学习了直线与平面垂直的定义.根据定义，要说明一条直线与平面内的“任意一条”直线垂直.操作起来好像比较困难，能不能再少一点？一条？两条？三条？……
结合下列实例：（1）长方体的侧棱垂直于底面；
（2）跨栏图片和支架图片.
借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备.
播放动画，动手实验，引导学生观察把课本竖直放在水平桌面上时书脊所在直线与桌面位置关系，观察放开手后的现象以及打开书本后书脊所在直线与每页纸面与桌面的交线之间的关系.
师：去掉几页这种垂直性变吗？若要保持这种垂直性，至少要保留几页？
生：保留一页肯定是不可以的，至少要保留两页.
由学生归纳得到：当一条直线垂直于平面内两条相交直线我们就可以得到这條直线和这个平面是垂直的.
师：这就是我们要学习的直线与平面垂直的判定定理，你能不能用图形来表示一下这个判定定理.
生：（学生画中可能会出现两种情况：一是与平面重直的直线经过两条相交直线的交点，另一种情况是不经过交点.）
师：比较这两种画法，有什么区别？哪种画法更具备一般性.
生：不经过交点的更具有代表性，可经过平移解决.
师：在解题时，我们更多的是利用符号语言，请同学们来提炼一下符号语言：
生：l⊥ml⊥nm∩n=Amαnαl⊥α.
师：五个条件得到一个结论，条件缺一不可.这个判定定理依旧是由线线垂直推得线面垂直.定义里是任意一条直线，判定定理是两条相交直线，看来“线不在多，贵在相交”.
三、利用对比 加深对概念定理的理解
例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
师：这是一个用自然语言叙述的命题，如何表达更能有利于我们去思考呢？
生：（画出图像并翻译成符号语言）.已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
师：现在我们要证明线面垂直，我们可以采用什么方法？请同学们动手做一下？ （接下来让学生练习，有针对性地选两种方法：一种是用定义证明，另一种是用判定定理证明.请两名同学上黑板演示，再请两名同学加以点评.）
师：归纳总结证明线面垂直有两种方法：一种是用定义证明，另一种是用判定定理证明.
（一）类比联想 发现性质
师：如果两条直线垂直于同一个平面，你会有什么结论？
生：这两条直线平行.
师：你能证明这个结论吗？也就是把例1的条件a∥b和结论a⊥b交换一下位置，即已知a⊥α，b⊥α，求证a∥b.
生：让学生大胆尝试，在尝试中提高学生的思维能力.
师：要证明平行，我们常用的方法是借助“内错角、同位角、同旁内角”等等，但这些方法只适合在一个平面内，这两条直线共面吗？你能证明吗？
师：看来这个问题的最大难度在于无法说明这两条直线共面，我们不妨用反证法来尝试证明（着重分析证明的思路，体会正难则反的思想）.
生：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
师：由线面垂直推得线线平行，我们把这个命题称为线面垂直的性质定理.
四、以学生已有经验 引导其自主反思总结
以上就是我们本节课所学的内容，通过这节课的学习，大家有什么收获呢？
（一）知识内容
1.直线与平面垂直的定义.（线线垂直→线面垂直）
2.直线与平面垂直的判定定理.（线线垂直→线面垂直）
3.直线与平面垂直的性质定理.（线面垂直→线线平行）
（二）思想
1.（把线面关系转化为线线关系中蕴含的）转化思想.
2.（要研究一般的线面相交，先研究特殊的线线相交中蕴含的）从特殊到一般的思想.
3.（正面证明不方便，用反证法证明蕴含的）正难则反的思想.
（三）规范化要求
1.三种语言之间的转化.
2.证明的规范化要求.
五、回顾与反思
（一）概念和定理教学的策略思考
费赖登塔尔说过：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的”.数学概念是数学的逻辑起点，是学生的认知基础，是进行数学思维的核心，在数学学习和教学中具有重要的地位.概念和定理教学绝对不是结论的简单告知，而应该是加强概念的引入，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.新课标提倡数学教学应当注意创设合理生活情景，使数学学习更贴近学生，使学生易于接受，在数学课堂上的学习中，精心创设问题情景，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，充分尊重学生的认知规律.在本节课的设计中，请学生来自己举出生活中的情景如：旗杆与地面，门柱与地面，圆锥的轴与底面.学生不仅有充分的直观感知活动，而且还有合理推理、提高逻辑思维的机会，学生对概念本质的把握自然就更深刻了.继而，通过动手操作、观察分析、自主探究、问题辨析等活动，使学生切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程，学生从自己的动手活动中展开思维，也能体验学习数学的兴趣.在教师的启发下积极思考并提出问题、解决问题，使学生的智慧能得到开发，提高数学课堂教学的有效性.
（二）注重渗透数学思想的教学
数学思想方法是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中，经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识.日本数学家米山国藏曾经指出数学思维方法的巨大价值：“学生所學到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘记了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思维方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用.”可见数学思想方法的重要性.尊重学生的认知规律，重视数学思想方法的教学.例如在这节课里回顾“线面平行”的位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题.”然后利用圆锥的形成过程—轴和底面是垂直的，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义.
【参考文献】
[1]李士锜.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2000.
[2]朱广墚.在练习中渗透数学思想方法的策略[J].教育导刊，2011（12）：70-73.
[3]王金才.数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识[J].数学通报，2011（11）：12-14.
【关键词】认知；垂直；概念教学；思想方法
教育心理学认为，从学生的认知特点和心理特点上来看，中学生的认知规律有以下四条：1.学生的知识活动是通过主体活动构建的，而认知活动是与感情活动、意志活动及个性心理倾向相互促进、协同发展；2.学生的认知活动总是遵循从具体到抽象、再到具体的顺序，螺旋式上升；3.学生自身的认知结构是继续学习活动的出发点与归宿；4.学生的认知发展是稳定性与可变性、阶段性与持续性，量变与质变的辩证统一.要想让学生学好数学，尤其是立体几何这一部分，就应该从学生的认知规律出发，以学生已有知识为基础，以启发学生思维为核心，引导学生从已知开始去探索未知的知识，进而建立知识体系.
一、创设贴近生活情境 直观形象地引入概念
（一）创设情境，引入新课
在前面我们已经学过直线与平面的位置关系：①直线在平面上；②直线与平面平行；③直线与平面相交.我们已经研究过直线在平面上和直线与平面平行，今天我们来学习直线与平面相交.
师：大家想想看生活中有哪些直线与平面相交的例子？
生：旗杆与地面，门柱与地面，圆锥的轴与底面，比萨斜塔……（PPT展示）
师：（适当补充）直线与平面相交有没有哪种位置关系比较特殊？大家现在利用手中的笔和桌面比画一下.
生：（学生利用手中的笔和桌面操作感知）垂直.
师：刚才的例子中旗杆与地面，门柱与地面都是垂直的，今天我们就来研究直线与平面垂直.
（二）感知实例，归纳概念
师：大家回忆一下直线与平面平行的思路，现在我们要研究直线与平面垂直，那么我们要研究哪些内容？
生：（师生达成共识）定义—判定—性质—应用.
师：空间中两直线垂直我们是如何研究的？（启发学生用“降维”和“平面化”的思想来思考直线与平面垂直的问题.将研究直线与平面垂直问题转化为直线与平面内直线的位置关系）.
师：（引导学生回顾圆锥的形成过程，旋转轴所在直线SO与底面圆所在的平面α内经过点O的直线都是垂直的，引导学生根据异面直线所成角的概念得出轴所在直线与底面内的任意一条直线都垂直）.现在我们来给直线与平面垂直下个定义？
生：（学生给出定义，老师给出严格的定义及相关概念）如果直线l与平面α内的任意一条（所有）直线都垂直，则直线l与平面α垂直.
图像语言（在画图时，把直线画成与横边垂直能体现出“线面垂直”的直观效果，在画法中也体现了“线线垂直”）
符号语言m是平面α内的任意一条直线l⊥ml⊥α.
（三）辨析讨论，深化概念
思考：①定义中的“任意一条直线”能改为“无数条直线”吗？由此可知定义中的关键词有哪些？
生：不能，反例：
②一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直吗？
生：垂直.
师：由此可知定义具有双向性，线线垂直可以得到线面垂直，而线面垂直也可以得到线线垂直.
二、以问题为出发点，引导学生动手操作主动探究
我们学习了直线与平面垂直的定义.根据定义，要说明一条直线与平面内的“任意一条”直线垂直.操作起来好像比较困难，能不能再少一点？一条？两条？三条？……
结合下列实例：（1）长方体的侧棱垂直于底面；
（2）跨栏图片和支架图片.
借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备.
播放动画，动手实验，引导学生观察把课本竖直放在水平桌面上时书脊所在直线与桌面位置关系，观察放开手后的现象以及打开书本后书脊所在直线与每页纸面与桌面的交线之间的关系.
师：去掉几页这种垂直性变吗？若要保持这种垂直性，至少要保留几页？
生：保留一页肯定是不可以的，至少要保留两页.
由学生归纳得到：当一条直线垂直于平面内两条相交直线我们就可以得到这條直线和这个平面是垂直的.
师：这就是我们要学习的直线与平面垂直的判定定理，你能不能用图形来表示一下这个判定定理.
生：（学生画中可能会出现两种情况：一是与平面重直的直线经过两条相交直线的交点，另一种情况是不经过交点.）
师：比较这两种画法，有什么区别？哪种画法更具备一般性.
生：不经过交点的更具有代表性，可经过平移解决.
师：在解题时，我们更多的是利用符号语言，请同学们来提炼一下符号语言：
生：l⊥ml⊥nm∩n=Amαnαl⊥α.
师：五个条件得到一个结论，条件缺一不可.这个判定定理依旧是由线线垂直推得线面垂直.定义里是任意一条直线，判定定理是两条相交直线，看来“线不在多，贵在相交”.
三、利用对比 加深对概念定理的理解
例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
师：这是一个用自然语言叙述的命题，如何表达更能有利于我们去思考呢？
生：（画出图像并翻译成符号语言）.已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
师：现在我们要证明线面垂直，我们可以采用什么方法？请同学们动手做一下？ （接下来让学生练习，有针对性地选两种方法：一种是用定义证明，另一种是用判定定理证明.请两名同学上黑板演示，再请两名同学加以点评.）
师：归纳总结证明线面垂直有两种方法：一种是用定义证明，另一种是用判定定理证明.
（一）类比联想 发现性质
师：如果两条直线垂直于同一个平面，你会有什么结论？
生：这两条直线平行.
师：你能证明这个结论吗？也就是把例1的条件a∥b和结论a⊥b交换一下位置，即已知a⊥α，b⊥α，求证a∥b.
生：让学生大胆尝试，在尝试中提高学生的思维能力.
师：要证明平行，我们常用的方法是借助“内错角、同位角、同旁内角”等等，但这些方法只适合在一个平面内，这两条直线共面吗？你能证明吗？
师：看来这个问题的最大难度在于无法说明这两条直线共面，我们不妨用反证法来尝试证明（着重分析证明的思路，体会正难则反的思想）.
生：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
师：由线面垂直推得线线平行，我们把这个命题称为线面垂直的性质定理.
四、以学生已有经验 引导其自主反思总结
以上就是我们本节课所学的内容，通过这节课的学习，大家有什么收获呢？
（一）知识内容
1.直线与平面垂直的定义.（线线垂直→线面垂直）
2.直线与平面垂直的判定定理.（线线垂直→线面垂直）
3.直线与平面垂直的性质定理.（线面垂直→线线平行）
（二）思想
1.（把线面关系转化为线线关系中蕴含的）转化思想.
2.（要研究一般的线面相交，先研究特殊的线线相交中蕴含的）从特殊到一般的思想.
3.（正面证明不方便，用反证法证明蕴含的）正难则反的思想.
（三）规范化要求
1.三种语言之间的转化.
2.证明的规范化要求.
五、回顾与反思
（一）概念和定理教学的策略思考
费赖登塔尔说过：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的”.数学概念是数学的逻辑起点，是学生的认知基础，是进行数学思维的核心，在数学学习和教学中具有重要的地位.概念和定理教学绝对不是结论的简单告知，而应该是加强概念的引入，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.新课标提倡数学教学应当注意创设合理生活情景，使数学学习更贴近学生，使学生易于接受，在数学课堂上的学习中，精心创设问题情景，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，充分尊重学生的认知规律.在本节课的设计中，请学生来自己举出生活中的情景如：旗杆与地面，门柱与地面，圆锥的轴与底面.学生不仅有充分的直观感知活动，而且还有合理推理、提高逻辑思维的机会，学生对概念本质的把握自然就更深刻了.继而，通过动手操作、观察分析、自主探究、问题辨析等活动，使学生切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程，学生从自己的动手活动中展开思维，也能体验学习数学的兴趣.在教师的启发下积极思考并提出问题、解决问题，使学生的智慧能得到开发，提高数学课堂教学的有效性.
（二）注重渗透数学思想的教学
数学思想方法是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中，经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识.日本数学家米山国藏曾经指出数学思维方法的巨大价值：“学生所學到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘记了，然而那些铭刻于头脑中的数学精神和数学思维方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用.”可见数学思想方法的重要性.尊重学生的认知规律，重视数学思想方法的教学.例如在这节课里回顾“线面平行”的位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题.”然后利用圆锥的形成过程—轴和底面是垂直的，引导学生感知直线与平面垂直的特征，并让学生自己下定义.
【参考文献】
[1]李士锜.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2000.
[2]朱广墚.在练习中渗透数学思想方法的策略[J].教育导刊，2011（12）：70-73.
[3]王金才.数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识[J].数学通报，2011（11）：12-14.