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立体几何是高中数学的一个基本分支，也是历年高考必考内容.立体几何中的计算考查形式多样，主要考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力以及运用有关知识和方法分析和解决问题的能力.其中空间想象能力的高考考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.
以体积、表面积、距离等运算为主设计试题，解答题中还会涉及“以算代证”法的应用，或以立体几何为载体的应用题.
本文对立体几何中的计算常见题型做了一些归纳整理，以期对同学们复习有所帮助.
题型一 空间几何体的表面积、体积
例1 如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.
解析：思路一 直接求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积.
思路二 将四棱锥C1B1EDF分割为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF求解.由于两个三棱锥B1C1EF与DC1EF体积相等，求出三棱锥B1C1EF体积即可.注意到通过变更顶点和底面转化成利于求三棱锥B1C1EF底面积和高，故可考虑转化为三棱锥EFB1C1，本题答案为16a3.
题型二 侧面展开图及其应用
例2 如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行.吃到上底面上C点处的食物.当圆柱的高h=12厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行一圈时最短路程是多少？（结果用π表示）
解析：可借助实物比划确定展开图，本题答案为64+π2.
变式：同样的条件下“爬行两圈呢？三圈呢？”
题型三 转化思想在立体几何计算中的应用
例3 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
解析：注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求.
还可用等体积法求解：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC体积相等，而三棱锥PACB体积易求，三棱锥APBC的底面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求.
解：（1）略；
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF=22，故点A到平面PBC的距离等于2.
（方法二）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC的体积V=13S△ABC·PD=13.
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD=DC=1，所以PC=PD2+DC2=2.
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积S△PBC=22.
由VAPBC=VPABC，13S△PBC·h=V=13，得h=2，
故点A到平面PBC的距离等于2.
题型四 “以算代证”在立体几何证明题中的应用
例4 如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
解析：第（2）问的处理运用“以算代证”的方法.
证明：（1）略；
（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE=12PA=3，
∵E，F为AC，AB中点，∴EF=12BC=4，
∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF，
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC，
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.
题型五 类比思维在立体几何计算中的应用
例5 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 .
解析：在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶22.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶23.
题型六 以立体几何为载体的应用题
例6 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析：本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.本题属中等题.
解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）.由题设知
a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0 （1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800（0 所以当x=15时，S取得最大值.
（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），
由V′=0得x=0（舍），或x=20.
当00，V递增；当20 所以当x=20时，V取得极大值，此时ha=12，
由题设的实际意义可知x=20时，V取得最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.
我们在解立体几何计算题时常常采用以下两种方法1.根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，其本质是将符号语言或文字语言转化为图形语言；2.掌握棱柱、棱锥各个部分几何特征，旋转体则要抓住“旋转”特性，结合几何体的结构特征与题设进行分析，寻找图形间的联系建立其中量的关系.我们在解立体几何计算题时要注意以下几个问题：1.审题不注意区分题设中是“表面积”还是“侧面积”亦或是“体积”，与此类似审题要看准题设是“棱柱”还是“棱锥”，“四棱柱”还是“三棱锥”等，凭解题经验主观臆断，出现低级失误；2.注意“分解与组合”的思想方法的运用，如研究不规则几何体，可以通过分割或补形将其转化为常见几何体解决；3.将空间问题转化为平面问题，如几何体表面上的最短距离问题，通过几何体的展开图转化为平面上两点之间线段距离最短解决；4.学会运用“算两次”的思想方法，如利用等积法求距离，通过变更顶点和底面转化成利于求几何体底面积和高.
（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）
以体积、表面积、距离等运算为主设计试题，解答题中还会涉及“以算代证”法的应用，或以立体几何为载体的应用题.
本文对立体几何中的计算常见题型做了一些归纳整理，以期对同学们复习有所帮助.
题型一 空间几何体的表面积、体积
例1 如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.
解析：思路一 直接求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积.
思路二 将四棱锥C1B1EDF分割为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF求解.由于两个三棱锥B1C1EF与DC1EF体积相等，求出三棱锥B1C1EF体积即可.注意到通过变更顶点和底面转化成利于求三棱锥B1C1EF底面积和高，故可考虑转化为三棱锥EFB1C1，本题答案为16a3.
题型二 侧面展开图及其应用
例2 如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行.吃到上底面上C点处的食物.当圆柱的高h=12厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行一圈时最短路程是多少？（结果用π表示）
解析：可借助实物比划确定展开图，本题答案为64+π2.
变式：同样的条件下“爬行两圈呢？三圈呢？”
题型三 转化思想在立体几何计算中的应用
例3 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离.
解析：注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求.
还可用等体积法求解：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC体积相等，而三棱锥PACB体积易求，三棱锥APBC的底面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求.
解：（1）略；
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF=22，故点A到平面PBC的距离等于2.
（方法二）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC的体积V=13S△ABC·PD=13.
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD=DC=1，所以PC=PD2+DC2=2.
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积S△PBC=22.
由VAPBC=VPABC，13S△PBC·h=V=13，得h=2，
故点A到平面PBC的距离等于2.
题型四 “以算代证”在立体几何证明题中的应用
例4 如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
解析：第（2）问的处理运用“以算代证”的方法.
证明：（1）略；
（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE=12PA=3，
∵E，F为AC，AB中点，∴EF=12BC=4，
∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF，
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC，
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.
题型五 类比思维在立体几何计算中的应用
例5 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 .
解析：在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶22.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶23.
题型六 以立体几何为载体的应用题
例6 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析：本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.本题属中等题.
解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）.由题设知
a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0
（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），
由V′=0得x=0（舍），或x=20.
当0
由题设的实际意义可知x=20时，V取得最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.
我们在解立体几何计算题时常常采用以下两种方法1.根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，其本质是将符号语言或文字语言转化为图形语言；2.掌握棱柱、棱锥各个部分几何特征，旋转体则要抓住“旋转”特性，结合几何体的结构特征与题设进行分析，寻找图形间的联系建立其中量的关系.我们在解立体几何计算题时要注意以下几个问题：1.审题不注意区分题设中是“表面积”还是“侧面积”亦或是“体积”，与此类似审题要看准题设是“棱柱”还是“棱锥”，“四棱柱”还是“三棱锥”等，凭解题经验主观臆断，出现低级失误；2.注意“分解与组合”的思想方法的运用，如研究不规则几何体，可以通过分割或补形将其转化为常见几何体解决；3.将空间问题转化为平面问题，如几何体表面上的最短距离问题，通过几何体的展开图转化为平面上两点之间线段距离最短解决；4.学会运用“算两次”的思想方法，如利用等积法求距离，通过变更顶点和底面转化成利于求几何体底面积和高.
（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）