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我们在考试中遇到的选择题是在选项中选出正确答案，解题时可以利用选项进行反馈和验证;解答题则要有完整的解题格式，步步有据且分步给分;而填空题不要求给出解题过程，是将结论直接写出的“求解题”，它避免了选择题中选项的暗示或干扰，在解答过程中比解答题有着更大的自由度.因此，在解填空题时，我们一定要选择最佳的解题方法，提高解题的速度和准确性.下面举例说明五种方法：直接法、特例法、数形结合法、等价转换法、逆向思考法.
一、直接法
从题设条件出发，选用有关定义、定理、公式等直接进行求解而得出结论，但在求解过程中应注意准确计算，讲究技巧.直接法是解填空题最常用的方法.
例1 如图1，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.
图1
解答：当小亮第一次回到出发地点A时，他所走的路线正好可以构成一个多边形———每条边都是10米，每个外角都是30°（则每个内角都是150°），这样可以利用外角和计算出多边形有=12条边，得到他一共走了10×12=120米.
例2 x2+y2=m ①x-y=2 ②有两组相同的实数解， 则m的取值范围是 .
解析：x2+y2=m ①x-y=2 ②由②得x=y+2 ③
将③代入①得（y+2）2+y2-m=0，
即2y2+4y+ 4-m=0，
∵原方程组有两组相同的实数解，
∴△=42-4×2×（4-m）=0，
解m=2，故答案为2.
二、特例法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，如已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角、特殊模型等）进行处理，得出探求的结论，从而大大地简化推理、论证的过程.
例3 已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为 .
解析：此题已知条件中就是△ABC中，∠A=60°，说明只要满足此条件的三角形都一定能够成立.故不妨令△ABC为等边三角形，得出结论∠BOC=120°.
例4 无论m为任何实数，二次函数y=x2 +（2-m） x +m的图像都经过的点是 _________.
解析：因为m可以为任何实数，所以不妨设m=2，则y=x2+2，
再设m=0，则y=x2+2x，
解方程组y=x2+2y=x2+2x，解得x=1y=3，
所以二次函数y=x2+（2-m）x+m的图像都经过的点是（1，3）.
三、数形结合法
由于解答填空题不必写出论证过程，可画出辅助图象、方程的曲线或表格等，借助图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论.对于一些有几何背景的填空题，若能从数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的答案.
例5 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图2所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_______.
图2
解：四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，可设它们的边长分别为a、b、c、d，由直角三角形全等可得a2+b2=1b2+c2=2c2+d2=3
解得a2+b2+c2+d2=4，则S1+S2+S3+S4=4.
例6 点A（-2，a），B（-1，b），C（3，c）在双曲线y=（k<0）上，则a、b、c的大小关系为 _______ （用“<”号将a、b、c连接起来）.
解析：本题利用数形结合法，先画出y=（k<0）图象，如图3，结合图形很容易得出a、b、c大小关系，即c 图3
四、等价转化法
从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的未知问题等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的已知问题.亦即将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.
例7 如图4，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为_________.
图4
图5
解析：如图5，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB.
又∵MF∥AD，
∴∠FMN=∠BAD=∠DAC =∠MFN，
∴FN=MNAB
∴FC=FN+NC=AB+AC=9.
例8 若α，β是方程x2-3x-5=0的两根，求α2+2β2-3β的值是______.
解析：这里的α2+2β2-3β不是关于根的对称式，不宜直接用韦达定理求解，但利用方程根的概念，将原式转化为两根的对称式，就可以使问题迎刃而解.
∵α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，
∴α2=3α+5，β2=3β+5，
∴α2+2β2-3β=3α+5+2（3β+5）-3β
=3（α+β）+15=24.
五、逆向思考法
逆向思维是一种发散性思维，这是一种从已有思路的反方向考虑问题的思维方法.有些问题我们无法正面直接解决或解决有困难时，可以另辟蹊径，从不同的方向进行思考，灵活变化，逆向考虑来解决.
例9 甲、乙、丙三个箱子内共有小球384个，先从甲箱中取出若干个球放入乙、丙箱内，所放个数分别为乙、丙箱内原有的个数，继而由乙箱中取出若干个球放进甲、丙两箱内，最后由丙箱中取出若干个球放入甲、乙两箱内，放法同前，结果三箱内的小球个数恰好相等.问甲、乙、丙各箱内原有小球分别为_____个.
解析：直接入手需要设元，列方程（组），但列方程（组）时却无从下手.从最后三箱的小球相等入手，易知最后每箱各有小球384÷3=128（个）;由后到先三次调动过程各箱中的球数容易列出下表：
所以，由表知甲、乙、丙三箱原有小球分别为208个、112个、64个.
例10 化简（2a+3b）2-（2a-3b）2=_______.
解析：直接运用完全平方公式计算比较麻烦，若逆用平方差公式可简化计算.
（2a+3b）2-（2a-3b）2=[（2a+3b）+（2a-3b）][（2a+3b）-（2a-3b）]=4a×6b=24ab.
所以原式=24ab.
二次函数与一元二次方程强化练习参考答案
一、直接法
从题设条件出发，选用有关定义、定理、公式等直接进行求解而得出结论，但在求解过程中应注意准确计算，讲究技巧.直接法是解填空题最常用的方法.
例1 如图1，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.
图1
解答：当小亮第一次回到出发地点A时，他所走的路线正好可以构成一个多边形———每条边都是10米，每个外角都是30°（则每个内角都是150°），这样可以利用外角和计算出多边形有=12条边，得到他一共走了10×12=120米.
例2 x2+y2=m ①x-y=2 ②有两组相同的实数解， 则m的取值范围是 .
解析：x2+y2=m ①x-y=2 ②由②得x=y+2 ③
将③代入①得（y+2）2+y2-m=0，
即2y2+4y+ 4-m=0，
∵原方程组有两组相同的实数解，
∴△=42-4×2×（4-m）=0，
解m=2，故答案为2.
二、特例法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，如已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角、特殊模型等）进行处理，得出探求的结论，从而大大地简化推理、论证的过程.
例3 已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为 .
解析：此题已知条件中就是△ABC中，∠A=60°，说明只要满足此条件的三角形都一定能够成立.故不妨令△ABC为等边三角形，得出结论∠BOC=120°.
例4 无论m为任何实数，二次函数y=x2 +（2-m） x +m的图像都经过的点是 _________.
解析：因为m可以为任何实数，所以不妨设m=2，则y=x2+2，
再设m=0，则y=x2+2x，
解方程组y=x2+2y=x2+2x，解得x=1y=3，
所以二次函数y=x2+（2-m）x+m的图像都经过的点是（1，3）.
三、数形结合法
由于解答填空题不必写出论证过程，可画出辅助图象、方程的曲线或表格等，借助图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论.对于一些有几何背景的填空题，若能从数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的答案.
例5 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图2所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_______.
图2
解：四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，可设它们的边长分别为a、b、c、d，由直角三角形全等可得a2+b2=1b2+c2=2c2+d2=3
解得a2+b2+c2+d2=4，则S1+S2+S3+S4=4.
例6 点A（-2，a），B（-1，b），C（3，c）在双曲线y=（k<0）上，则a、b、c的大小关系为 _______ （用“<”号将a、b、c连接起来）.
解析：本题利用数形结合法，先画出y=（k<0）图象，如图3，结合图形很容易得出a、b、c大小关系，即c
四、等价转化法
从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的未知问题等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的已知问题.亦即将所给问题等价转化为另一种容易理解的语言或易求解的形式.
例7 如图4，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为_________.
图4
图5
解析：如图5，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB.
又∵MF∥AD，
∴∠FMN=∠BAD=∠DAC =∠MFN，
∴FN=MNAB
∴FC=FN+NC=AB+AC=9.
例8 若α，β是方程x2-3x-5=0的两根，求α2+2β2-3β的值是______.
解析：这里的α2+2β2-3β不是关于根的对称式，不宜直接用韦达定理求解，但利用方程根的概念，将原式转化为两根的对称式，就可以使问题迎刃而解.
∵α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，
∴α2=3α+5，β2=3β+5，
∴α2+2β2-3β=3α+5+2（3β+5）-3β
=3（α+β）+15=24.
五、逆向思考法
逆向思维是一种发散性思维，这是一种从已有思路的反方向考虑问题的思维方法.有些问题我们无法正面直接解决或解决有困难时，可以另辟蹊径，从不同的方向进行思考，灵活变化，逆向考虑来解决.
例9 甲、乙、丙三个箱子内共有小球384个，先从甲箱中取出若干个球放入乙、丙箱内，所放个数分别为乙、丙箱内原有的个数，继而由乙箱中取出若干个球放进甲、丙两箱内，最后由丙箱中取出若干个球放入甲、乙两箱内，放法同前，结果三箱内的小球个数恰好相等.问甲、乙、丙各箱内原有小球分别为_____个.
解析：直接入手需要设元，列方程（组），但列方程（组）时却无从下手.从最后三箱的小球相等入手，易知最后每箱各有小球384÷3=128（个）;由后到先三次调动过程各箱中的球数容易列出下表：
所以，由表知甲、乙、丙三箱原有小球分别为208个、112个、64个.
例10 化简（2a+3b）2-（2a-3b）2=_______.
解析：直接运用完全平方公式计算比较麻烦，若逆用平方差公式可简化计算.
（2a+3b）2-（2a-3b）2=[（2a+3b）+（2a-3b）][（2a+3b）-（2a-3b）]=4a×6b=24ab.
所以原式=24ab.
二次函数与一元二次方程强化练习参考答案