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连续多次的试卷分析结果显示：学生解概念题的能力明显弱于解常规算式题的能力. 考察教学实践,问题的症结恐怕就在于概念教学中对概念思维的培养、训练的忽视. 我们应看到：概念是最基本的数学思维形式,数学中的命题都是由概念构成的,而推理和证明又是由命题构成的,因此,数学概念的教学,是整个数学教学的一个重要环节. 初中阶段,概念较多,从目前看来,绝大部分学生对于课本中的概念、定义、定理能够正确地背诵、默写出来,但能够正确地理解、掌握、应用却很难做到. 情境、体验、反思、运用,是初中数学概念教学的四个关键词.
1 情境——联系生活实际
数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的,有些是由数学自身的发展与需要而产生的,究其根本,数学概念源于生活实际,抽象是数学概念的根本特征. 初中学生对抽象概念的理解掌握还不能脱离生动、具体的实例作为认知的支柱.
例如：在《平面直角坐标系》概念的教学中,情境引入：“如今索马里海盗对国际航运和海上安全构成严重威胁. 一艘途经索马里海域的轮船怎样来确定自己的位置？”学生一般都能回答是用经度和纬度来确定它们的位置. 接着,引导同学们思考交流、相互补充或用举反例的方法体验用一对数确定一个物体位置的合理性. 然后从学生熟悉的家庭住址、电影院座位、教室中位置等等实际问题出发,让学生获得充分的感性认识,将实际问题数学化,充分感受和体验有序实数对与点的位置的关系,得到平面直角坐标系的概念.
在具体的情境中进行概念教学,学生情绪高涨、思维活跃,积极参与,不仅可以体验知识的发生与发展过程,而且可以更好的体验数学内容中的情感,使原来枯燥的、抽象的数学变得生动形象,促使学生依据情境信息独立思考、自主探究和合作交流.
2 体验——挖掘过程价值
数学概念是数学知识的基本构成单位,也是发展学生数学能力的基础. 从数学概念作为结果知识的角度来看,概念教学的目的无非就是指使学生掌握概念的内涵和外延. 但是,数学概念具有过程性和对象的双重性,既是逻辑分析的对象,又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程. 概念的引入、建立和巩固都离不开学生的参与,并需要持续一段时间,这正是学生对知识体验、内化、升华所必不可少的过程. 学生个体只有亲自参与,才能深悟某一数学概念的内涵并使其成为数学思维的一个富有生机的原件,学生在体验概念的形成过程中才能真正掌握概念.
传统的数学概念教学通常分为以下几个步骤：1、揭示概念的本质属性,给出定义、名称和符号；2、对概念进行特殊分类,揭示概念的外延；3、巩固概念,利用概念进行简单的识别活动；4、概念的应用与联系,用概念解决问题,并建立所学概念与其他概念间的联系. 这种教学过程被称为是“学生获得概念的最基本方式”,学生可以比较直接地学习概念,节省时间. 但是,仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的.
新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：1、活动阶段；2、探究阶段；3、对象阶段；4、图式阶段. 这四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动. 其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件,通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段中学生对“活动”进行思考,经历思维的内化、概括过程,在头脑中对活动进行描述和反思,抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识得到了概念本质,对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号,使其达到精致化,成为一个思维中的具体的对象,并在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成要经过长期的学习活动进一步完善,起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号,经过学习,建立起与其它概念、规则、图形等的联系,在头脑中形成综合的心理图式.
例如,七年级下学期的《平行线的性质》,为让学生得到“两直线平行,同位角相等”这一基本事实,鼓励学生经历操作,测量、剪下叠合等多种方法进行思考. 为让学生真正做到心服口服,还可以由教师在几何画板上进行现场演示：先做出一条已知直线的平行线,再做它们的截线,用几何画板对同位角进行当场测量,说明结果. 然后再做一条与上面的两条平行线不平行的直线进行同位角的测量,学生就基本能体验、发现并接受这个事实,而后老师继续用反证法进行更深层次的解读. 这样,让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念,符合学生主动建构的教育原理.
3 反思——着重内省建构
建构主义学习观认为：一切知识最终都必须通过主体的建构活动才能得以完成,学习不是被动的接受,不是单纯地复制与同化,它要求学生在活动中进行建构,要求学生对自己的活动过程不断地进行反省、概括和抽象. 反思是建构主义的一个核心特征. 概念教学中,关注学生学习过程的反思,可以促进学生自主学习能力的提高.
3.1 概念相互联系反思
数学是一门系统性、逻辑性很强的学科. 其本身具有非常严密的内在联系,各部分都不是孤立存在的,而是一个严密的整体,每一个概念总是处在与其他概念的一定联系之中. 学生学习新概念之后,可以反思新旧概念的相互联系,体验数学概念之间的关系,并形成概念的体系. 这不仅会有助于概念的清晰把握,而且会更易于理解每一个相关概念,建立起辩证思维的能力.
例如扇形面积公式探究可以反思联系六年级第一学期弧长公式的探究；八年级下学期《分式方程》、《无理方程》新授课,可以类比于实数的分类及代数式的分类,从而在“相互的联系中”更好地理解了“分式方程、无理方程”的定义. 学生在自我尝试、体验发现的过程中,对于部分与整体的理解就有了更深、更好的感悟.
3.2 相似性概念反思
许多不同的概念具有相似性,如数轴与直角坐标系的概念,相似三角形与相似多边形的概念以及“点到直线的距离”与“点到平面的距离”的概念等等. 在学习后一个概念时,适时反思前一个概念,形成具有内在联系的系统性知识结构.
例如“两个图形成轴对称和轴对称图形”这两个概念的教学中,先找出它们的相同点:对折后能够完全重合；再找出它们的不同点:两个图形成轴对称是指两个图形重合,轴对称图形是一个图形的两个部分重合. 这样,对于学生掌握这两个概念可起到很好的作用,学生也容易接受.
3.3 概念变式质疑反思
“变式”是指从不同角度、方面和方式变换事物呈现的形式,以便揭示其本质属性. 例如,在讲解人教版七年级下三角形的高这一概念时,就可运用变式提供给学生各种典型的直观材料,或者不断变换高所呈现的形式,通过不同的形式反映其本质属性. 通过多种形式的变换,三角形各边的高是“从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线”这一本质属性就被正确地揭示出来了,这样能使学生获得的概念更精确.
反思正反变式,把类似的、相关的概念进行比较,分清它们的异同点,并注意适用范围,小心隐含“陷阱”,帮助学生从中反省,以激起对知识更为深刻的正面思考,使获得的概念更加精确、稳定和易于迁移.
4 运用——回归生活联系
概念的形成是一个由个别到一般的过程,而概念的运用是一个由一般到个别的过程,它们是学生掌握概念的两个阶段. 掌握概念是为运用概念服务的,而运用概念又是为了解决生活实际问题.
例如学习完初步统计后,可就本班学生学习或生活情况编一道有关样本平均数、众数、中位数、方差的应用题,通过学生置身于其中的实例激发学生的学习兴趣,把枯燥的概念与生活实际结合起来,学生对概念的理解就更透彻了,而且还认识到了数学的价值,获得了运用知识的能力.
总之,数学概念教学至关重要,它最终目的不仅是使学生掌握概念本身,而且还要努力通过概念的形成、发展和应用的过程,完善学生认知结构,发展学生的思维能力. 教学中概念的运用,应注意由易到难、由浅人深、由单一到综合、分层递进、逐步提高. 只要我们遵循初中生的认知规律,注意概念教学的研究与实践,就不难提高数学的教学质量.
作者简介：成小芳,女,1976年生,山东东营人,一级教师.
1 情境——联系生活实际
数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的,有些是由数学自身的发展与需要而产生的,究其根本,数学概念源于生活实际,抽象是数学概念的根本特征. 初中学生对抽象概念的理解掌握还不能脱离生动、具体的实例作为认知的支柱.
例如：在《平面直角坐标系》概念的教学中,情境引入：“如今索马里海盗对国际航运和海上安全构成严重威胁. 一艘途经索马里海域的轮船怎样来确定自己的位置？”学生一般都能回答是用经度和纬度来确定它们的位置. 接着,引导同学们思考交流、相互补充或用举反例的方法体验用一对数确定一个物体位置的合理性. 然后从学生熟悉的家庭住址、电影院座位、教室中位置等等实际问题出发,让学生获得充分的感性认识,将实际问题数学化,充分感受和体验有序实数对与点的位置的关系,得到平面直角坐标系的概念.
在具体的情境中进行概念教学,学生情绪高涨、思维活跃,积极参与,不仅可以体验知识的发生与发展过程,而且可以更好的体验数学内容中的情感,使原来枯燥的、抽象的数学变得生动形象,促使学生依据情境信息独立思考、自主探究和合作交流.
2 体验——挖掘过程价值
数学概念是数学知识的基本构成单位,也是发展学生数学能力的基础. 从数学概念作为结果知识的角度来看,概念教学的目的无非就是指使学生掌握概念的内涵和外延. 但是,数学概念具有过程性和对象的双重性,既是逻辑分析的对象,又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程. 概念的引入、建立和巩固都离不开学生的参与,并需要持续一段时间,这正是学生对知识体验、内化、升华所必不可少的过程. 学生个体只有亲自参与,才能深悟某一数学概念的内涵并使其成为数学思维的一个富有生机的原件,学生在体验概念的形成过程中才能真正掌握概念.
传统的数学概念教学通常分为以下几个步骤：1、揭示概念的本质属性,给出定义、名称和符号；2、对概念进行特殊分类,揭示概念的外延；3、巩固概念,利用概念进行简单的识别活动；4、概念的应用与联系,用概念解决问题,并建立所学概念与其他概念间的联系. 这种教学过程被称为是“学生获得概念的最基本方式”,学生可以比较直接地学习概念,节省时间. 但是,仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的.
新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：1、活动阶段；2、探究阶段；3、对象阶段；4、图式阶段. 这四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动. 其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件,通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段中学生对“活动”进行思考,经历思维的内化、概括过程,在头脑中对活动进行描述和反思,抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识得到了概念本质,对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号,使其达到精致化,成为一个思维中的具体的对象,并在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成要经过长期的学习活动进一步完善,起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号,经过学习,建立起与其它概念、规则、图形等的联系,在头脑中形成综合的心理图式.
例如,七年级下学期的《平行线的性质》,为让学生得到“两直线平行,同位角相等”这一基本事实,鼓励学生经历操作,测量、剪下叠合等多种方法进行思考. 为让学生真正做到心服口服,还可以由教师在几何画板上进行现场演示：先做出一条已知直线的平行线,再做它们的截线,用几何画板对同位角进行当场测量,说明结果. 然后再做一条与上面的两条平行线不平行的直线进行同位角的测量,学生就基本能体验、发现并接受这个事实,而后老师继续用反证法进行更深层次的解读. 这样,让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念,符合学生主动建构的教育原理.
3 反思——着重内省建构
建构主义学习观认为：一切知识最终都必须通过主体的建构活动才能得以完成,学习不是被动的接受,不是单纯地复制与同化,它要求学生在活动中进行建构,要求学生对自己的活动过程不断地进行反省、概括和抽象. 反思是建构主义的一个核心特征. 概念教学中,关注学生学习过程的反思,可以促进学生自主学习能力的提高.
3.1 概念相互联系反思
数学是一门系统性、逻辑性很强的学科. 其本身具有非常严密的内在联系,各部分都不是孤立存在的,而是一个严密的整体,每一个概念总是处在与其他概念的一定联系之中. 学生学习新概念之后,可以反思新旧概念的相互联系,体验数学概念之间的关系,并形成概念的体系. 这不仅会有助于概念的清晰把握,而且会更易于理解每一个相关概念,建立起辩证思维的能力.
例如扇形面积公式探究可以反思联系六年级第一学期弧长公式的探究；八年级下学期《分式方程》、《无理方程》新授课,可以类比于实数的分类及代数式的分类,从而在“相互的联系中”更好地理解了“分式方程、无理方程”的定义. 学生在自我尝试、体验发现的过程中,对于部分与整体的理解就有了更深、更好的感悟.
3.2 相似性概念反思
许多不同的概念具有相似性,如数轴与直角坐标系的概念,相似三角形与相似多边形的概念以及“点到直线的距离”与“点到平面的距离”的概念等等. 在学习后一个概念时,适时反思前一个概念,形成具有内在联系的系统性知识结构.
例如“两个图形成轴对称和轴对称图形”这两个概念的教学中,先找出它们的相同点:对折后能够完全重合；再找出它们的不同点:两个图形成轴对称是指两个图形重合,轴对称图形是一个图形的两个部分重合. 这样,对于学生掌握这两个概念可起到很好的作用,学生也容易接受.
3.3 概念变式质疑反思
“变式”是指从不同角度、方面和方式变换事物呈现的形式,以便揭示其本质属性. 例如,在讲解人教版七年级下三角形的高这一概念时,就可运用变式提供给学生各种典型的直观材料,或者不断变换高所呈现的形式,通过不同的形式反映其本质属性. 通过多种形式的变换,三角形各边的高是“从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线”这一本质属性就被正确地揭示出来了,这样能使学生获得的概念更精确.
反思正反变式,把类似的、相关的概念进行比较,分清它们的异同点,并注意适用范围,小心隐含“陷阱”,帮助学生从中反省,以激起对知识更为深刻的正面思考,使获得的概念更加精确、稳定和易于迁移.
4 运用——回归生活联系
概念的形成是一个由个别到一般的过程,而概念的运用是一个由一般到个别的过程,它们是学生掌握概念的两个阶段. 掌握概念是为运用概念服务的,而运用概念又是为了解决生活实际问题.
例如学习完初步统计后,可就本班学生学习或生活情况编一道有关样本平均数、众数、中位数、方差的应用题,通过学生置身于其中的实例激发学生的学习兴趣,把枯燥的概念与生活实际结合起来,学生对概念的理解就更透彻了,而且还认识到了数学的价值,获得了运用知识的能力.
总之,数学概念教学至关重要,它最终目的不仅是使学生掌握概念本身,而且还要努力通过概念的形成、发展和应用的过程,完善学生认知结构,发展学生的思维能力. 教学中概念的运用,应注意由易到难、由浅人深、由单一到综合、分层递进、逐步提高. 只要我们遵循初中生的认知规律,注意概念教学的研究与实践,就不难提高数学的教学质量.
作者简介：成小芳,女,1976年生,山东东营人,一级教师.