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【摘 要】 数学思想是人们进行数学活动时所表现出来的数学观念及思维方式，是以显性知识为载体的重要数学基础知识.学生对数学思想的理解和掌握不是教师渗透给的，而是学生在学习知识和应用知识解决数学问题及其他问题的过程自己感悟得到的.学生感悟数学思想的根本途径就是经历知识的形成过程和应用过程
【关键词】 数学思想;渗透;感悟;过程
关于数学思想教学的问题是一个古老的问题，笔者研究发现，在众多著作（文章）中对于数学思想的学习都是用“渗透”表述的.笔者认为，学生对于数学思想的认识、理解是一个自主的感悟过程，不是外部渗透给学生的.
1 深入认识三个关键词
1.1 数学思想
数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[1].学生在初中阶段应学习的数学思想主要有：（1）数形结合思想;（2）分类讨论思想;（3）函数思想;（4）方程思想;（5）转化思想;（6）模型思想;（7）联想、类比思想等
例如，方程思想就是指把所研究问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程，从而达到解决数学问题的一种思维方法[2].这种思想隐含在建立各种具体方程解决实际问题的过程之中
（1）数学思想是数学知识
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出了三条要求，其中的第一条是让学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[3]”.数学思想同数学概念、定理、法则、规律以及描述它们的数学语言一样，都是数学基础知识，是数学核心素养的重要组成部分
方程是“数与代数”方面的重要知识，《课标（2011年版）》对方程（组）的整体要求是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型[3]”.史宁中教授指出“模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想”[4].数学中的很多问题都可以通过建立方程模型解决，这个过程中表现出来的方程思想是重要的数学基础知识
（2）数学思想“隐含”在具体的数学知识之中
“数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”[3]，数学语言、数学概念、数学定理等都是“看得见”的具体知识、显性知识，这些显性知识是数学思想的“载体”、“外壳”、表现形式和使用结果;数学思想是通过具体知识体现出来的.学生脱离了对具体知识的学习或运用是无法认识和理解数学思想的
初中阶段学生学习的方程包括：一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程.对于每种方程的学习都是按照下面的流程进行的（图1）.
实际问题引入方程概念研究方程解法建立方程模型解决实际问题图1
这个流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，方程思想就“隐含”在方程概念的形成过程以及建立方程模型解决实际问题的过程之中，学生对方程思想的体会和理解也是在这个过程之中实现的.
（3）学生对数学思想的理解是一个过程
数学思想不像具体的“显性”知识那样，学过后能一次基本定型.学生对数学思想的认识是一个“螺旋上升”的过程
例如，学生在学习一元一次方程概念时，就能基本理解一元一次方程，但对于方程思想几乎没有印象.随着对一次方程组、分式方程和一元二次方程的学习，学生对方程的认识程度在加深，对方程思想的认识也在逐步提高.
1.2 渗透
渗透最初指的是水分子经半透膜扩散的一种自然现象.发生渗透的条件有二：一是有一层水能透过的膜;二是这层膜的两边有两种不同浓度的溶液.水会从溶液浓度低的一侧向溶液浓度高的一侧移动，这就是正渗透.正渗透是由于水中的离子之间存在着“渗透压”导致的一种自然扩散现象，正渗透是不需要外力就能发生的
反渗透则是克服这种“渗透压”，让水从高浓度一侧的溶液向低浓度溶液移动，反渗透需要克服“渗透压”才能发生，即反渗透是在“外力”作用下进行的
在工作和学习中，常把渗透看成是某种事物或势力逐渐进入其他方面的一个过程.比喻一种思想或势力逐渐向其它方面扩展
数学思想是以具体知识点为“载体”的，当学生学习具体数学知识时，这种知识载体所“承载”的数学思想在教师的反复“要求”“强化”下，被“强制性”的“外加”到学生的知识结构中来，这种认识数学思想的过程，不妨认为是“反渗透”的过程.在这个过程中，学生是被动的“接受者”.笔者认为，对于数学思想的教学，不宜采用“渗透”的方式.根据如下：
“渗透”这个动词，《课标（2011年版）》中只出现过一次，原文是“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中（《课标（2011年版）》P63）”.这句话是在“教材编写建议”中出现的，“强调”的是在教材编写过程中，应根据具体内容及时的“穿插”一些有关数学文化的素材，并不是针对“数学思想”而言的.
1.3 感悟
感悟是指人们对特定事物或经历所产生的感想与体会.感悟的主体是人，在数学教学中，学生对数学思想的学习应该用感悟.这种提法符合数学思想的特性，体现了《课标（2011年版）》的理念和要求：
《课标（2011年版）》中共提及“感悟”25次，其中非常明确的用于数学思想方面的有六次，这六次主要体现在《课标（2011年版）》要求的“教材编写建议”和“教学建议”中：
在教材编写建议中出现一次，即教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟數学思想、积累活动经验（《课标（2011年版）》P64） 在“教学建议”中出现五次，仅仅P46页就出现3次（P43和P44各1次），即：
第四个教学建议的标题是——感悟数学思想，积累数学活动经验
在标题下的具体论述中又两次提到：
第一，要求学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想
第二，针对分类思想的教学过程指出，教学活动中，要使学生通过多次反复的思考和长时间的积累，逐步感悟分类是一种重要的思想
可见，《课标（2011年版）》要求我们在针对数学思想的教学中，应该用“感悟”而不是用“渗透”
学生对方程思想的感悟应当是在学习一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程的过程中逐渐实现的.
2 经历过程是学生感悟数学思想的根本途径
《课标（2011年版）》在“教学建议”中指出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中……学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”[3].这句论述向我们指出了学生感悟数学思想的根本途径就是经历过程，这里的过程指知识的形成过程和应用过程
下面谈谈学生感悟方程思想的两个根本过程.
2.1 建立方程概念的过程
数学概念的建立是一个过程，大致需要经过“感知—分析—概括—表述”四个阶段，首先教师要创设问题情境，引导学生在对客观事物进行思考的基础上形成感性认识，然后给出几个具有这种“特性”的“结构式子”，讓学生进行分析思考，并抽象概括出事物的本质，最后给出规范的数学定义.教学中引导学生完整经历上述四个阶段，学生不仅能理解、掌握数学概念，而且还能感悟到“隐含”在这个数学概念之中的数学思想和方法[5]
案例1 一元一次方程概念的建立过程
图1所示的学习流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，不论对哪种具体方程的学习都需要若干个课时才能完成，第一课时只要能引导学生建立起方程的概念即可
一元一次方程概念的建立，可用下面的问题引导学生去经历“思考”“探索”等活动：
请同学们用火柴棒搭建图2所示的一系列“日”字图形，并回答下面的问题：图2
（1）如果要搭建图2（1）所示的一个“日”字，需要根火柴棒;如果要搭建图2（2）所示两个“日”字，需要根火柴棒
（2）按照这个方法继续搭建下去，在实际操作的基础上，填写下表：
（3）如果用x（x是正整数）表示所搭建“日”字图形的个数，则所需火柴棒的根数是
【关键词】 数学思想;渗透;感悟;过程
关于数学思想教学的问题是一个古老的问题，笔者研究发现，在众多著作（文章）中对于数学思想的学习都是用“渗透”表述的.笔者认为，学生对于数学思想的认识、理解是一个自主的感悟过程，不是外部渗透给学生的.
1 深入认识三个关键词
1.1 数学思想
数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[1].学生在初中阶段应学习的数学思想主要有：（1）数形结合思想;（2）分类讨论思想;（3）函数思想;（4）方程思想;（5）转化思想;（6）模型思想;（7）联想、类比思想等
例如，方程思想就是指把所研究问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程，从而达到解决数学问题的一种思维方法[2].这种思想隐含在建立各种具体方程解决实际问题的过程之中
（1）数学思想是数学知识
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出了三条要求，其中的第一条是让学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[3]”.数学思想同数学概念、定理、法则、规律以及描述它们的数学语言一样，都是数学基础知识，是数学核心素养的重要组成部分
方程是“数与代数”方面的重要知识，《课标（2011年版）》对方程（组）的整体要求是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型[3]”.史宁中教授指出“模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想”[4].数学中的很多问题都可以通过建立方程模型解决，这个过程中表现出来的方程思想是重要的数学基础知识
（2）数学思想“隐含”在具体的数学知识之中
“数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”[3]，数学语言、数学概念、数学定理等都是“看得见”的具体知识、显性知识，这些显性知识是数学思想的“载体”、“外壳”、表现形式和使用结果;数学思想是通过具体知识体现出来的.学生脱离了对具体知识的学习或运用是无法认识和理解数学思想的
初中阶段学生学习的方程包括：一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程.对于每种方程的学习都是按照下面的流程进行的（图1）.
实际问题引入方程概念研究方程解法建立方程模型解决实际问题图1
这个流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，方程思想就“隐含”在方程概念的形成过程以及建立方程模型解决实际问题的过程之中，学生对方程思想的体会和理解也是在这个过程之中实现的.
（3）学生对数学思想的理解是一个过程
数学思想不像具体的“显性”知识那样，学过后能一次基本定型.学生对数学思想的认识是一个“螺旋上升”的过程
例如，学生在学习一元一次方程概念时，就能基本理解一元一次方程，但对于方程思想几乎没有印象.随着对一次方程组、分式方程和一元二次方程的学习，学生对方程的认识程度在加深，对方程思想的认识也在逐步提高.
1.2 渗透
渗透最初指的是水分子经半透膜扩散的一种自然现象.发生渗透的条件有二：一是有一层水能透过的膜;二是这层膜的两边有两种不同浓度的溶液.水会从溶液浓度低的一侧向溶液浓度高的一侧移动，这就是正渗透.正渗透是由于水中的离子之间存在着“渗透压”导致的一种自然扩散现象，正渗透是不需要外力就能发生的
反渗透则是克服这种“渗透压”，让水从高浓度一侧的溶液向低浓度溶液移动，反渗透需要克服“渗透压”才能发生，即反渗透是在“外力”作用下进行的
在工作和学习中，常把渗透看成是某种事物或势力逐渐进入其他方面的一个过程.比喻一种思想或势力逐渐向其它方面扩展
数学思想是以具体知识点为“载体”的，当学生学习具体数学知识时，这种知识载体所“承载”的数学思想在教师的反复“要求”“强化”下，被“强制性”的“外加”到学生的知识结构中来，这种认识数学思想的过程，不妨认为是“反渗透”的过程.在这个过程中，学生是被动的“接受者”.笔者认为，对于数学思想的教学，不宜采用“渗透”的方式.根据如下：
“渗透”这个动词，《课标（2011年版）》中只出现过一次，原文是“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中（《课标（2011年版）》P63）”.这句话是在“教材编写建议”中出现的，“强调”的是在教材编写过程中，应根据具体内容及时的“穿插”一些有关数学文化的素材，并不是针对“数学思想”而言的.
1.3 感悟
感悟是指人们对特定事物或经历所产生的感想与体会.感悟的主体是人，在数学教学中，学生对数学思想的学习应该用感悟.这种提法符合数学思想的特性，体现了《课标（2011年版）》的理念和要求：
《课标（2011年版）》中共提及“感悟”25次，其中非常明确的用于数学思想方面的有六次，这六次主要体现在《课标（2011年版）》要求的“教材编写建议”和“教学建议”中：
在教材编写建议中出现一次，即教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟數学思想、积累活动经验（《课标（2011年版）》P64） 在“教学建议”中出现五次，仅仅P46页就出现3次（P43和P44各1次），即：
第四个教学建议的标题是——感悟数学思想，积累数学活动经验
在标题下的具体论述中又两次提到：
第一，要求学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想
第二，针对分类思想的教学过程指出，教学活动中，要使学生通过多次反复的思考和长时间的积累，逐步感悟分类是一种重要的思想
可见，《课标（2011年版）》要求我们在针对数学思想的教学中，应该用“感悟”而不是用“渗透”
学生对方程思想的感悟应当是在学习一元一次方程、一次方程组、分式方程和一元二次方程的过程中逐渐实现的.
2 经历过程是学生感悟数学思想的根本途径
《课标（2011年版）》在“教学建议”中指出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中……学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”[3].这句论述向我们指出了学生感悟数学思想的根本途径就是经历过程，这里的过程指知识的形成过程和应用过程
下面谈谈学生感悟方程思想的两个根本过程.
2.1 建立方程概念的过程
数学概念的建立是一个过程，大致需要经过“感知—分析—概括—表述”四个阶段，首先教师要创设问题情境，引导学生在对客观事物进行思考的基础上形成感性认识，然后给出几个具有这种“特性”的“结构式子”，讓学生进行分析思考，并抽象概括出事物的本质，最后给出规范的数学定义.教学中引导学生完整经历上述四个阶段，学生不仅能理解、掌握数学概念，而且还能感悟到“隐含”在这个数学概念之中的数学思想和方法[5]
案例1 一元一次方程概念的建立过程
图1所示的学习流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，不论对哪种具体方程的学习都需要若干个课时才能完成，第一课时只要能引导学生建立起方程的概念即可
一元一次方程概念的建立，可用下面的问题引导学生去经历“思考”“探索”等活动：
请同学们用火柴棒搭建图2所示的一系列“日”字图形，并回答下面的问题：图2
（1）如果要搭建图2（1）所示的一个“日”字，需要根火柴棒;如果要搭建图2（2）所示两个“日”字，需要根火柴棒
（2）按照这个方法继续搭建下去，在实际操作的基础上，填写下表：
（3）如果用x（x是正整数）表示所搭建“日”字图形的个数，则所需火柴棒的根数是