论文部分内容阅读
[摘 要] 对MPCK呈现前后《二项式定理》的教学设计进行了对比分析，通过精心挖掘MK、深刻剖析CK、巧妙更新PK，修订和改进了教学思路和教学设计模式，凸显了MPCK理论对有效课堂教学的指导意义.
[关键词] MPCK理论;有效教学;二项式定理;杨辉三角
MPCK理論源于20世纪80年代美国学者舒尔曼（Lee S. Shulman，1938-）提出的教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge，简记为PCK），这一概念旨在探讨教师应如何把学科知识和教育知识有机融合，从而以最高效简洁且易于被学生理解和接受的方式呈现具体学科知识[1]，其中针对数学学科的研究即为MPCK. 自2005年起，国内的数学教育工作者展开了多角度、全方位的MPCK研究. 董涛剖析了基于PCK结构框架的数学课例研究教学途径[2];程德胜等从宏观层面概述了国内学者研究MPCK理论的不同视角，并剖析了其未来需特别关注的热点方向[3];李渺等明确了MPCK各成分的含义，并深入挖掘了话题MPCK和课堂MPCK的具体表现形式[4];史宁中等提出了数学教师的专业发展包含教师自我知识的拓展和实践型教师教育两大模块[5];杨建宁、陆明明等基于MPCK视角，对高中数学的概念课和定理课进行了实际案例分析[6][7];李渺则通过对经典教学案例的比较和评析，深入挖掘了优秀教师课堂MPCK的特征及表征形式[8]. 上述实践和理论从不同方向充实和完善着MPCK理论，但总体来看，基于MPCK的有效课堂教学研究相对较少，笔者以《二项式定理》为课例，结合自身的专业成长经历，实证剖析MPCK理论对有效课堂教学的指导作用.
1. 《二项式定理》的原教学设计
环节一：提出问题、启动思维. 首先请学生回顾乘法公式（a+b）2，（a+b）3及结论的推证方法，由此引出问题：利用上述思路，你能求出（a+b）4，（a+b）10的展开式吗？有学生根据（a+b）4=（a+b）2×（a+b）2，尝试给出了其展开式，但明显感受到运算的复杂和烦琐，故一致认为应另辟蹊径探究（a+b）10，可选择何种视角解读这类展开式呢？问题清晰且导向明确.
环节二：探究问题、发散思维. 面对问题，教师适时点拨，若与上一节刚学习的计数原理相联系，能否构建计数模型解释（a+b）2，（a+b）3等公式？此时，学生极其熟悉的摸球模型呼之欲出，具体分析过程不再赘述. 当学生基于组合思想和分类加法、分步乘法原理的层面认知了（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4等具体展开式后，师生共同探究：欲求解（a+b）10，甚至更一般的（a+b）n，核心问题是挖掘其结构特征，引导学生通过观察、类比、猜想进而提炼得到求二项展开式关键在于明确其项数、清楚项的排列规律和项的构成，后者又可以细分为项的形式、项的系数和项的次数等.
环节三：剖析问题、拓展思维. 经过层层剖析上述建构于学生最近发展区的问题串，二项式定理的归纳总结可谓水到渠成，诠释定理时可密切结合数学思想文化，如通常把展开式的第k+1项Tk+1=Can-kbk而不是第k项Tk=Can-k+1bk-1记为其通项，体现了数学的简洁美;借助组合数公式C=C理解二项式系数C，C，…，C的和谐美;由字母a，b的降幂和升幂排列规律体会其对称美，等等.
环节四：延伸问题、深化思维. 由（a-b）n，（1+2x）n，2-等变式训练引领学生理解二项式定理的应用实质：对a，b赋值或赋表达式，并据此强调“二项式系数”与“二项展开式系数”的根本区别.
环节五：回顾问题、升华思维. 在总结阶段，除了概述二项式定理及关键点，可对二项式系数进行引申回顾：把C，C，…，C从n=1开始依次排列，即是学生已熟知的杨辉三角，请学生课后搜集杨辉三角的历史知识，并基于此角度理解和推证二项式定理.
2. 基于MPCK视角的实证分析
对于环节一，从教师的MK来看，情境设置非常贴近学生的数学知识基础，根据多项式相乘推证（a+b）2，（a+b）3的展开式，这一过程学生极其熟练. 从CK来看，教师显然已关注到学生的思维和固有知识，但高估了其计算能力和操作能力，学生根本不可能在短时间内快速而准确地找出（a+b）10，导致教师创设的问题只能起到“此路不通、请走彼路”的警示和辅助提醒作用. 从PK来看，教师注重问题引领，遵循从简单到复杂、从已知到未知的认知规律，引导学生进行由（a+b）2，（a+b）3到（a+b）4，（a+b）10的知识迁移，温故知新，教法自然. 但对于为什么要进行这样的数学活动，或者说学习二项式定理的缘由，教师没有任何解释和铺垫，只是“蛮横地诱导”学生必须学习，学生也是“自然而然”地不得已而为之. 经过长期缺少宏观思想和整体意识的类似“训练”，师生最易囿于“只见树木、不见森林”的狭隘局面.
为继续探寻上一环节中的“彼路何在”，师生回顾计数原理和摸球模型，从MK来看，二项式定理位于加法原理和乘法原理之后，利用计数原理剖析二项式定理可谓知识的顺应和同化. 但从CK来看，总给人以“绑架”学生思维的嫌疑，在教师步步紧逼的问题圈套下，学生“情不自禁”地陷入定理分析中. 从PK来看，由特殊的（a+b）4过渡到一般的（a+b）n时，设计了一系列坡度小、起点低、衔接自然、层次分明的问题串，以实现对定理形式上的归纳概括，这是本节课展现教师基本功的关键点之一，此处无可非议.
对于环节三和环节四，从MK来看，注重突出二项式定理的本质属性，强调展开式的相关概念，定理建构及应用适当、娴熟. 从教师的CK来看，能关注到学生对定理内涵与外延的理解，设计变式问题情境引领学生解析概念，使其直接或间接地感受知识的产生、发展和演变过程，与新课标“重在经历和体验”的理念相吻合. 从PK来看，教学中有机渗透了数学文化，结合具体知识特点使学生体会数学语言的简捷和严谨，有助于其形成正确的数学观. 但教学几乎未涉及数学史上与二项式定理相关的知识典故，数学史的德育功能薄弱、欠缺. 正是为了弥补这一缺憾，教师在小结的最后抛出了杨辉三角作为课堂延伸和课后巩固，从MK的角度来看，杨辉三角与二项式定理的结构和形式密切相关，二者的有机联系正是数学知识连贯性的体现. 但从CK的角度来看，学生课下对两个结论的比较分析可能会局限于表面特征，更多聚焦于直觉理解和形式操作. 从PK来看，尽管设计了开放性、导向性问题，但缺失了牛顿推广的二项式定理，而且此處蕴涵的逻辑演绎、情感态度，经由教师的课堂点拨和渲染，其效果要远远优于学生的独自品味.
基于上述分析，笔者重新审视了教学内容的深度和广度，以及学生的认知风格和潜在的思维障碍等学情态势，从MK，CK和PK角度再具体设置三维教学目标，尤其是过程与方法目标和情感、态度、价值观目标，并以此为指导改进和修订了原教学设计.
3. MPCK融入后的《二项式定理》教学设计
环节一：创设情境、引入问题. 以学习格言“积跬步以致千里，积怠惰以致深渊”拉开课堂序幕，用数学语言描述，即比较（1+0.01）365和（1-0.01）365，或者（1+0.02）365和（1-0.02）365的差异！当不允许借助计算器等工具时，需探究（a+b）n的展开式，旨在明确授课主题，强调知识之源，揭示学习二项式定理的意义和必要性，充分关注到学生的学习动机.
环节二：探究体验、分析问题. 根据已学习过的推理论证方法，学生容易想到从n=1，2，3开始探寻（a+b）365，师生共同回忆并按如图1所示排列相关公式，图1可启发学生联想到杨辉三角，结合杨辉三角与（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3尝试猜想（a+b）4，需重点分析展开式项的构成，如项的形式、项的次数，尤其是基于（a+b）3的中间两项，结合杨辉三角及（a+b）4的中间三个系数4，6，4，引导学生大胆猜测对应的中间三项依次为4a3b，6a2b2， 4ab3，结论是否正确呢？当学生处于高度愤悱之时，无论是利用组合思想，还是引入摸球模型去探究展开式的构成，都可谓一气呵成、顺理成章.
环节三：归纳建构、解决问题. 类比（a+b）4，自然过渡到（a+b）n，并在图1的基础上生成二项式展开图，如图2所示. 结合图2定义（a+b）n的通项，重点剖析其展开式项的结构形式及次数，强调二项式系数，展现数学的对称、排列的整齐和规律等数学美！借助杨辉三角、牛顿和欧拉发现使用二项式定理的史料宣扬中西方古代数学思想及其差异，激发学生的民族自豪感，培养其数学学习的自信心！
环节四：知识运用、提升问题. 对（a+b）n与（a-b）n，（x+2y）n与（2y+x）n的展开式进行对比分析，通过分别求其具体的第几项，如第四项，以及的常数项等，明确二项式定理的本质含义及表征，凸显“二项式系数”与“项的系数”之区别. 同时，列举（1+1）n和（1-1）n等特例证明组合数相关公式.
环节五：回顾问题、梳理总结. 回首课堂的初始问题情境，欲计算（1+0.01）365和（1-0.01）365，由于数值较大，可近似保留展开式的前3项或前4项，如（1+0.01）365≈1+365×0.01+×0.01≈11.29. 类似地，（1-0.01）365≈3.99. 跬步和怠惰的差距可见一斑！一方面，鼓励学生课后继续计算比较（1+0.02）365和（1-0.02）365，并简要说明1.01365≈37.8，0.99365≈0.03和1.02365≈1377.4，0.98365≈0.0006，以真实且惊人的数据告诫学生积少成多、贵在积累和坚持的学习道理. 同时，引申问题应用，上述思路正是估计ab或近似计算高次方根的理论依据，二项式定理的重要性不言而喻，此时再梳理定理的相关知识不仅轻松而且高效！
MPCK理论强调以学生已有的生活经验为起点，更多关注概念的实际背景与“再创造”过程，引导学生尽可能地经历把实际问题抽象为数学模型的实践历程，过程教学观可称之为MPCK的灵魂. MPCK理念下的有效课堂教学，不仅要让学生深刻理解和经历感受数学基础知识，而且要凸显数学知识内部的有机联系，更注重培养学生的数学素养. 对于本课例，从二项式定理的发展史而言，其雏形是11世纪贾宪《释锁算书》中的“开方作法本原图”，因为贾宪只给出了最高为六次幂的二项式系数表，并且其著作早已失传，故目前广为人知的是杨辉三角，由此亦可知，杨辉三角和二项式定理的纵横迁移、内外联系不容忽视. 教师只有深刻挖掘相关知识的数学背景，包括其诞生、发展历程，及其思想方法在后续内容中的拓展，在实践生活中的表现等，最大限度地丰富和充实自身的MK，才能准确地选取可切实重现数学知识的问题情境，为实施有效课堂教学储备经典的基础知识. 笔者通过对教师MK的梳理和提升，在重新设计二项式定理的教学时，以计算（1+0.01）365等数值呼应“开高次方”运算，并基于杨辉三角和创新的二项式展开图挖掘定理，高效且生动再现了二项式定理的生成过程.
课堂教学的主体是学生，多角度、全方位地探明学生对数学知识的掌握程度，合理预估其学习过程中的困难和思维定式，是教师CK的研究内容. 教师只有立足于MK，透彻理解CK，才能基于课堂教学目标，灵活选择PK. 本例中根据杨辉三角关于（a+b）4的系数，引领学生经历比较和类推，探究其展开式. 由于为学生搭建的“脚手架”梯度合理、层次分明，故其思维发展由浅入深、层层递进，同时，教师根据学生和知识的不同需求，采取了讲授法、启发式、探究法等多元化PK交叉融合的教学方法，最终逐渐完成了对二项式定理由直观到抽象、由低级到高级的认识和推证，课堂脉络清晰、高效简洁. 最后，教师基于中国古典文化抽象出二项式模型，并首尾呼应，不仅隐含和引申了二项式定理的源与流，而且恰到好处地激发了学生的学习情感，切实体现了有效教学的本质.
参考文献：
[1] Shulman L S.Knowledge and Tea-ching：Foundations of the New Reform[J]. Harvard Educational Review，1987，57（1）：1-21.
[2] 董涛. 基于PCK框架的数学课例研究教学途径与策略[J]. 课程·教材·教法，2017，37（08）：52-56.
[3] 程德胜，武晨，庄国华，等. 数学教学内容知识（MPCK）实证研究综述与启示[J].数学教育学报，2017，26（04）：65-70.
[4] 李渺，宁连华. 数学教学内容知识（MPCK）的构成成分、表现形式及其意义[J]. 数学教育学报，2011，20（02）：10-14.
[5] 王宏，史宁中. 基于教师专业发展视角的数学教学内容知识研究[J]. 东北师大学报（哲学社会科学版），2015（06）：244-248.
[6] 杨建宁. MPCK视角下的高中数学定理教学及案例分析[J]. 数学教学通讯，2017（09）：9-10.
[7] 陆明明. 基于课堂观察的教师MPCK比较研究——以《数系的扩充》同课异构为例[J]. 教育研究与评论：中学教育教学，2016（06）：32-38.
[8] 李渺. 优秀教师课堂MPCK的特点——基于两则教学案例的比较研究[J]. 数学通报，2013（04）：12-16.
[关键词] MPCK理论;有效教学;二项式定理;杨辉三角
MPCK理論源于20世纪80年代美国学者舒尔曼（Lee S. Shulman，1938-）提出的教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge，简记为PCK），这一概念旨在探讨教师应如何把学科知识和教育知识有机融合，从而以最高效简洁且易于被学生理解和接受的方式呈现具体学科知识[1]，其中针对数学学科的研究即为MPCK. 自2005年起，国内的数学教育工作者展开了多角度、全方位的MPCK研究. 董涛剖析了基于PCK结构框架的数学课例研究教学途径[2];程德胜等从宏观层面概述了国内学者研究MPCK理论的不同视角，并剖析了其未来需特别关注的热点方向[3];李渺等明确了MPCK各成分的含义，并深入挖掘了话题MPCK和课堂MPCK的具体表现形式[4];史宁中等提出了数学教师的专业发展包含教师自我知识的拓展和实践型教师教育两大模块[5];杨建宁、陆明明等基于MPCK视角，对高中数学的概念课和定理课进行了实际案例分析[6][7];李渺则通过对经典教学案例的比较和评析，深入挖掘了优秀教师课堂MPCK的特征及表征形式[8]. 上述实践和理论从不同方向充实和完善着MPCK理论，但总体来看，基于MPCK的有效课堂教学研究相对较少，笔者以《二项式定理》为课例，结合自身的专业成长经历，实证剖析MPCK理论对有效课堂教学的指导作用.
1. 《二项式定理》的原教学设计
环节一：提出问题、启动思维. 首先请学生回顾乘法公式（a+b）2，（a+b）3及结论的推证方法，由此引出问题：利用上述思路，你能求出（a+b）4，（a+b）10的展开式吗？有学生根据（a+b）4=（a+b）2×（a+b）2，尝试给出了其展开式，但明显感受到运算的复杂和烦琐，故一致认为应另辟蹊径探究（a+b）10，可选择何种视角解读这类展开式呢？问题清晰且导向明确.
环节二：探究问题、发散思维. 面对问题，教师适时点拨，若与上一节刚学习的计数原理相联系，能否构建计数模型解释（a+b）2，（a+b）3等公式？此时，学生极其熟悉的摸球模型呼之欲出，具体分析过程不再赘述. 当学生基于组合思想和分类加法、分步乘法原理的层面认知了（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4等具体展开式后，师生共同探究：欲求解（a+b）10，甚至更一般的（a+b）n，核心问题是挖掘其结构特征，引导学生通过观察、类比、猜想进而提炼得到求二项展开式关键在于明确其项数、清楚项的排列规律和项的构成，后者又可以细分为项的形式、项的系数和项的次数等.
环节三：剖析问题、拓展思维. 经过层层剖析上述建构于学生最近发展区的问题串，二项式定理的归纳总结可谓水到渠成，诠释定理时可密切结合数学思想文化，如通常把展开式的第k+1项Tk+1=Can-kbk而不是第k项Tk=Can-k+1bk-1记为其通项，体现了数学的简洁美;借助组合数公式C=C理解二项式系数C，C，…，C的和谐美;由字母a，b的降幂和升幂排列规律体会其对称美，等等.
环节四：延伸问题、深化思维. 由（a-b）n，（1+2x）n，2-等变式训练引领学生理解二项式定理的应用实质：对a，b赋值或赋表达式，并据此强调“二项式系数”与“二项展开式系数”的根本区别.
环节五：回顾问题、升华思维. 在总结阶段，除了概述二项式定理及关键点，可对二项式系数进行引申回顾：把C，C，…，C从n=1开始依次排列，即是学生已熟知的杨辉三角，请学生课后搜集杨辉三角的历史知识，并基于此角度理解和推证二项式定理.
2. 基于MPCK视角的实证分析
对于环节一，从教师的MK来看，情境设置非常贴近学生的数学知识基础，根据多项式相乘推证（a+b）2，（a+b）3的展开式，这一过程学生极其熟练. 从CK来看，教师显然已关注到学生的思维和固有知识，但高估了其计算能力和操作能力，学生根本不可能在短时间内快速而准确地找出（a+b）10，导致教师创设的问题只能起到“此路不通、请走彼路”的警示和辅助提醒作用. 从PK来看，教师注重问题引领，遵循从简单到复杂、从已知到未知的认知规律，引导学生进行由（a+b）2，（a+b）3到（a+b）4，（a+b）10的知识迁移，温故知新，教法自然. 但对于为什么要进行这样的数学活动，或者说学习二项式定理的缘由，教师没有任何解释和铺垫，只是“蛮横地诱导”学生必须学习，学生也是“自然而然”地不得已而为之. 经过长期缺少宏观思想和整体意识的类似“训练”，师生最易囿于“只见树木、不见森林”的狭隘局面.
为继续探寻上一环节中的“彼路何在”，师生回顾计数原理和摸球模型，从MK来看，二项式定理位于加法原理和乘法原理之后，利用计数原理剖析二项式定理可谓知识的顺应和同化. 但从CK来看，总给人以“绑架”学生思维的嫌疑，在教师步步紧逼的问题圈套下，学生“情不自禁”地陷入定理分析中. 从PK来看，由特殊的（a+b）4过渡到一般的（a+b）n时，设计了一系列坡度小、起点低、衔接自然、层次分明的问题串，以实现对定理形式上的归纳概括，这是本节课展现教师基本功的关键点之一，此处无可非议.
对于环节三和环节四，从MK来看，注重突出二项式定理的本质属性，强调展开式的相关概念，定理建构及应用适当、娴熟. 从教师的CK来看，能关注到学生对定理内涵与外延的理解，设计变式问题情境引领学生解析概念，使其直接或间接地感受知识的产生、发展和演变过程，与新课标“重在经历和体验”的理念相吻合. 从PK来看，教学中有机渗透了数学文化，结合具体知识特点使学生体会数学语言的简捷和严谨，有助于其形成正确的数学观. 但教学几乎未涉及数学史上与二项式定理相关的知识典故，数学史的德育功能薄弱、欠缺. 正是为了弥补这一缺憾，教师在小结的最后抛出了杨辉三角作为课堂延伸和课后巩固，从MK的角度来看，杨辉三角与二项式定理的结构和形式密切相关，二者的有机联系正是数学知识连贯性的体现. 但从CK的角度来看，学生课下对两个结论的比较分析可能会局限于表面特征，更多聚焦于直觉理解和形式操作. 从PK来看，尽管设计了开放性、导向性问题，但缺失了牛顿推广的二项式定理，而且此處蕴涵的逻辑演绎、情感态度，经由教师的课堂点拨和渲染，其效果要远远优于学生的独自品味.
基于上述分析，笔者重新审视了教学内容的深度和广度，以及学生的认知风格和潜在的思维障碍等学情态势，从MK，CK和PK角度再具体设置三维教学目标，尤其是过程与方法目标和情感、态度、价值观目标，并以此为指导改进和修订了原教学设计.
3. MPCK融入后的《二项式定理》教学设计
环节一：创设情境、引入问题. 以学习格言“积跬步以致千里，积怠惰以致深渊”拉开课堂序幕，用数学语言描述，即比较（1+0.01）365和（1-0.01）365，或者（1+0.02）365和（1-0.02）365的差异！当不允许借助计算器等工具时，需探究（a+b）n的展开式，旨在明确授课主题，强调知识之源，揭示学习二项式定理的意义和必要性，充分关注到学生的学习动机.
环节二：探究体验、分析问题. 根据已学习过的推理论证方法，学生容易想到从n=1，2，3开始探寻（a+b）365，师生共同回忆并按如图1所示排列相关公式，图1可启发学生联想到杨辉三角，结合杨辉三角与（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3尝试猜想（a+b）4，需重点分析展开式项的构成，如项的形式、项的次数，尤其是基于（a+b）3的中间两项，结合杨辉三角及（a+b）4的中间三个系数4，6，4，引导学生大胆猜测对应的中间三项依次为4a3b，6a2b2， 4ab3，结论是否正确呢？当学生处于高度愤悱之时，无论是利用组合思想，还是引入摸球模型去探究展开式的构成，都可谓一气呵成、顺理成章.
环节三：归纳建构、解决问题. 类比（a+b）4，自然过渡到（a+b）n，并在图1的基础上生成二项式展开图，如图2所示. 结合图2定义（a+b）n的通项，重点剖析其展开式项的结构形式及次数，强调二项式系数，展现数学的对称、排列的整齐和规律等数学美！借助杨辉三角、牛顿和欧拉发现使用二项式定理的史料宣扬中西方古代数学思想及其差异，激发学生的民族自豪感，培养其数学学习的自信心！
环节四：知识运用、提升问题. 对（a+b）n与（a-b）n，（x+2y）n与（2y+x）n的展开式进行对比分析，通过分别求其具体的第几项，如第四项，以及的常数项等，明确二项式定理的本质含义及表征，凸显“二项式系数”与“项的系数”之区别. 同时，列举（1+1）n和（1-1）n等特例证明组合数相关公式.
环节五：回顾问题、梳理总结. 回首课堂的初始问题情境，欲计算（1+0.01）365和（1-0.01）365，由于数值较大，可近似保留展开式的前3项或前4项，如（1+0.01）365≈1+365×0.01+×0.01≈11.29. 类似地，（1-0.01）365≈3.99. 跬步和怠惰的差距可见一斑！一方面，鼓励学生课后继续计算比较（1+0.02）365和（1-0.02）365，并简要说明1.01365≈37.8，0.99365≈0.03和1.02365≈1377.4，0.98365≈0.0006，以真实且惊人的数据告诫学生积少成多、贵在积累和坚持的学习道理. 同时，引申问题应用，上述思路正是估计ab或近似计算高次方根的理论依据，二项式定理的重要性不言而喻，此时再梳理定理的相关知识不仅轻松而且高效！
MPCK理论强调以学生已有的生活经验为起点，更多关注概念的实际背景与“再创造”过程，引导学生尽可能地经历把实际问题抽象为数学模型的实践历程，过程教学观可称之为MPCK的灵魂. MPCK理念下的有效课堂教学，不仅要让学生深刻理解和经历感受数学基础知识，而且要凸显数学知识内部的有机联系，更注重培养学生的数学素养. 对于本课例，从二项式定理的发展史而言，其雏形是11世纪贾宪《释锁算书》中的“开方作法本原图”，因为贾宪只给出了最高为六次幂的二项式系数表，并且其著作早已失传，故目前广为人知的是杨辉三角，由此亦可知，杨辉三角和二项式定理的纵横迁移、内外联系不容忽视. 教师只有深刻挖掘相关知识的数学背景，包括其诞生、发展历程，及其思想方法在后续内容中的拓展，在实践生活中的表现等，最大限度地丰富和充实自身的MK，才能准确地选取可切实重现数学知识的问题情境，为实施有效课堂教学储备经典的基础知识. 笔者通过对教师MK的梳理和提升，在重新设计二项式定理的教学时，以计算（1+0.01）365等数值呼应“开高次方”运算，并基于杨辉三角和创新的二项式展开图挖掘定理，高效且生动再现了二项式定理的生成过程.
课堂教学的主体是学生，多角度、全方位地探明学生对数学知识的掌握程度，合理预估其学习过程中的困难和思维定式，是教师CK的研究内容. 教师只有立足于MK，透彻理解CK，才能基于课堂教学目标，灵活选择PK. 本例中根据杨辉三角关于（a+b）4的系数，引领学生经历比较和类推，探究其展开式. 由于为学生搭建的“脚手架”梯度合理、层次分明，故其思维发展由浅入深、层层递进，同时，教师根据学生和知识的不同需求，采取了讲授法、启发式、探究法等多元化PK交叉融合的教学方法，最终逐渐完成了对二项式定理由直观到抽象、由低级到高级的认识和推证，课堂脉络清晰、高效简洁. 最后，教师基于中国古典文化抽象出二项式模型，并首尾呼应，不仅隐含和引申了二项式定理的源与流，而且恰到好处地激发了学生的学习情感，切实体现了有效教学的本质.
参考文献：
[1] Shulman L S.Knowledge and Tea-ching：Foundations of the New Reform[J]. Harvard Educational Review，1987，57（1）：1-21.
[2] 董涛. 基于PCK框架的数学课例研究教学途径与策略[J]. 课程·教材·教法，2017，37（08）：52-56.
[3] 程德胜，武晨，庄国华，等. 数学教学内容知识（MPCK）实证研究综述与启示[J].数学教育学报，2017，26（04）：65-70.
[4] 李渺，宁连华. 数学教学内容知识（MPCK）的构成成分、表现形式及其意义[J]. 数学教育学报，2011，20（02）：10-14.
[5] 王宏，史宁中. 基于教师专业发展视角的数学教学内容知识研究[J]. 东北师大学报（哲学社会科学版），2015（06）：244-248.
[6] 杨建宁. MPCK视角下的高中数学定理教学及案例分析[J]. 数学教学通讯，2017（09）：9-10.
[7] 陆明明. 基于课堂观察的教师MPCK比较研究——以《数系的扩充》同课异构为例[J]. 教育研究与评论：中学教育教学，2016（06）：32-38.
[8] 李渺. 优秀教师课堂MPCK的特点——基于两则教学案例的比较研究[J]. 数学通报，2013（04）：12-16.